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1、第六章第六章 一阶电路一阶电路2. 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；全响应求解；l 重点重点 4. 4. 一阶电路的阶跃响应。一阶电路的阶跃响应。3. 3. 稳态分量、暂态分量求解；稳态分量、暂态分量求解；1. 1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定；动态电路方程的建立及初始条件的确定；含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。特点：特点：1. 动态电路动态电路 6.1 6.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经当动态电路状态发生
2、改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。化过程称为电路的过渡过程。例例+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零过渡期为零电阻电路电阻电路t1uct0i = 0 , uC= UsK接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电容充电，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态完毕，电路达到新的稳定状态+uCUsRCi (t )初始状态初始状态过渡状态过渡状态新稳态新稳态USK未动作前未动作前，电路处于稳定状态，电路处于稳定状态i = 0 , uC = 0K+uCUsRCi (t = 0)电容电路电容电路uL= 0,
3、i=Us /RK接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电路达到，电路达到新的稳定状态，电感视为短路新的稳定状态，电感视为短路初始状态初始状态过渡状态过渡状态新稳态新稳态t1US/Rit0+uLUsRLi (t )K未动作前未动作前，电路处于稳定状态，电路处于稳定状态i = 0 , uL = 0K+uLUsRLi (t = 0)电感电路电感电路过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生电路在换路时能量发生变化，而变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化电路结构
4、、状态发生变化换路换路支路接入或断开支路接入或断开电路参数变化电路参数变化+uLUsRLi (t 0)2. 动态电路的方程动态电路的方程+uCUsRCi (t 0)应用应用KVL和元件的和元件的VCR得：得：一阶电路一阶电路描述电路的方程是一阶微分方程。描述电路的方程是一阶微分方程。一阶电路中只有一个动态元件。一阶电路中只有一个动态元件。（1 1）描述动态电路的电路方程为微分方程；）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数； (1) t = 0与与t = 0的概念的概念认为换路在认为换路在 t=
5、0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间3 3. . 电电路路的的初初始始条条件件000tf(t)t = 0+时刻时刻iucC+- (2) (2) 电容的初始条件电容的初始条件当当i( )为有限值时为有限值时q (0+) = q (0)uC (0+) = uC (0)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q =C uC电荷电荷守恒守恒结结论论iuL+-L (3) (3) 电感的初始条件电感的初始条件t = 0+时刻时刻当当u为有限值时为有限值时 L (0)
6、= L (0)iL(0)= iL(0)磁链磁链守恒守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结结论论 L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0+) = uC (0)（4 4）换路定律）换路定律（1 1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件注意注意: 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保
7、持不变。 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2 2）换路定律反映了能量不能跃变。）换路定律反映了能量不能跃变。5.5.电路初始值的确定电路初始值的确定例例1求求 uC (0+)+-10ViiC+uC-k10k40k(2) 由换路定律由换路定律 uC (0+) = uC (0)=8V(1) 由由0电路求电路求 uC(0)或或iL(0)+-10V+uC-10k40kuC(0)=8V电电容容开开路路iL(0+)= iL(0) =2A由换路定律由换路定律:例例 2t = 0时闭合开关时闭合开关
8、k , , 求求 iL(0+)iL+uL-L10VK1 4 先求先求解解10V1 4 电电感感短短路路求初始值的步骤求初始值的步骤:1. 1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和和iL(0)；2. 2. 由换路定律得由换路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。3. 3. 画画0+等效电路。等效电路。4. 4. 由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b. b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。a. a. 换路后的电路换路后的电路（取（取0+时刻值，方向同原假定的电容时刻值，方向同原假定的电容电
9、压、电感电流方向）。电压、电感电流方向）。求求 uC(0+) , iL(0+)例例3K(t=0)+ +uLiLC+ +uCLRISiCiL(0+) = iL(0) = ISuC(0+) = uC(0) = RIS解解RIS由由0 0电路得：电路得：例例4iL+uL-LK2 +-48V3 2 C求求K闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压12A24V+-48V3 2 +-iiC+-uL由由0 0+ +电路得：电路得：解解由由0 0电路得：电路得：iL2 +-48V3 2 +uC例例5求求K闭合瞬间流过它的电流值。闭合瞬间流过它的电流值。iL+200V-LK100 +uC100
10、100 C解解（1 1）确定）确定0 0值值（2 2）给出）给出0 0等效电路等效电路1A+200V-100 +100V100 100 +uLiC6.2 6.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。始储能所产生的电压和电流。1. 1. RC电路的零输入响应电路的零输入响应iK(t=0)+uRC+uCR特征根特征根特征方程特征方程RCp+1=0则则已知已知 uC (0)=U0 uR= Ri零输入响应零输入响应代入初始值代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0A=U0tU0uC0I0ti0令令 =
11、RC , , 称称 为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：从以上各式可以得出：连续连续函数函数跃变跃变 （2 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；有关；时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = R C 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短U0tuc0 小小 大大工程上认为工程上认为, , 经过经过 3 5 , , 过渡过程结束。过渡过
12、程结束。 ：电容电压衰减到原来电压：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 t2t1 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于I0tuc0 t1t2次切距的长度次切距的长度（3 3）能量关系）能量关系 电容电容不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕. .设设uC(0+)=U0电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+C例例 已知图示电路中的电容原本充有已知图示电
13、路中的电容原本充有24V电压，求电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。i3K3 +uC2 6 5Fi2i1解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC零输零输入响应问题，有：入响应问题，有：分流得：分流得：2.2. RL电路的零输入响应电路的零输入响应iK(t=0)USL+uLRR1特征方程特征方程 Lp+R=0特征根特征根 代入初始值代入初始值 i(0+)= I0A= i(0+)= I0t 0iL+uLR-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律
14、衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； （2 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；有关；令令 = L/R , , 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = L/R（3 3）能量关系）能量关系 电感电感不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕. .设设iL(0+)=I0电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：
15、iL+uLR例例1t=0时时 , 打开开关打开开关K，求求uv。uV (0+)= 10000V 造成造成V损坏。损坏。现象现象 ：电压表坏了：电压表坏了电压表量程：电压表量程：50ViL (0+) = iL(0) = 1 A解解iLK(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10V例例2t=0时时 , 开关开关K由由12，求求电感电压和电流及开关两电感电压和电流及开关两端电压端电压u12。iLK(t=0)+24V6H3 4 4 6 +uL2 12解解小结小结4.4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1.1.一阶电路的零
16、输入响应是由储能元件的初值引起的一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的2.2. 响应响应, , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2. 2. 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 = RC , RL电路电路 = L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3. 3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)= iL(0)uC (0+) = uC (0)RC电路电路RL电路电路动态元件初始能量为零，由动态元件初始能量为零，由t 0电路电路
17、中中外加输入激励作用所产生的响应。外加输入激励作用所产生的响应。6.3 6.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 零状态响应零状态响应列方程：列方程：iK(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=0非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：1. 1. RC电路的零状态响应电路的零状态响应齐次方程通解齐次方程通解非齐非齐次方次方程特程特解解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定全解全解uC (0+)=A+US= 0 A= US由起始条件由起始条件 uC (0+)=0
18、定积分常数定积分常数 A的通解的通解通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解的特解-USuCuC“USti0tuc0 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 电容电压由两部分构成：电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）暫态分量（自由分量）+ （2 2）响应变化的快慢，由时间常数）响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定； 大，充电大，充电 慢，慢， 小充电
19、就快。小充电就快。 （3 3）响应与外加激励成线性关系；）响应与外加激励成线性关系；（4 4）能量关系）能量关系电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量：电阻消耗电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。一半转换成电场能量储存在电容中。例例t=0时时 , , 开关开关K K闭合，已知闭合，已知 uC（0）=0，求求（1 1）电）电容电压和电流，（容电压和电流，（2 2）uC80V时的充电时间时的充电时间t 。500 10 F+-100VK+uCi解解(1) 这是一个这是一个RC电路零状电路零状态响应问题，有：态响应
20、问题，有：（2 2）设经过）设经过t1秒，秒，uC80V2. 2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应iLK(t=0)US+uRL+uLR已知已知iL(0)=0，电路方程为电路方程为：tuLUStiL00例例1t=0时时 , ,开关开关K打开，求打开，求t0t0后后iL、uL的变化规律的变化规律 。iLK+uL2HR80 10A200 300 解解这是一个这是一个RL电路零状态响电路零状态响应问题，先化简电路，有：应问题，先化简电路，有：例例2t=0时时 , ,开关开关K打开，求打开，求t0t0后后iL、uL的及电流源的端的及电流源的端电压电压。iLK+uL2H10 2A10 5 +u解解这
21、是一个这是一个RL电路零状态响电路零状态响应问题，先化简电路，有：应问题，先化简电路，有：6.4 6.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。全响应全响应 =RCiK(t=0)US+uRC+uCR解答为解答为 uC(t) = uC + uCuC (0)=U0以以RC电路为例，非齐次方程电路为例，非齐次方程1. 1. 全响应全响应稳态解稳态解 uC = US暂态解暂态解uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由起始值定由起始值定A2. 2. 全响应的两种分解方式全
22、响应的两种分解方式强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0全响应全响应 = 强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)（1） 着眼于电路的两种工作状态着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰物理概念清晰iK(t=0)US+ uRC+uCRuC (0)=U0iK(t=0)US+ uRC+ uCR=uC (0)=0+uC (0)=U0C+ uCiK(t=0)+ uRR全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应(2).(2).
23、着眼于因果关系着眼于因果关系便于叠加计算便于叠加计算零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0例例1t=0时时 , ,开关开关K打开，求打开，求t0t0后的后的iL、uLiLK(t=0)+24V0.6H4 +uL8 解解这是一个这是一个RL电路全响应问电路全响应问题，有：题，有：零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：全响应：全响应：例例2t=0时时 , ,开关开关K闭合，求闭合，求t0t0后的后的iC、uC及电流源两端及电流源两端的电压。的电压。+10V1A1 +uC1 +u1 解解这是一个这是一个RC电路全响应问电路
24、全响应问题，有：题，有：稳态分量：稳态分量：全响应：全响应：A=103. 3. 三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令令 t = 0+其解答一般形式为：其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用用0+等效电路求解等效电路求解用用t 的稳态的稳态电路求解电路求解1A2 例例11 3F+-uC已知：已知：t=0时合开关，求换路后的时合开关，求换路后的uC(t) 。解解例例2t=0时时 , ,开关闭合，求开关闭合，求t0后的后的iL、i1、i2iL+20V0.5H
25、5 5 +10Vi2i1解解三要素为：三要素为：应用三要素公式应用三要素公式例例3已知：已知：t=0时开关由时开关由1212，求换路后的，求换路后的uC(t) 。2A4 1 0.1F+uC+4 i12i18V+12解解三要素为：三要素为：例例4i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3 2 已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t = 0 时合时合k1 , t =0.2s时合时合k2 求两次换路后的电感电流求两次换路后的电感电流i(t)。t 0.2s0 t 0.2s解解(0 t 0.2s)( t 0.2s)it(s)0.25(A)1.2626.5 6.5 一阶电路的阶跃响应一阶电路的
26、阶跃响应1. 1. 单位阶跃函数单位阶跃函数l 定义定义t (t)01l 单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟t (t-t0)t001t = 0合闸合闸 i(t) = IsIsKu(t)KEu(t)u(t)（1）在电路中模拟开关的动作）在电路中模拟开关的动作t = 0合闸合闸 u(t) = El 单位阶跃函数的作用单位阶跃函数的作用（2）延迟一个函数）延迟一个函数tf(t)0tf(t)0t0（3）起始一个函数）起始一个函数tf(t)0t0l 用单位阶跃函数表示复杂的信号用单位阶跃函数表示复杂的信号例例 1 (t)tf(t)101t0tf(t)0t0- (t-t0)例例 21t1 f(t)024
27、3例例 31t1 f(t)0243iC +uCRuC (0)=0tuc1注意注意和和的区别的区别t0i2. 2. 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。零状态响应。阶跃响应阶跃响应tiC0激励在激励在 t = t0 时加入，时加入，则响应从则响应从t=t0开始。开始。iC (t -t0)C +uCR+-t- t0( t - t0 )t0注意注意t( t - t0 )不要写为不要写为求图示电路中电流求图示电路中电流iC(t）。）。10k10kus+-ic100 FuC(0)=00.510t(s)us(V)0例例+-ic100 FuC(0)=05k等效等效5k+-ic100 F5k-+ic100 F5k+-ic100 F阶跃响应为：阶跃响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：
