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1、Laplace 变换的应用1四、小结一、微分、积分方程的Laplace变换解法三、线性系统的传递函数二、偏微分方程的Laplace变换解法2一、微分、积分方程的Laplace变换解法象原函数(微分方程的解)象函数的代数方程微分方程象函数取Laplace逆变换取Laplace变换解代数方程n 首先取Laplace变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取Laplace逆变换得最后的解.3例1求方程 满足初始条件的解.设方程的解且设对方程的两边取Laplace变换,得4整理得变形得例1取逆变换得5例2求方程 满足初始条件的解， 其中 为已知常数.设方程的解且设对方程的两边取
2、Laplace变换,得6整理得取逆变换得下面确定令得例2得故得7例3求方程 满足初始条件的解.对方程的两边取设Laplace变换,得8整理得即变形得(分离变量法)例39得下面确定令得积分得取逆变换得得例310例4求积分方程的解.其中 为定义在 的已知函数.设对方程的两边取Laplace变换,得11整理得如果令由反演积分公式例412例5 质量为m的物体挂在弹性系数为k的弹簧一端,作用在物体上的外力为 .若物体从静止平衡位置 处开始运动,求该物体的运动规律 .（Newton定律）物体运动的微分方程为：且13设得记例5则14得例515 如图所示的 串联电路, 若外加电动势为正弦交流电压 ,求开关闭合
3、后, 回路中电流 与电容器两端电压 .例6根据irchhoff定律，有其中16得对方程的两边取Laplace变换,得设且例617得例6的一阶极点即18.,.得例6化简得19,例620.,例6令则21因为过渡电流例6，所以22例7 在 电路中串接直流电源 , 求开关闭合后, 回路中电流 . 请同学们仿例6解答! 23例8求方程组的解.满足初始条件设得24例8化简得25解得例8由得有两个二级极点：由26因此例827故例828小结：n 用Laplace变换求线性微分、积分方程与其方n 程组的解时，有如下的优点：n ）在求解的过程中，初始条件能同时用上，求出的结果就是需要的特解，这样就避免了微分方程的
4、复杂运算.n ）零初始条件在工程技术中是十分常见的，由上一个优点可知，用Laplace变换求解就显得更加简单，而在微分方程的一般解法中不会因此而有任何变化.29小结： 3）对于一个非齐次的线性微分方程来说，当齐次项不是连续函数，而是包含 函数或有第一类间断点的函数时，用Laplace变换求解没有任何困难，而用微分方程的一般解法就会困难得多. 4）用Laplace变换求解线性微分、积分方程组，比微分方程组的一般解法要简便得多，而且可以单独求出某一个未知函数，而不需要知道其余的未知函数，这在微分方程组的一般解法中通常是不可能的.30例9利用Laplace变换求解定解问题:二、偏微分的Laplace
5、变换解法31对方程的两边关于t取Laplace变换,设得例932问题转化为求解常微分方程的边值问题:例933得方程的通解为:代入边界条件得得例934对上式取Laplace逆变换, 得例935例10利用Laplace变换求解定解问题:其中 均为常数.36对方程的两边关于t取Laplace变换,得例1037问题转化为求解常微分方程的边值问题:例10得方程的通解为:38由边界条件得得例10对上式取Laplace逆变换, 得余误差函数39例11利用Laplace变换求解定解问题:40取Laplace变换,设二元函数由微分性质得例11对定解问题关于x41例11问题转化为求解常微分方程的初值问题:42得方
6、程满足初始条件的解为:得定解问题的解为:例1143例12利用Laplace变换求解定解问题:44对定解问题关于t取Laplace变换,记例1245定解问题转化为含参数的二阶常系数线性微分方程的边值问题:例1246得通解为:代入边界条件得得例1247对上式取Laplace逆变换, 得例1248例13利用Laplace变换求解定解问题:课堂练习:请同学们仿例12解答! 49三、线性系统的传递函数1.线性系统的激励和响应这是一个一阶常系数线性微分方程. 一个线性系统可以用一个常系数线性微分方程来描述. 例如例6中的RC串联电路, 电容器两端的电压u C (t)所满足的关系式为502.激励和响应的概念
7、三、线性系统的传递函数n 在上述一阶常系数线性微分方程中,通常将外加电动势e (t)看成是这个系统的随时间t变化的输入函数, 称为激励, 而把电容两端的电压u C (t)看成是这个系统的随时间t变化的输出函数, 称为响应.51三、线性系统的传递函数 这样的 RC 串联的闭合回路就可以看成是一个有输入端和输出端的线性系统, 如下图所示. 而虚线框中的电路结构决定于系统内的元件参量和连接方式. 这样一个线性系统, 在电路理论中又称为线性网络(简称网络). 一个系统的响应是由激励函数与系统本身的特性所决定.52三、线性系统的传递函数533.传递函数的概念的引入三、线性系统的传递函数 对于不同的线性系
8、统, 即使在同一激励下, 其响应也是不同的. 在分析线性系统时, 我们并不关心系统内部的各种不同的结构情况, 而是要研究激励和响应同系统本身特性之间的联系, 可绘出如下图所示的情况表明它们之间的联系, 为了描述这种联系需要引进传递函数的概念.54三、线性系统的传递函数554.传递函数的概念其中 均为常数,m ,n为正整数, n m. 假设有一个线性系统, 在一般情况下, 它的激励x (t)与响应y (t)可用下列微分方程表示:三、线性系统的传递函数56L a k y (k)=akskY(s)-aksk-1y(0)+.+y(k-1)(0)设L y (t)=Y (s), L x (t)=X (s)
9、, 则三、线性系统的传递函数L b k x (k)=bkskX(s)-bksk-1x(0)+.+x(k-1)(0)(k=0,1,.,n)(k=0,1,.,m)57两边取Laplace变换并通过整理,可得D (s) Y (s) Mh y (s)=M (s) X (s) M h x (s)三、线性系统的传递函数其中 D (s)=ansn+an-1sn-1+.+a1s+a0M (s)=bmsm+bm-1sm-1+.+b1s+b058三、线性系统的传递函数M h y (s)=any(0)sn-1+any(0)+an-1y(0)sn-2+.+ any(n-1)(0)+.+a2y(0)+a1y(0)M h
10、 x (s)=bmx(0)sm-1+bmx(0)+bm-1x(0)sm-2+ .+bmx(m-1)(0)+.+b2x(0)+b1x(0).则59三、线性系统的传递函数称G (s)为系统的传递函数. 如Gh (s)=0, 则其中60 在零初始条件下, 系统的传递函数等于其响应的Laplace变换与其激励的Laplace变换之比. 当我们知道了系统的传递函数以后, 就可以由系统的激励求出其响应的Laplace变换, 再求逆变换可得其响应y (t).三、线性系统的传递函数61 传递函数不表明系统的物理性质, 许多性质不同的物理系统, 可以有相同的传递函数.三、线性系统的传递函数62假设某个线性系统的
11、传递函数为n或Y (s)=G (s) X (s)5.脉冲响应函数设g (t)= L -1G(s)，则由卷积定理可得三、线性系统的传递函数63 即系统的响应等于其激励与 的卷积. 一个线性系统除用传递函数来表征外, 也可以用传递函数的逆变换 来表征.称 为系统的脉冲响应函数.即三、线性系统的传递函数 时, 则在零初始条件下, 有 所以 即64在系统的传递函数中, 令 , 则得6.频率响应三、线性系统的传递函数称它为系统的频率特性函数, 简称频率响应, 可以证明, 当激励是角频率为w的虚指数函数x (t)=ejw t时, 系统的稳态响应是y (t)= G ( j w )e j w t. 因此频率响应在工程技术中又称为正弦传递函数.65如图所示 电路, 当把电源电势e (t)看成激励, 则响应uC(t)与e (t)满足的微分方程为例1466两边取Laplace变换, 并设 L uC(t)=UC (s), L e (t)=E (s), 有 RCsUC(s)-uc(0)+UC(s)=E (s)例14电路的传递函数为:67而电路的脉冲响应函数为例14令得频率响应为68四、 小结总结Laplace变换解数理方程的优缺点总结Laplace变换求解定解问题时,定解条件取变换的原则是什么深入阅读:数学物理方程与特殊函数 (第三版) ，东南大学， 高等教育出版社 69
