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1、3.3 几何概型几何概型引例引例 假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸,送报人可能在早送报人可能在早上上6:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家,你父亲你父亲离开家去工作的时间在早上离开家去工作的时间在早上7:008:00之之间间,问你父亲在离开家前能得到报纸问你父亲在离开家前能得到报纸(称为称为事件事件A)的概率是多少的概率是多少? 能否用古典概型的公式来求解能否用古典概型的公式来求解? 事件事件A包含的基本事件有多少包含的基本事件有多少?为什么要学习几何概型为什么要学习几何概型? ?问题问题:图中有两个转盘图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏甲乙两人玩转盘游戏,规规定当指针指
2、向定当指针指向B区域时区域时,甲获胜甲获胜,否则乙获胜否则乙获胜.在在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?事实上事实上,甲获胜的概率与字母甲获胜的概率与字母B所在扇形区所在扇形区域的圆弧的域的圆弧的长度有关长度有关,而与字母而与字母B所在区域所在区域的的位置无关位置无关.因为转转盘时因为转转盘时,指针指向圆弧指针指向圆弧上哪一点都是等可能的上哪一点都是等可能的.不管这些区域是不管这些区域是相邻相邻,还是不相邻还是不相邻,甲获胜的概率是不变的甲获胜的概率是不变的.几何概型的定义v如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
3、长长度度( (面积或体积面积或体积) )成比例成比例, ,则称这样的概率模型为几何则称这样的概率模型为几何概率模型概率模型, ,简称为简称为几何几何概型概型. .v几何概型的特点几何概型的特点: :(1)(1)试验中所有可能出现的结果试验中所有可能出现的结果( (基本事件基本事件) )有无限多个有无限多个. .(2)(2)每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等. .在几何概型中在几何概型中, ,事件事件A A的概率的计算公式如下的概率的计算公式如下: :解解: :设设A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟.我们所我们所关心的事件关心的事件A A恰好是打开收音
4、机的时刻位于恰好是打开收音机的时刻位于50,6050,60时间段内时间段内, ,因此由几何概型的求概率因此由几何概型的求概率的公式得的公式得即即“等待的时间不超过等待的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为例例1 1 某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发现表停了发现表停了, ,他他打开收音机打开收音机, ,想听电台报时想听电台报时, ,求他等待求他等待的时间不多于的时间不多于1010分钟的概率分钟的概率. .1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.2.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.练习练
5、习: :3.3.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：求下列事件的概率：（1 1）豆子落在红色区域；）豆子落在红色区域；（2 2）豆子落在黄色区域；）豆子落在黄色区域；（3 3）豆子落在绿色区域；）豆子落在绿色区域；（4 4）豆子落在红色或绿色区域；）豆子落在红色或绿色区域；（5 5）豆子落在黄色或绿色区域。）豆子落在黄色或绿色区域。4.4.取一根长为取一根长为3 3米的绳子米的绳子, ,拉直后在任意位置剪断拉直后在任意位置剪断, ,那么剪得两段的长都不少于那么剪得两段的
6、长都不少于1 1米的概率有多大米的概率有多大? ?例例2 2 假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸, ,送报人可能在早送报人可能在早上上6:307:306:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家, ,你父亲你父亲离开家去工作的时间在早上离开家去工作的时间在早上7:008:007:008:00之间之间, ,问你父亲在离开家前能得到报纸问你父亲在离开家前能得到报纸( (称为事件称为事件A)A)的概率是多少的概率是多少? ?解解: :以横坐标以横坐标X X表示报纸送到时间表示报纸送到时间, ,以纵坐标以纵坐标Y Y表示父亲离家表示父亲离家时间建立平面直角坐标系时间建立平面直角坐标系,
7、,假设随机试验落在方形区域假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的内任何一点是等可能的, ,所以符合几何概型的条件所以符合几何概型的条件. .根据题意根据题意, ,只要点落到阴影部分只要点落到阴影部分, ,就表示父亲在离开家就表示父亲在离开家前能得到报纸前能得到报纸, ,即时间即时间A A发生发生, ,所以所以对于复杂的实际问题对于复杂的实际问题,解题的关键是要建解题的关键是要建立模型立模型,找出随机事件与所有基本事件相找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域对应的几何区域,把问题转化为几何概率把问题转化为几何概率问题问题,利用几何概率公式求解利用几何概率公式求解. “抛抛阶阶砖砖”是是
8、国国外外游游乐乐场场的的典典型型游游戏戏之之一一. .参参与与者者只只须须将将手手上上的的“金金币币”（设设“金金币币”的的半半径径为为 r）抛抛向向离离身身边边若若干干距距离离的的阶阶砖砖平平面面上上，抛抛出出的的“金金币币”若若恰恰好好落落在在任任何何一一个个阶阶砖砖（边边长长为为a的的正正方方形形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖. .例例3 3 抛阶砖游戏抛阶砖游戏 玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币金币”来参加游戏来参加游戏. . 那么要问：参加者获那么要问：参加者获奖的概率有多大？奖的概率有多大
9、？ 显然，显然，“金币金币”与阶砖的相对大小将决定与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的概率成功抛中阶砖的概率. .设阶砖每边长度为设阶砖每边长度为a , ,“金币金币”直径为直径为d .a 若若“金币金币”成功地落在成功地落在阶砖上，其圆心必位于阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域右图的绿色区域A内内. .问题化为问题化为: :向平面区域向平面区域S （面积为（面积为a2）随机投）随机投点（点（ “金币金币” 中心），求该点落在区域中心），求该点落在区域A内内的概率的概率.aASa aA于是成功抛中阶砖的概率于是成功抛中阶砖的概率由此可见，当由此可见，当d接近接近a, p接近于接近于0; 而当而当d接近接近0， p接近于接近于1. 0da, 你还愿意玩这个游戏吗？你还愿意玩这个游戏吗？思考题思考题甲乙两人约定在甲乙两人约定在6时到时到7时时之间在某处会面之间在某处会面,并约定先并约定先到者应等候另一个人一刻到者应等候另一个人一刻钟钟,到时即可离去到时即可离去,求两人求两人能会面的概率能会面的概率.课堂小结1.几何概型的特点.2.几何概型的概率公式.3.公式的运用.作业:137页 3古典概型古典概型:特点特点: (1)试验中所有可能出现的基本试验中所有可能出现的基本 事件只有事件只有有限个有限个. (2)每个基本事件出现的每个基本事件出现的可能性可能性 相等相等.返回返回
