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1、第第1 1讲讲 分类讨论思想分类讨论思想1.1.分类讨论思想又称分类讨论思想又称“逻辑化分思想逻辑化分思想”，它是把所，它是把所 要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后 再分别进行研究和求解的一种数学思想再分别进行研究和求解的一种数学思想. .分类讨论分类讨论 思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难 度有易，有中，也有难度有易，有中，也有难. .题型可涉及任何一种题题型可涉及任何一种题 型，知识领域方面，可以型，知识领
2、域方面，可以“无孔不入无孔不入”地渗透到地渗透到 每个数学知识领域每个数学知识领域. .2.2.分类讨论的原则分类讨论的原则 （1 1）分类标准统一，对象确定，层次分明）分类标准统一，对象确定，层次分明. . （2 2）所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分）所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分. . （3 3）分层讨论，不能越级讨论，有时要对分类结）分层讨论，不能越级讨论，有时要对分类结 果作以整合概述果作以整合概述. .3.3.分类讨论的步骤分类讨论的步骤 （1 1）确定讨论对象的主体；）确定讨论对象的主体； （2 2）选取恰当科学的分类标准；）选取恰当科学的分类标准； （3 3）逐类讨论，
3、获得阶段性成果；）逐类讨论，获得阶段性成果； （4 4）归纳整合，得出结论）归纳整合，得出结论. . 【例例1 1】已知数列已知数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n=32=32n n- -n n2 2，求其，求其 通项公式通项公式a an n. . 分析分析 依依S Sn n的意义知：的意义知：a an n= =S Sn n- -S Sn n-1-1，化简即可，但，化简即可，但 要注意单独求要注意单独求a a1 1= =S S1 1. . 解解 当当n n=1=1时，时，a a1 1= =S S1 1=31.=31. 当当n n2,2,n nN N* *时，时，a an
4、n= =S Sn n- -S Sn n-1-1=32=32n n- -n n2 2-32(-32(n n- - 1)+( 1)+(n n-1)-1)2 2=33-2=33-2n n. . 考察考察a a1 1=33-2=33-21=31,1=31,a a1 1也适合也适合a an n=33-2=33-2n n. . 综上综上, ,a an n=33-2=33-2n n （n nN N* *）. . 探究拓展探究拓展 当一般性的结论在个别个体上无法使当一般性的结论在个别个体上无法使 用，或个体属性特别时，往往要单独解决，这是用，或个体属性特别时，往往要单独解决，这是 产生分类讨论的基础产生分类讨
5、论的基础. .就本例而言，就本例而言，a an n= =S Sn n- -S Sn n-1-1， 在在n n=1=1时，没有意义（时，没有意义（a a1 1无前项），只有单独求无前项），只有单独求 a a1 1= =S S1 1, ,而在求得而在求得a a1 1与与a an n ( (n n2,2,n nN N* *) )之后，还应之后，还应 考察考察a a1 1是否适合是否适合a an n（n n2,2,n nN N* *）时的规律，若）时的规律，若 适合则合并写出适合则合并写出a an n, ,否则，分段表述否则，分段表述a an n. . 变式训练变式训练1 1 （20092009徐州、
6、淮安调研徐州、淮安调研）已知集合）已知集合 A A=3=3，m m2 2 ，B B=-1=-1，3 3，2 2m m-1-1，若，若A AB B, ,则实数则实数 m m的值为的值为 . . 解析解析 A AB Bm m2 2B Bm m2 2=-1=-1或或m m2 2=2=2m m-1-1m m=1.=1.1 1【例例2 2】若不等式若不等式mxmx2 2+ +mxmx+20+20对一切实数对一切实数x x恒成立，恒成立， 试确定实数试确定实数m m的取值范围的取值范围. . 解解 （1 1）当）当m m00时，时，mxmx2 2+ +mxmx+20+20对于一切实数对于一切实数x x （
7、2 2）当）当m m=0=0时，原不等式为时，原不等式为20,20,显然对一切实数显然对一切实数x x 恒成立恒成立. . 综合（综合（1 1）、（）、（2 2）可得，当）可得，当00m m80,0,即即 二次函数二次函数y y的图象开口向的图象开口向 上，对称轴上，对称轴 它在它在0 0，1 1上的最大上的最大 值只能在区间端点达到（由于此处不涉及最小值只能在区间端点达到（由于此处不涉及最小 值，故不需讨论区间与对称轴的关系）值，故不需讨论区间与对称轴的关系）. . f f(0)=(0)=m m, ,f f(1)=2-2(1)=2-2m m. . 当当m m2-22-2m m, ,又又 当当
8、m m2-22-2m m, , 若若4-34-3m m00，即，即 时，二次函数时，二次函数y y的图象开的图象开 口向下，又它的对称轴方程口向下，又它的对称轴方程 所以函所以函 数数y y在在0 0，1 1上是减函数上是减函数. . 于是于是y ymaxmax= =f f(0)=(0)=m m. . 由（由（1 1）、（）、（2 2）可知，这个函数的最大值为）可知，这个函数的最大值为【例例3 3】（20092009连云港调研）已知不等式连云港调研）已知不等式 的解集为的解集为a a，b b（a a, ,b b是常数，且是常数，且 00a a b b）, ,求求a a、b b的值的值. . 分
9、析分析 由于由于 的对称轴为的对称轴为x x=2,=2,区间区间 含参数可按含参数可按a a、b b、2 2的大小关系进行分类的大小关系进行分类. . 解解 设设 显然，其对称轴为显然，其对称轴为x x=2.=2. （1 1）当）当a a22b b时，如图时，如图1 1所示，函数所示，函数f f( (x x) )的最小值的最小值 为为1 1，a a=1.=1. 又又a ax xb b, ,图图1 1 此时，函数此时，函数f f( (x x) )在在a a，b b上的最大值为上的最大值为f f(1)(1)或或 f f( (b b).). f f( (b b) )为最大值为最大值. . 又由于又由
10、于f f( (x x) )在在1,1,b b上的值域为上的值域为1,1,b b， f f（b b）= =b b. . （2 2）当）当22a a b b时，如图时，如图2 2所示，所示， 函数函数f f( (x x) )在在a a, ,b b上递增，上递增， f f（a a）= =a a，f f（b b）= =b b. .图图2 2 解之，得解之，得a a= =b b=4,=4,这与已知这与已知00a a b b矛盾，应舍去矛盾，应舍去. . （3 3）当）当00a a b b22时，如图时，如图3 3所示，函数所示，函数f f( (x x) )在在a a, ,b b 上递减，上递减， f f
11、（a a）= =b b，f f（b b）= =a a， 图图3 3 解之，得解之，得 这与这与00a a b b矛盾，应舍去矛盾，应舍去. . 综上可知综上可知, ,a a=1,=1,b b=4.=4. 探究拓展探究拓展 对称轴与目标区间的相对位置关系影对称轴与目标区间的相对位置关系影 响函数最值的获取，本例是典型的响函数最值的获取，本例是典型的“定轴，动区定轴，动区 间间”类问题，要围绕目标区间是否覆盖定轴作讨类问题，要围绕目标区间是否覆盖定轴作讨 论论. .另一类与之相对应的问题是另一类与之相对应的问题是“定区间动轴定区间动轴”问问 题，见本例变式训练，备考者要细细体会这题，见本例变式训练
12、，备考者要细细体会这“一一 例一变例一变”的相似与相异之处的相似与相异之处. . 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为 叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨 论分别叙述论分别叙述. . 变式训练变式训练3 3 设设A A点的坐标为点的坐标为( (a a,0,0），），a aR R，求曲，求曲 线线y y2 2=2=2x x上的点到点上的点到点A A距离的最小值距离的最小值d d. . 分析分析 本题是求两点间距离的最小值问题，代入本题是求两点间距离的最小值问题，代入 距离公式、转化为求二次函数的最值
13、问题距离公式、转化为求二次函数的最值问题. .注意抛注意抛 物线上的点（物线上的点（x x, ,y y）应满足）应满足x x0.0. 解解 设设M M（x x, ,y y）为曲线）为曲线y y2 2=2=2x x上一点上一点. . 由于由于x x00，二次函数，二次函数f f( (x x)=)=x x-(-(a a-1)-1)2 2+2+2a a-1-1的顶的顶 点的横坐标为点的横坐标为x x= =a a-1,-1,由此作如下讨论：由此作如下讨论： (1)(1)当当a a11时，当时，当x x= =a a-1-1时，时，| |MAMA| |minmin= = （2 2）当）当a a100 且且
14、a a1)1)、对数函数、对数函数y y= =logloga ax x ( (a a0,0,a a1)1)中底数中底数a a的的 范围对单调性的影响；等比数列前范围对单调性的影响；等比数列前n n项和公式中公项和公式中公 比比q q的范围对求和公式的影响；复数概念的分类；的范围对求和公式的影响；复数概念的分类； 不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号 方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥 曲线离心率曲线离心率e e的取值与三种曲线的对应关系；运用的取值与三种曲线的对应关系；运用 点斜式，斜截式直线方程
15、时斜率点斜式，斜截式直线方程时斜率k k是否存在；角的是否存在；角的 终边所在象限与三角函数符号的对应关系，等等终边所在象限与三角函数符号的对应关系，等等. .3.3.分类讨论产生的时机：分类讨论产生的时机： （1 1）涉及的数学概念是分类定义的）涉及的数学概念是分类定义的. . （2 2）运算公式、法则、性质是分类给出的）运算公式、法则、性质是分类给出的. . （3 3）参数的不同取值会导致不同的结果）参数的不同取值会导致不同的结果. . （4 4）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的 结果结果. . （5 5）所给题设中限制条件与研究对象不同的性质
16、）所给题设中限制条件与研究对象不同的性质 引发不同的结论引发不同的结论. . （6 6）复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便）复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便 于解决于解决. . （7 7）实际问题的实际意义决定要分类讨论）实际问题的实际意义决定要分类讨论. .一、填空题一、填空题1.1.过点过点P P（2 2，3 3）且在坐标轴上的截距相等的直线方）且在坐标轴上的截距相等的直线方 程是程是 . . 解析解析 从几何图形特征上看，分截距等于零、不从几何图形特征上看，分截距等于零、不 等于零两种情况，所求直线方程为等于零两种情况，所求直线方程为2.2.直线直线l l过点过点P P（-2-
17、2，1 1），点），点A A（-1-1，-2-2）到直线）到直线l l的的 距离等于距离等于1 1，则直线，则直线l l的方程为的方程为 . . 解析解析 直线直线l l的斜率不存在时，满足条件的方程为的斜率不存在时，满足条件的方程为 x x=-2,=-2,当斜率存在时，设当斜率存在时，设l l的方程为的方程为y y-1=-1=k k( (x x+2),+2),由由 点到直线的距离公式，可得点到直线的距离公式，可得 所以直线所以直线l l的方的方 程为程为4 4x x+3+3y y+5=0+5=0或或x x=-2.=-2.4 4x x+3+3y y+5=0+5=0或或x x=-2=-2 3.3
18、.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2 2和和4 4的矩的矩 形，则它的体积为形，则它的体积为 . . 解析解析 正三棱柱形状的确定需分侧面矩形长、宽正三棱柱形状的确定需分侧面矩形长、宽 分别为分别为2 2和和4 4、或、或4 4和和2 2两种情况进行讨论两种情况进行讨论. .4.4.已知正三角形的边长为已知正三角形的边长为3 3，到这三个顶点，到这三个顶点A A、B B、C C 的距离都等于的距离都等于1 1的平面的个数是的平面的个数是 . . 解析解析 过过ABAB、ACAC中点与中点与BCBC平行的平面有平行的平面有2 2个，此个，此 类平面有类平面有3 3
19、2=62=6个个, ,还有与平面还有与平面ABCABC平行且距离为平行且距离为 1 1的的2 2个平面个平面. .故应有故应有8 8个平面满足题意个平面满足题意. .8 8 5.5.（20092009江苏押题）等比数列江苏押题）等比数列 a an n 中，中，a a3 3=7,=7,前前3 3 项之和项之和S S3 3=21,=21,则公比为则公比为 . . 解析解析 当当q q=1=1时，时，a a3 3=3,=3,S S3 3=21=21合题意；合题意；6.6.（20092009通州调研）将一颗骰子连续掷三次，它通州调研）将一颗骰子连续掷三次，它 落地时向上点数依次成等差数列的概率为落地时
20、向上点数依次成等差数列的概率为 ( (结果用最简分数表示结果用最简分数表示). ). 解析解析 基本事件总数为基本事件总数为6 66 66,6,按公差为按公差为0 0、1 1、 2 2、-1-1、-2-2共分五类共分五类, ,能依次成等差的基本事件数能依次成等差的基本事件数18.18.二、解答题二、解答题7.7.不等式不等式( (k k2 2-1)-1)x x2 2+2(+2(k k+1)+1)x x+10+10对于对于x xRR恒成立恒成立, ,求求 实数实数k k的取值范围的取值范围. . 解解 (1)(1)若若k k2 2-1=0-1=0即即k k= =1 1时时, ,分别将分别将k k
21、= =1 1代入原不代入原不 等式验证得等式验证得k k=-1=-1时不等式恒成立时不等式恒成立; ; (2) (2)若若k k2 2-10-10时时, ,则则 解得解得k k-1.0,-10,4(4(k k+1)+1)2 2-4(-4(k k2 2- -1)0.1)0.8.8.已知函数已知函数f f( (x x)=2)=2a asinsin2 2x x- - a asinsin x xcoscos x x+ +a a+ +b b ( (a a0)0)的定义域为的定义域为 值域为值域为-5-5，1 1，求常，求常 数数a a，b b的值的值. . 解解 f f（x x）= =a a（1-cos
22、 21-cos 2x x）-3-3a asin 2sin 2x x+ +a a+ +b b 由于由于f f( (x x) )的值域为的值域为-5-5，1 1，可得：，可得：9.9.已知方程已知方程mxmx2 2+2y+2y2 2= =m m+1 (+1 (m mR R) )对于不同范围的对于不同范围的m m 值值, ,分别指出方程代表的图形分别指出方程代表的图形. . 解解 当当m m=0=0或或m m=-1=-1时时, ,系数出现零系数出现零, ,因此要对因此要对m m=0=0和和 m m=-1=-1的情况进行讨论的情况进行讨论; ; 当当m m00且且m m-1-1时时, ,方程变形为方程
23、变形为 由由 这样这样-1,0,2,-1,0,2,把数轴分成四个把数轴分成四个 区间区间, ,所以要分多种情况讨论所以要分多种情况讨论. . (1) (1)当当m m=0=0时时, ,方程为方程为2 2y y2 2=1,=1,即即 图形为两图形为两 条平行直线条平行直线; ; (2) (2)当当m m=-1=-1时时, ,方程为方程为- -x x2 2+2+2y y2 2=0,=0,即即 图形图形 为两条相交直线为两条相交直线; ; 综上综上, ,当当 m m-1-1时时, ,图形为焦点在图形为焦点在x x轴上的双曲线轴上的双曲线; ; 当当m m=-1=-1时时, ,图形为两条相交直线图形为
24、两条相交直线; ; 当当-1-1m m00时时, ,图形为焦点在图形为焦点在y y轴上的双曲线轴上的双曲线; ; 当当m m=0=0时时, ,图形为两条平行直线图形为两条平行直线; ; 当当00m m222时时, ,图形为焦点在图形为焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆. .10.10.设函数设函数f f( (x x)=)=x xe ekxkx ( (k k0).0). (1) (1)求曲线求曲线y y= =f f( (x x) )在点（在点（0 0，f f(0)(0)）处的切线方程；）处的切线方程； (2)(2)求函数求函数f f( (x x) )的单调区间；的单调区间； (3)(3)若函数若函
25、数f f( (x x) )在区间（在区间（-1-1，1 1）内单调递增，求）内单调递增，求k k 的取值范围的取值范围. . 解解 (1)(1)f f(x x)=(1+)=(1+kxkx)e)ekxkx, , f f(0)=1,(0)=1,f f(0)=0,(0)=0,曲线曲线y y= =f f( (x x）在点（）在点（0 0，f f（0 0） 处的切线方程为处的切线方程为y y= =x x. . (2) (2)由由f f(x x)=(1+)=(1+kxkx)e)ekxkx=0,=0, 函数函数f f( (x x) )单调递减；单调递减； 函数函数f f( (x x) )单调递增单调递增. . 若若k k000，则当且仅当，则当且仅当 即即k k1,1,函数函数f f( (x x) )在在(-1,1)(-1,1)内单调递增；内单调递增； 若若k k00，则当且仅当，则当且仅当 即即k k-1-1时，时， 函数函数f f( (x x) )在（在（-1-1，1 1）内单调递增）内单调递增. . 综上可知，函数综上可知，函数f f( (x x) )在区间在区间(-1,1)(-1,1)内单调递增时，内单调递增时， k k的取值范围是的取值范围是-1-1，0 0）（0 0，1 1. .
