第六章时变电磁场

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1、第六章第六章 时变电磁场时变电磁场6-1 6-1 传导电流、运流电流和位移电流传导电流、运流电流和位移电流 6-2 6-2 全电流定理全电流定理 6-3 6-3 电磁感应定律电磁感应定律6-4 6-4 麦克斯韦电磁场方程组麦克斯韦电磁场方程组 6-5 6-5 时变电磁场中不同媒质交界面的边界条件时变电磁场中不同媒质交界面的边界条件6-6 6-6 电磁场能量、电磁场能量、坡印廷矢量及能量流坡印廷矢量及能量流第六章第六章 时变电磁场时变电磁场 本章所研究的对象为时变电磁场。场中各物理量不仅是空间本章所研究的对象为时变电磁场。场中各物理量不仅是空间坐标的函数，而且也是时间的函数。坐标的函数，而且也是

2、时间的函数。 本章将要研究统一的电磁场同时存在的两个方面本章将要研究统一的电磁场同时存在的两个方面随时间随时间变动的电场与随时间变动的磁场。变动的电场与随时间变动的磁场。2 1.传导电流传导电流6-1 6-1 传导电流、运流电流和位移电流传导电流、运流电流和位移电流传导电流服从于欧姆定律。传导电流服从于欧姆定律。2.运流电流运流电流运流电流不服从于欧姆定律。运流电流不服从于欧姆定律。(6-1)(6-1) 传导电流是由自由电荷在导电媒质中作有规则的运动而形成传导电流是由自由电荷在导电媒质中作有规则的运动而形成的电流。的电流。 电荷在无阻力空间的运动电荷在无阻力空间的运动( (或由于电场力的作用，

3、或由于机或由于电场力的作用，或由于机械原因而产生械原因而产生) )形成运流电流。形成运流电流。(6-5)(6-5) 由于传导电流与运流电流都是带电质点的运动。因而在空由于传导电流与运流电流都是带电质点的运动。因而在空间同一点上，两种电流密度不能同时并存。间同一点上，两种电流密度不能同时并存。3 3.位移电流位移电流图图6-2 6-2 电源以传导电流电源以传导电流 如图如图6-26-2所示之两导体，在开关所示之两导体，在开关闭合瞬间，电源向两导体电容系统充闭合瞬间，电源向两导体电容系统充电。电。 围绕导体围绕导体l作一闭合高斯曲面作一闭合高斯曲面S，有有 位移电流密度位移电流密度(6-7)(6-

4、7) 时变电磁场中，电介质中分子束缚电量微观位移运动永不时变电磁场中，电介质中分子束缚电量微观位移运动永不停息形成的电流。停息形成的电流。4任一点的位移电流密度任一点的位移电流密度解解 位移电流密度位移电流密度例例6-16-1 空间某点的电位移矢量依照空间某点的电位移矢量依照 的规律变化。求该的规律变化。求该点的位移电流密度表达式。点的位移电流密度表达式。 位移电流由空间变动的电场所形成，而且空间任一点的位移位移电流由空间变动的电场所形成，而且空间任一点的位移电流密度，等于该点电位移矢量电流密度，等于该点电位移矢量 对时间的变化率。对时间的变化率。例例6-26-2 雷云放电以前，与地面感应电荷

5、形成一均匀电场，设此雷云放电以前，与地面感应电荷形成一均匀电场，设此均匀电场的电场强度为均匀电场的电场强度为5000V/cm5000V/cm，若雷云放电时间为，若雷云放电时间为1s1s，求，求放电时此区域内位移电流密度之值。放电时此区域内位移电流密度之值。解解5例例6-36-3 点电荷点电荷q沿半径为沿半径为R的圆周以角速度的圆周以角速度转动。写出其在圆转动。写出其在圆心处位移电流密表达式。心处位移电流密表达式。式中：式中： 为时间变量为时间变量t的矢量函数的矢量函数, ,其模不变，其模不变，方向随时间而变。方向随时间而变。解解 点电荷转动过程中，在圆心所产生的电点电荷转动过程中，在圆心所产生

6、的电位移矢量为位移矢量为图图6-4 6-4 例例6-36-3图图位移电流的方向与电位移矢量相同吗位移电流的方向与电位移矢量相同吗? ?66-2 6-2 全电流定理全电流定理 在空间绕任意导体作任意闭合曲面在空间绕任意导体作任意闭合曲面S，此，此时若有电源以传导电流形式向该导体充电，时若有电源以传导电流形式向该导体充电，同时有自由体积电荷进入该闭合曲面，则有同时有自由体积电荷进入该闭合曲面，则有1.全电流连续性原理全电流连续性原理 (6-11) (6-11) 据麦克思韦假设，自由电量增加，穿出曲面据麦克思韦假设，自由电量增加，穿出曲面S S的位移电流为的位移电流为 (6-13) (6-13)图图

7、6-5 6-5 全电流示意全电流示意 (6-12) (6-12) 即即或或 (6-1 (6-15)5)由式由式(6-12)(6-12)及式及式(6-13)(6-13)得得 (6-1(6-14)4)7 积分形式的积分形式的全电流连续性原理全电流连续性原理 微分形式的全电流连续性原理微分形式的全电流连续性原理(6-16)(6-16)全电流密度全电流密度 它说明，它说明，在时变场中，全电流密度矢量线无源，它们是永在时变场中，全电流密度矢量线无源，它们是永远闭合的，即在传导电流中断处，必有运流电流、或位移电流远闭合的，即在传导电流中断处，必有运流电流、或位移电流接续。接续。 (6-1(6-14)4)8

8、解：忽略极板的边缘效应和感应电场解：忽略极板的边缘效应和感应电场位移电流密度位移电流密度位移电流位移电流补充例补充例6 61 1 已知平板电容器的面积为已知平板电容器的面积为S, , 相距为相距为d, , 介质的介电常数介质的介电常数，极板间电压为，极板间电压为u( (t) )。试求位移电流试求位移电流iD D ；传导电流；传导电流iC C与与iD D 的关系的关系是什么是什么? ?电场电场传导电流与位移电流传导电流与位移电流9 作闭合曲线作闭合曲线 l 与导线交链，根据安与导线交链，根据安培环路定律培环路定律时变场安培环路定律时变场安培环路定律为什么相同的线积分结果不同？为什么相同的线积分结

9、果不同？2. 全电流定理全电流定理 经过经过S S1 1面面经过经过S S2 2面面全电流定理微分形式全电流定理微分形式全电流定理积分形式全电流定理积分形式 全电流定理全电流定理揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。发磁场。101.电磁感应定律电磁感应定律 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是会产生感应电动势，这就是法拉弟电磁感应法拉弟电磁感应定律定律。 负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化。负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化。感生电动势的参考方向感生电动

10、势的参考方向6-3 6-3 电磁感应定律电磁感应定律引起磁通变化的原因分为三类：引起磁通变化的原因分为三类：为为感生电动势感生电动势，这是变压器工作的原理，又称，这是变压器工作的原理，又称变压器电动势变压器电动势。 回路不变，磁场随时间变化回路不变，磁场随时间变化感生电动势感生电动势11 称为称为动生电动势动生电动势，这是发电机工作，这是发电机工作原理，又称为原理，又称为发电机电动势发电机电动势。 回路切割磁力线，磁场不变回路切割磁力线，磁场不变动生电动势动生电动势 磁场随时间变化，回路切割磁力线磁场随时间变化，回路切割磁力线12感应电场感应电场 麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电麦

11、克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力，称之为感应电场。场，该电场对电荷有作用力，称之为感应电场。 感应电动势与感应电场的关系为感应电动势与感应电场的关系为在在静止媒质中静止媒质中 感应电场是非保守场，变化的磁场是产感应电场是非保守场，变化的磁场是产生感应电场的涡旋源。生感应电场的涡旋源。变化的磁场产生电场变化的磁场产生电场 若空间同时存在库仑电场若空间同时存在库仑电场, , 则有则有变化的磁场产生电场变化的磁场产生电场13例例6-46-4 设设空空间间磁磁场场的的磁磁感感应应强强度度 垂垂直直于于磁磁场场的的平平面面上上，有有一一形形状状如如数数字字8 8的的闭闭

12、合合回回路路，图图中中斜斜线线区区域域的的面面积积分别为分别为 , ,求闭合线路中的感生电动势。求闭合线路中的感生电动势。解解 如图如图6-86-8所示，穿过面积所示，穿过面积 与与 的磁通分别为的磁通分别为图图6-8 6-8 例例6-46-4图图 取闭合回路感生电动势取闭合回路感生电动势e的正方向同的正方向同e1 1的正方向一致的正方向一致14补充例补充例6-6-2 2 在电流为在电流为I的长直载流导线旁有一与其垂直的导线的长直载流导线旁有一与其垂直的导线ab，长为长为l，a端至长直导线的距离为端至长直导线的距离为r0 0，导线导线ab以匀速以匀速v平行于长直导平行于长直导线向上运动，求线向

13、上运动，求ab中的动生电动势。中的动生电动势。故线元的电动势故线元的电动势导线导线ab的电动势的电动势r0lIab解：解：在在ab段上任取一沿段上任取一沿 方向的线元方向的线元 负号表示产生的感应电流方向与选取的参考方向相反，由负号表示产生的感应电流方向与选取的参考方向相反，由b指向指向a 。15则回路所感生的电动势为则回路所感生的电动势为图图6-9 6-9 例例6-56-5图图 例例6-56-5 均均匀匀磁磁场场内内，磁磁通通密密度度B= =Bm mcoscost。设设磁磁场场内内有有一一面面积积为为S S的的平平面面线线圈圈回回路路，t=0=0时时其其初初始始位位置置于于 处处。当线圈按角

14、速度当线圈按角速度 转动时，求此平面回路中所感生的电动势。转动时，求此平面回路中所感生的电动势。解解 穿过平面回路所界定的面积穿过平面回路所界定的面积S的磁通的磁通16 将将前前几几节节的的公公式式稍稍加加汇汇总总，加加上上媒媒质质的的特特性性方方程程( (或或称称为为辅辅助助方方程程) ) ，就就可可得得到到时时变变电电磁磁场场的的一一组组完完整整的的方方程程式式，即即麦麦克克斯斯韦方程组或电磁场的完整方程组。韦方程组或电磁场的完整方程组。6-4 6-4 麦克斯韦电磁场方程组麦克斯韦电磁场方程组(6-30)(6-30) (6-29)(6-29)(6-28)(6-28)(6-27)(6-27)

15、(6-33)(6-33)(6-32)(6-32)(6-31)(6-31)17 全电流定律全电流定律麦克斯韦第一方程麦克斯韦第一方程, , 表明传导电流和变化的表明传导电流和变化的电场都能产生磁场；电场都能产生磁场； 电磁感应定律电磁感应定律麦克斯韦第二方程麦克斯韦第二方程, ,表明电荷和变化的磁场表明电荷和变化的磁场都能产生电场；都能产生电场； 磁通连续性原理磁通连续性原理表明磁场是无源场表明磁场是无源场, ,磁力线总是闭合曲磁力线总是闭合曲线；线； 高斯定律高斯定律表明电荷以发散的方式产生电场表明电荷以发散的方式产生电场( (变化的磁场变化的磁场以涡旋的形式产生电场以涡旋的形式产生电场) )

16、。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。四个方程所反映的物理意义？四个方程所反映的物理意义？18补充例补充例6-26-2 已知空气媒质的无源区域中，电场强度已知空气媒质的无源区域中，电场强度 ，为常数，求磁场强度为常数，求磁场强度 。解：解：19补充例补充例6-36-3 试用麦克斯韦方程组推导电流的连续性方程。试用麦克斯韦方程组推导电流的连续性方程。解：解：20 将将麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组的的积积分分方方程程式式分分别别应应用用于于场场的的不不同同媒媒质质交交界界面，即可得到时变电磁场的边界条件。面，即可得到时变电磁场的边界条件。 不同电介质交界面的

17、边界条件不同电介质交界面的边界条件 省略导出边界条件的过程，此时边界条件为省略导出边界条件的过程，此时边界条件为6-5 6-5 边界条件边界条件(6-34)(6-34)(6-35)(6-35) (6-36)(6-36)(6-37)(6-37)21导体表面介质中有导体表面介质中有图图6-11 6-11 理想导体表面的电场理想导体表面的电场 电介质与理想导体交界面的边界条件电介质与理想导体交界面的边界条件 由于电磁波不能透由于电磁波不能透入理想导体内部，故导体内将不存在电场与磁场，亦即入理想导体内部，故导体内将不存在电场与磁场，亦即 。 22 沿沿导导体体表表面面无无运运流流电电流流，亦亦无无位位

18、移移电电流流沿沿导导体体表表面面流流动动，得得 。此处此处 表示垂直流过单位长度上的面电流值。表示垂直流过单位长度上的面电流值。图图6-12 6-12 介质与理想导体交界介质与理想导体交界面的磁场面的磁场最最后后将将磁磁通通连连续续性性原原理理的的积积分分表表达达式式运运用用于于场场的的边边界界，则则得得 。小结：介质与理想导体交界面处的边界条件为小结：介质与理想导体交界面处的边界条件为（6-416-41）（6-406-40）（6-396-39）（6-386-38）23电电磁磁场场能能量量 在在时时变变电电磁磁场场中中，电电场场与与磁磁场场同同时时存存在在，因因此此任任何何一一瞬瞬间间，空空间

19、间任任一一点点的的电电磁磁能能量量密密度度应应为为此此时时电电场场能能量量密密度与磁场能量密度之和，即度与磁场能量密度之和，即6-6 6-6 电磁场能量、坡印廷矢量及能量流电磁场能量、坡印廷矢量及能量流 这是麦克斯韦由逻辑推理所得的假设之一，至今尚无直接实验这是麦克斯韦由逻辑推理所得的假设之一，至今尚无直接实验证明，不过建立在此假设之上的许多理论，却为实践所证实。时证明，不过建立在此假设之上的许多理论，却为实践所证实。时变电磁场中场量是随时间而变动的，场的能量状态亦是随时间而变电磁场中场量是随时间而变动的，场的能量状态亦是随时间而变动的。变动的。对于线性媒质对于线性媒质(6-43)(6-43)

20、24坡坡印印廷廷矢矢量量及及能能量量流流 时时变变电电磁磁场场中中，由由于于电电场场与与磁磁场场的的不不断断变变化化，并并由由空空间间一一点点传传递递到到另另一一点点，因因而而形形成成传传播播于于空空间间携携带带着电磁能量的电磁波。着电磁能量的电磁波。则该点电磁能量密度随时间的变化率为则该点电磁能量密度随时间的变化率为(6-45)(6-45)(6-46)(6-46) 设空间某点的电磁能量密度为设空间某点的电磁能量密度为25该点电磁能量密度之增加率该点电磁能量密度之增加率该点所在处单位体积内传导电流所引起的焦尔热该点所在处单位体积内传导电流所引起的焦尔热功率损失功率损失电场用以增加该点运动体积电

21、荷的动能所供给的电场用以增加该点运动体积电荷的动能所供给的功率功率 等式左端代表该点场能密度的增加率及场能耗散率之和。等式左端代表该点场能密度的增加率及场能耗散率之和。电磁波在单位时间内携入该点的电磁能量。电磁波在单位时间内携入该点的电磁能量。26 对对于于空空间间任任一一闭闭合合曲曲面面S S所所界界定定的的体体积积V V而而言言，单单位位时时间间进进入入该体积的电磁能量为该体积的电磁能量为(6-49)(6-49)(6-50)(6-50)图图6-13 6-13 穿出闭合曲面的坡廷矢量图穿出闭合曲面的坡廷矢量图为单位时间内穿入闭合曲面为单位时间内穿入闭合曲面S S的电磁能量的电磁能量 为单位时

22、间内穿出闭为单位时间内穿出闭合曲面合曲面S S的电磁能量的电磁能量27 坡坡印印矢矢量量描描述述着着电电磁磁能能在在空空间间传传播播的的规规律律：无无论论是是电电力力传传输输或或电电讯讯传传输输，都都必必须须是是通通过过空空间间电磁波来实现能量传送的电磁波来实现能量传送的。图图6-14 6-14 坡印矢量的确定坡印矢量的确定电磁能流，或电磁功率电磁能流，或电磁功率 单位时间内穿过单位时间内穿过 与与 所组成的微小面元的单位面积所组成的微小面元的单位面积上的电磁能量或电磁功率。上的电磁能量或电磁功率。电磁能流密度矢量（坡印廷矢量）电磁能流密度矢量（坡印廷矢量）单位：瓦特每平方米单位：瓦特每平方米

23、( (W/mW/m2 2) )28 以导体表面为闭合面，则导体吸收的功率以导体表面为闭合面，则导体吸收的功率为为表明，导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。表明，导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。补充例补充例6-36-3 导线半径为导线半径为a，长为长为l，电导率为，电导率为，试用坡印亭矢量，试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。计算导线损耗的能量。导体内电场强度导体内电场强度磁场强度磁场强度解：解：思路：思路：导线损耗导线损耗29Andr Kurs, et al. Magnetic Resonances Wireless Power Transfer via Strongly Coupled.

24、Science 317 , 83 (2007); 30Bingnan Wang , et al. Wireless Power Transfer with Metamaterials. Appl. Phys. Lett. 98, 254101 (2011)31 设设双双输输电电线线所所加加电电压压为为u，其其流流过过的的电电流流为为i，此此时时电电力力线线族族圆与磁力线族圆相正交，将空间划分为无数正交网孔。圆与磁力线族圆相正交，将空间划分为无数正交网孔。图图6-15 6-15 两平行输电线的两平行输电线的电场和内穿过面元电场和内穿过面元dSdS的能的能量磁场量磁场平行双输电线的功率传输平行双输电线的功率传输 取任一网孔取任一网孔k k，令其边长分别为令其边长分别为dndn、dmdm，面积面积dSdS=(=(dndmdndm) )。单位时间内穿单位时间内穿过此面元过此面元dSdS的能量的能量输输电电线线所所传传输输的的能能量量是是通通过过线线外外的的空间，以电磁波的方式传播的。空间，以电磁波的方式传播的。32作作 业业习题习题 6-13 6-16 6-17 6-18 6-20 6-13 6-16 6-17 6-18 6-2033课课 堂堂 练练 习习习题习题 6-19 6-19 测验作业测验作业 6-23 6-2334