《2024年中考数学复习讲义第32讲锐角三角函数及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年中考数学复习讲义第32讲锐角三角函数及其应用（115页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 32 讲 锐角三角函数及其应用目 录一、考情分析二、知识建构考点一锐角三角函数题型 01 理解正弦、余弦、正切的概念题型 02 求角的正弦值题型 03 求角的余弦值题型 04 求角的正切值题型 05 已知正弦值求边长题型 06 已知余弦值求边长题型 07 已知正切值求边长题型 08 含特殊角的三角函数值的混合运算题型 09 求特殊角的三角函数值题型 10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状题型 11 用计算器求锐角三角函数值题型 12 已知角度比较三角函数值大小题型 13 根据三角函数值判断锐角的取值范围题型 14 利用同角三角函数关系求解题型 15 求证同角三角函数关系式题型 16 互余
2、两角三角函数关系考点二解直角三角形题型 01 构造直角三角形解直角三角形题型 02 网格中解直角三角形题型 03 在坐标系中解直角三角形题型 04 解直角三角形的相关计算题型 05 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积考点三解直角三角形的应用题型 01 仰角、俯角问题类型一 利用水平距离测量物体高度类型二 测量底部可以到达的物体高度类型三 测量底部不可到达的物体的高度题型 02 方位角问题题型 03 坡度坡比问题题型 04 坡度坡比与仰角俯角问题综合考点要求新课标要求命题预测锐角三角函数利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA).知道 30，45，60角的三
3、角函数值.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,其考察内容主要包括考查正弦、余弦、正切的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形值，由已知三角函数值求它的对应锐角.等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2024 年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.解直角三角形能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.解直角三角形的应用考点一锐角三角函数1.锐角三角函数的概念：锐角 A
4、 的正弦、余弦、正切都叫做A 的锐角三角函数（其中：0A90）2.正弦、余弦、正切的概念定义表达式图形正弦sin=的对边斜边sin=ac余弦cos=的邻边斜边cos=bc正切tan=的对边的邻边tan=ab3.锐角三角函数的关系：在 RtABC 中，若C 为直角，则A 与B 互余时，有以下两种关系：1）同角三角函数的关系：tanA=sincos，sin2+cos2=12)互余两角的三角函数关系：sin A=cos B,sin B=cos A,tantan=14.特殊角的三角函数值三角函数304560sin21cos21tan1【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数
5、值，则可求出相应的锐角.5.锐角三角函数的性质性质前提：0A90sin A 随A 的增大而增大cos A 随A 的增大而减小tan A 随A 的增大而增大题型题型 01 理解正弦、余弦、正切的概念理解正弦、余弦、正切的概念【例 1】（2022湖北统考模拟预测）如图，在 Rt 中，是斜边上的高，则下列比值中等于 sin的是（）ABCD【答案】D【分析】由同角的余角相等求得A=DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；【详解】解：ABD+A=90，ABD+DBC=90，A=DBC，A=cosA，不符合题意；B=tanA，不符合题意；C=cosDBC=cosA，不符合题意；D=sinDBC=sinA，
6、符合题意；1.若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“”,如 tanA.sinA.cosA.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“”,如 sinABC，cos2，tan1.2.tanA乘方时,一般写成tan,它与 tan含义相同(正弦、余弦相同).3.锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的.而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关.故选：D【点拨】本题考查了三角函数的概念
7、，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键【变式 1-1】（2021浙江杭州统考一模）在ABC 中，C90，=35，则（）AcosA35BsinB35CtanA43DtanB43【答案】D【分析】设 AB=5a，BC=3a，则 AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可【详解】解：设 AB=5a，BC=3a，则 AC=4a，则 cosA45=45，故 A 错误；sinB45=45，故 B 错误；tanA=34=34，故 C 错误；tanB=4343，故 D 正确故选：D【点拨】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键【变式 1-2】（2
8、023福建泉州统考一模）在 Rt 中，=90，sin=35，则 cos的值是（）A35B34C45D5 3434【答案】C【分析】根据三角函数的定义得到=35，设=3，=5，利用勾股定理得到=4，即可求出 cos的值【详解】解：如图，Rt 中，=90，sin=35，=35，设=3，=5，由勾股定理得：=2 2=4，cos=45=45，故选：C【点拨】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键【变式 1-3】（2022河北唐山统考二模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（）Asin的值越大，梯子越陡Bcos的值越大，梯子越陡Ctan的值越小，梯子越
9、陡D陡缓程度与的函数值无关【答案】A【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减小，逐一判断即可【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知 sin的值越大，梯子越陡，故 A 符合题意；cos的值越小，梯子越陡，故 B 不符合题意；tan的值越大，梯子越陡，故 C 不符合题意；陡缓程度与的函数值有关，故 D 不符合题意；故选：A【点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键【变式 1-4】（2021浙江杭州统考三模）在ABC 中，C90，A.B.C 的对边分别是 A.B.c，下列结论正确的是（）AbasinABba
10、tanACcasinADaccosB【答案】D【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的正弦，记作 sinA（2）余弦：锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做A 的余弦，记作 cosA（3）正切：锐角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做A 的正切，记作 tanA分别进行分析即可【详解】解：在直角ABC 中，C90，则sinA，则=sin，故 A 选项错误、C 选项错误；tanA，则 btan，故 B 选项错误；cosB，则 accosB，故 D 选项正确；故选：D【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义【
11、变式 1-5】（2019湖南邵阳校联考一模）在 RtABC 中，C90，各边都扩大 5 倍，则 tanA 的值（）A不变B扩大 5 倍C缩小 5 倍D不能确定【答案】A【分析】利用A 的大小没有变进行判断【详解】解：C90，各边都扩大 5 倍所得的三角形与原三角形相似，A 的大小没有变，tanA 的值不变故选：A【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义：在 RtABC 中，C90把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的正弦，记作 sinA【变式 1-6】（2021辽宁抚顺统考一模）如图，在 中，C90，设A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则（）AcbsinBBbcsinBCabta
12、nBDbctanB【答案】B【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题【详解】中，=90，、所对的边分别为 A.B.csin=，即=sin，则 A 选项不成立，B 选项成立tan=，即=tan，则 C.D 选项均不成立故选：B【点拨】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键题型题型 02 求角的正弦值求角的正弦值【例 2】（2022江西模拟预测）如图，、分别与 相切于点、，连接并延长与 交于点、，若=12，=8，则 sin的值为（）A45B35C34D43【答案】A【分析】连接 OA，根据切线长的性质得出 PA=PB，OP 平分APB，OAAP，再证APDBPD（SAS），然后证明A
13、OP=ADP+OAD=ADP+BDP=ADB，利用勾股定理求出 OP=2+2=10，最后利用三角函数定义计算即可【详解】解：连接 OA、分别与 相切于点 A.，PA=PB，OP 平分APB，OAAP，APD=BPD，在APD 和BPD 中，=，APDBPD（SAS）ADP=BDP，OA=OD=6，OAD=ADP=BDP，AOP=ADP+OAD=ADP+BDP=ADB，在 RtAOP 中，OP=2+2=10，sinADB=810=45故选 A【点拨】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键【变式
14、2-1】（2020江苏扬州统考模拟预测）如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A，B，C 都在格点上，以 AB 为直径的圆经过点 C.D，则 sin的值为（）A2 1313B3 1313C23D32【答案】A【分析】首先根据圆周角定理可知，ABC，在 RtACB 中，根据锐角三角函数的定义求出ABC的正弦值【详解】和ABC 所对的弧长都是?，根据圆周角定理知，ABC，在 RtACB 中，AB=2+2=22+32=13根据锐角三角函数的定义知，sinABC=213=2 1313，sin=2 1313，故选 A【点拨】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆
15、周角定理把求的正弦值转化成求ABC 的正弦值，本题是一道比较不错的习题【变式 2-2】（2020山东聊城统考模拟预测）如图，在 4 5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么 sin的值为（）A3 55B175C35D45【答案】D【分析】过点 A 作 于点 D，在 Rt 中，利用勾股定理求得线段 AC 的长，再按照正弦函数的定义计算即可【详解】解：如图，过点 A 作 于点 D，则=90，=2+2=5，sin=45，故选：D【点拨】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键题型题型 03 求角的余弦值求角的余弦值【例 3】（2
16、023湖北省直辖县级单位统考模拟预测）如图，在 4 4 网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若 的顶点均是格点，则 cos的值是（）A55B105C2 55D45【答案】C【分析】过点 C 作 AB 的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可【详解】解：过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于一点 D，如图所示，每个小正方形的边长为 1，=5,=10,=5，设=，则=5 ，在 中，2=2 2,在 中，2=2 2,10 (5 )2=5 2，解得=2，cos=25=2 55，故选：C【点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形【变式 3-1】（2022吉林长春校考模拟预测）如图，是 的外接圆，CD 是 的直径若=10，弦=6，则 cos的值为（）A45B35C43D34【答案】A【分析】连接 AD，根据直径所对的圆周角等于 90和勾股定理，可以求得 AD 的长，然后即可求得ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到ABC=ADC，从而可以得到 cosABC 的值【详解】解：连接 AD，如右图所示，CD 是O 的直径，CD=10，弦
