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1、 第二章 平面问题的基本理论 授课教师授课教师 韩志型韩志型 土建学院力学教研室土建学院力学教研室第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论 1212学时学时2-12-12-12-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题2-2-2-2-2 2 2 2 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态2-2-2-2-3 3 3 3 平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程2-2-2-2-4 4 4 4 物理方程物理方程物理方程物理方程2-2-2-2-5 5 5 5 几
2、何方程几何方程几何方程几何方程 刚体位移刚体位移刚体位移刚体位移2-6 2-6 2-6 2-6 边界条件边界条件边界条件边界条件2-7 2-7 2-7 2-7 弹性力学的一些普遍原理弹性力学的一些普遍原理弹性力学的一些普遍原理弹性力学的一些普遍原理2-8 2-8 2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题按位移求解平面问题按位移求解平面问题2-2-2-2-9 9 9 9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题按应力求解平面问题按应力求解平面问题2-10 2-10 2-10 2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数应力函数应力函
3、数本章重点本章重点 1、平面应力问题和平面应变问题、平面应力问题和平面应变问题 2、平衡微分方程、平衡微分方程、几何方程、物理方程几何方程、物理方程 3、圣圣维南原理、南原理、边界条件边界条件 4、按按应力求解平面力求解平面问题的方法的方法 5、相容方程、相容方程 1 1、正确区分平面应力问题与平面应变问题、正确区分平面应力问题与平面应变问题 2 2、掌握一点的应力状态、掌握一点的应力状态 3 3、掌握三大方程和相容方程、掌握三大方程和相容方程4 4、正确理解、正确理解圣圣维南原理，正确南原理，正确应用用边界条件边界条件 5 5、掌握按、掌握按位移和按位移和按应力求解平面力求解平面问题的方法的
4、方法 要求要求2-12-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。一、平面应力问题一、平面应力问题几何特征：几何特征： 等厚度薄板等厚度薄板受力特征：受力特征：（1）承受平行承受平行于板面并且不沿于板面并且不沿厚度变化的面力厚度变化的面力（2 2）体力也平行于板面并且不）体力也平行于板面并且不沿厚度变化。沿厚度变化。在前后板面上不受力，则有：在前后板面上不受力，则有：xyozyo 由于板很薄，外力又不沿板厚度变化，而应力沿厚度又是连续变化，因此，可以认为在整个薄板的所有各点都有：所以所以, ,在薄板中
5、只剩下在薄板中只剩下平行于平行于xyxy面的三个应力面的三个应力分量分量: :xyozyoz0 ,zx = 0 , zy = 0 根据切应力互等性：xz=0 ,yz =0并且这三个应力分量和相应的形变分量只是并且这三个应力分量和相应的形变分量只是x x、y y的函数，与的函数，与z z无关。无关。 此即为平面应力问题的特征。用单元体可此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图表示如图:例：墙壁、座舱隔板、梁例：墙壁、座舱隔板、梁二、平面应变问题几何特征：几何特征：几何特征：几何特征：很长很长很长很长( ( ( (无限长）的柱体无限长）的柱体无限长）的柱体无限长）的柱体, , , ,其横截面不
6、沿其横截面不沿其横截面不沿其横截面不沿长度变化。长度变化。长度变化。长度变化。受力特征：受力特征：受力特征：受力特征：（1 1 1 1）在柱面上承受平行于）在柱面上承受平行于）在柱面上承受平行于）在柱面上承受平行于横截面并且不沿长度变化横截面并且不沿长度变化横截面并且不沿长度变化横截面并且不沿长度变化的面力或约束；的面力或约束；的面力或约束；的面力或约束；（2 2 2 2）体力也平行于横截面）体力也平行于横截面）体力也平行于横截面）体力也平行于横截面并且不沿长度变化。并且不沿长度变化。并且不沿长度变化。并且不沿长度变化。则有：则有：则有：则有：（1 1 1 1）应力分量、形变分量、位移分量都不
7、沿应力分量、形变分量、位移分量都不沿应力分量、形变分量、位移分量都不沿应力分量、形变分量、位移分量都不沿Z Z Z Z方向方向方向方向变化，且只是（变化，且只是（变化，且只是（变化，且只是（x,yx,yx,yx,y) ) ) )的函数。的函数。的函数。的函数。（2 2 2 2）对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对）对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对）对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对）对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对称截面，而对称截面上的各点是不能产生沿称截面，而对称截面上的各点是不能产生沿称截面，而对称截面上的各点是不能产生沿称截面，而对称截面上的各点是不能产生沿Z
8、Z Z Z向的位向的位向的位向的位移的，因此移的，因此移的，因此移的，因此, , , ,对任一截面都应有：对任一截面都应有：对任一截面都应有：对任一截面都应有：于是有于是有根据切应力互等定理有根据切应力互等定理有例：水坝、隧洞等例：水坝、隧洞等故只有平行于故只有平行于xyxy面的三个形变分量面的三个形变分量: : 此即为平面应变问题的特征。用单元体可此即为平面应变问题的特征。用单元体可表示如图表示如图:平面应力问题，就是只有平面应力分量（x x , ,y y , ,xyxy）存在，且仅为x、y的函数的弹性力学问题。平面应变问题，就是只有平面应变分量（x x ，y y ，xyxy）存在，且仅为x
9、、y的函数的弹性力学问题。 总结：平面应力和平面应变问题是性质不同的两类问题，但其共同特点是应力分量和应变分量、位移分量都只是x 、y的函数，与z坐标无关，故统称为平面问题。 平面应力和平面应变问题的特征平面应力和平面应变问题的特征平面应力和平面应变问题的特征平面应力和平面应变问题的特征例题例题例题例题1 1： 如图所示，在板面上处处受法向约束且不受切向如图所示，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板，若板边上只受面力作用的等厚度薄板，若板边上只受x x、y y方向的面力或约束方向的面力或约束且不沿厚度变化时，其状态接近平面应力状态还是应变状态？且不沿厚度变化时，其状态接近平面应
10、力状态还是应变状态？解解：由于：由于板面上处处受法向约束，故板面上处处受法向约束，故 不受切向面力作用，则不受切向面力作用，则故该薄板不属于平面应力状态。故该薄板不属于平面应力状态。可见，其应变分量只有可见，其应变分量只有x x ，y y ，xyxy 存在，且仅为存在，且仅为x x、y y的函数，所以其状态接近平面应变状态。的函数，所以其状态接近平面应变状态。0 0yz zxyo22- -2 2 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态已知已知: 任一点任一点P的应力分量的应力分量x、y、xy 求求: 过该点的平行于过该点的平行于Z轴的任何斜面上的应力轴的任何斜面上的应力; 该该点的主
11、应力和主方向；该点的最大和最小切应力。点的主应力和主方向；该点的最大和最小切应力。 在在P点附近取微小三角板点附近取微小三角板PAB,如图如图 , n为平面为平面AB的外法线的外法线,其其方向余弦方向余弦为：为： cos(n,x)= l, cos(n,y) = mxy0P PA AB Bfxfyn 一一 、求、求AB面上的正应力面上的正应力n和切应力分量和切应力分量n 设设px、py为斜面为斜面AB的应力的应力p在在x、y 轴上的投影。轴上的投影。斜面斜面AB的长度为的长度为 ds, 则则ABAB=ds, PB=lds, PA=mds 。 除以除以ds ,然后令然后令ds0, 得：得： 由平衡
12、条件由平衡条件Fx=0 得：得： 同样由同样由Fy=0 得：得：xy0P PA AB Byxyyxxfxfynpxpyp AB面上的正应力面上的正应力n： 将式（将式（23）代入上式得：）代入上式得： AB面上的切应力面上的切应力n ： 将式（将式（23）代入得：）代入得： （25） （23）xy0P PA AB Byxyyxxfxfynpxpypnn由上式得：由上式得： 则有：则有： 将式（将式（23）代入得：）代入得：二、二、P点的主应力点的主应力 若若某某一面上的一面上的n 0， 该面为该面为应力主面，应力主面，n 即即为为主应力主应力，该斜面的法线方向即为，该斜面的法线方向即为P点的一
13、个点的一个应力应力主向主向。 （23） (a)xy0P PA AB Byxyyxxfxfynpxpy 从而求得主应力：从而求得主应力： 某点的两个主应力之和始终等于过该点的两个互相某点的两个主应力之和始终等于过该点的两个互相某点的两个主应力之和始终等于过该点的两个互相某点的两个主应力之和始终等于过该点的两个互相垂直面上的正应力之和。垂直面上的正应力之和。垂直面上的正应力之和。垂直面上的正应力之和。得：得： 于是得：于是得： (a) 由由(a)式得：式得：三、主应力的方向三、主应力的方向 设设 1与与 x 轴的夹角为轴的夹角为1 设设 2与与 x 轴的夹角为轴的夹角为2 （b） 由由(a)式得：
14、式得： (a) 由式：由式：2 - y = - (1 x) 于是得：于是得：tan1 tan2 = - 1 得：得：1 +2 = y +x上式说明上式说明1 的方向与的方向与2方向互相垂直方向互相垂直四、求最大与最小正应力四、求最大与最小正应力 若已求得一点的两个主应力1 与2及其主方向，求P点的最大和最小正应力。 将x、y轴分别放在1 和2方向，则有 x =1, y =2, xy =0 由：由： 得：得： 利用利用 l2+m2=1则：当则：当 l2=1 时，时， 当当 l2=0时，时，可见：两个主应力就是最大与最小的正应力。可见：两个主应力就是最大与最小的正应力。四、求最大与最小正应力四、求
15、最大与最小正应力由于：由于：五、求最大与最小的切应力五、求最大与最小的切应力 任意斜面上的切应力任意斜面上的切应力 利用利用 l2 + m2 = 1 消去消去 m , 得：得：则当：则当：由由 得：得：n n与与x x的夹角为的夹角为4545o o，即最大最小切应力在即最大最小切应力在与主应力成与主应力成45450 0的斜面上。的斜面上。由于：由于：n为为最大或最小值最大或最小值于是得：于是得：2-2-3 3 平衡微分方程平衡微分方程一一一一. . . . 平面应力问题的平衡微分方平面应力问题的平衡微分方平面应力问题的平衡微分方平面应力问题的平衡微分方程程程程应力分量与体力分量之间的关系应力分
16、量与体力分量之间的关系 研究对象：研究对象：取微小的正六面体，在取微小的正六面体，在x x、y y方向的尺方向的尺寸为寸为dxdx、dydy，在，在z z方向取一个单位长度。方向取一个单位长度。 (2)(2)由于应力分量是点的位置坐标的函数，因由于应力分量是点的位置坐标的函数，因此，在单元体两个对应平面上此，在单元体两个对应平面上, ,应力相差一个微量。应力相差一个微量。 (1)(1)由于单元体是微小的，故，它的各面上所由于单元体是微小的，故，它的各面上所受应力可认为是均匀分布的，体力也是均匀分布的。受应力可认为是均匀分布的，体力也是均匀分布的。注：注： 由数学分析得：由数学分析得： 左面：左
17、面：x ，xy 右面：右面：x + dx ，xy+dxy 其余各面应力以此类推。其余各面应力以此类推。连续性连续性连续性连续性xy0c 整理得：整理得： 略去微量不计（略去微量不计（dx，dy趋趋近于近于o），得），得 再次证明了切应力的互等性。再次证明了切应力的互等性。 （21）小变形小变形小变形小变形列出力矩的平衡方程：列出力矩的平衡方程： 整理得：整理得： 由由 平面问题中的平衡微分方程：平面问题中的平衡微分方程： 得：得： （22）假设条件假设条件: 连续性连续性, 小变形小变形小变形小变形 由于在、面内的受力条件同平面应力问题由于在、面内的受力条件同平面应力问题由于在、面内的受力条件
18、同平面应力问题由于在、面内的受力条件同平面应力问题的情况完全相同，故方程的情况完全相同，故方程的情况完全相同，故方程的情况完全相同，故方程( ( ( (- - - -）同样适用于平面）同样适用于平面）同样适用于平面）同样适用于平面应变问题。应变问题。应变问题。应变问题。 对于平面应变问题，在对于平面应变问题，在z z方向上有正应力方向上有正应力z z，但它们不随但它们不随z z 的变化而变化，所以能保持自平衡。的变化而变化，所以能保持自平衡。二二. .平面应变问题的平衡方程平面应变问题的平衡方程 平面问题中的平衡微分方程：平面问题中的平衡微分方程： 上式表明上式表明应力分量应力分量与与体力分量
19、体力分量之间的关系。之间的关系。平衡微分方程适用的条件：平衡微分方程适用的条件： 只要求符合连续性和只要求符合连续性和小变形假定。小变形假定。 表示了区域内任一点表示了区域内任一点表示了区域内任一点表示了区域内任一点的微分体的平衡条件，的微分体的平衡条件，的微分体的平衡条件，的微分体的平衡条件，从而必然保证整个区域从而必然保证整个区域从而必然保证整个区域从而必然保证整个区域是满足平衡条件的。是满足平衡条件的。是满足平衡条件的。是满足平衡条件的。 平衡微分方程中，两个方程包含三个未知量，属平衡微分方程中，两个方程包含三个未知量，属超静定问题，要想求应力分量，还须找出几何方程。超静定问题，要想求应
20、力分量，还须找出几何方程。2-2-4 4 几何方程几何方程 在外力作用下，物体在外力作用下，物体整体发生位置和形状的变整体发生位置和形状的变化，如何来描述？化，如何来描述？形变分量与位移分量之间的关系形变分量与位移分量之间的关系 在外力作用下，物体在外力作用下，物体整体发生位置和形状的变整体发生位置和形状的变化，一般说来各点的位移化，一般说来各点的位移不同不同, ,各点之间的相对距各点之间的相对距离发生了变化。离发生了变化。一一 位移与形变位移与形变 刚体位移刚体位移 如果各点的位移如果各点的位移完全相同，物体发生完全相同，物体发生刚体平移刚体平移； 如果各点的位移如果各点的位移不同，但各点间
21、的相不同，但各点间的相对距离保持不变，物对距离保持不变，物体发生体发生刚体转动刚体转动等等刚刚体位移体位移。一一 位移与形变位移与形变 刚体位移刚体位移 如果各点如果各点( (或部分点）间的或部分点）间的相对距离相对距离发生发生变化，则物体发生了变化，则物体发生了变形变形。这种变形一方面。这种变形一方面表现在微线段长度的变化；另一方面表现在表现在微线段长度的变化；另一方面表现在微线段间夹角的变化。因此，物体变形程度微线段间夹角的变化。因此，物体变形程度用形变分量（用形变分量（，）来描述。）来描述。 几何方程几何方程描述任一点的微分线段描述任一点的微分线段上上形变分量形变分量与与位移分量位移分量
22、之间的关系。之间的关系。P P点的形变分量与位移分量的关系？点的形变分量与位移分量的关系？二、 几何方程AxyoPBAPAB从从P P点分别沿点分别沿x,yx,y方向取微线段方向取微线段PA=dx，PB=dy 位移分量是点的位置位移分量是点的位置坐标的函数坐标的函数; ;因此因此, ,线段两端线段两端的位移相差一个微量。的位移相差一个微量。 A A点在点在x x方向的位移为：方向的位移为：1、几何变形图、几何变形图设设P P点的位移为点的位移为( (u,vu,v) )，uv连续性连续性连续性连续性xyoPBAPABab A A点在点在y y方向的位移为：方向的位移为：1、几何变形图、几何变形图
23、 B B点在点在X X方向的位移为：方向的位移为： B B点在点在y y方向的位移为：方向的位移为： 线段的角位移：线段的角位移：、vu(1) (1) x 方向的线应变方向的线应变x2、线应变线应变PAPA在在x x方向的长度：方向的长度：xyoPBAPABabvu小变形小变形小变形小变形(2) (2) y 方向的线应变方向的线应变y2、线应变线应变xyoPBAPABabvu线段线段PA的转角是的转角是线段线段PB的转角是的转角是于是，直角于是，直角APB的改变量为的改变量为3 3、切应变、切应变xyxyxyoPBAPABabvu 这样，平面上一点的变形可用该点这样，平面上一点的变形可用该点x
24、方向上方向上的正应变的正应变x x、y方向上的正应变方向上的正应变y y和和xy方向构成方向构成的直角的变化的直角的变化切应变切应变xyxy来描述来描述 。形变分量与。形变分量与位移分量的关系为：位移分量的关系为： （28） 即为平面问题的几何方程即为平面问题的几何方程 利用假设条件：利用假设条件：连续性连续性小形变小形变几何方程的物理意义：几何方程的物理意义：变形前物体是连续的，变形后，变形前物体是连续的，变形后，物体仍然是连续的。其实质是变形的连续条件。物体仍然是连续的。其实质是变形的连续条件。 几何方程：几何方程：几何方程适用的条件：几何方程适用的条件： 只要求符合连续性只要求符合连续性
25、和小变形假定。和小变形假定。思考：思考： 1、如果物体的位移确定，是否形变就、如果物体的位移确定，是否形变就完全确定？完全确定？ 2、如果物体的形变确定，是否位移就、如果物体的形变确定，是否位移就完全确定？完全确定？位移分量：位移分量： f(y), F(x)待定函数，可由边界条件确定。待定函数，可由边界条件确定。 几何方程：几何方程： 由几何方程可见：当物体位移分量由几何方程可见：当物体位移分量 u、v 完全确定时，形变分量也就完全确定。但当形完全确定时，形变分量也就完全确定。但当形变分量变分量x、y、xy 完全确定时，位移分量却不完全确定时，位移分量却不能完全确定。能完全确定。问题问题: 形
26、变分量等于形变分量等于0，即，即x0，y0，xy 0时时,是否存在位移分量是否存在位移分量?解答解答: （c） （b） （a） 由由（c）：）：例：令形变分量等于例：令形变分量等于0，即，即x0，y0，xy 0 由由（c）：）：（29) （29）式所示的位移是形变为）式所示的位移是形变为0的位移，即与的位移，即与形变无关的位移，是形变无关的位移，是刚体位移。刚体位移。u0、v0分别为物体分别为物体沿沿x、y轴的轴的平移，平移，为为物体绕物体绕z轴的轴的刚体转动。刚体转动。 u0、v0 、是待定常数，要由约束条件决定。是待定常数，要由约束条件决定。 （c） 有形变就有位移，但是有形变就有位移，但
27、是有位移不一定就有形变，形有位移不一定就有形变，形变是位置的相对变化决定的，变是位置的相对变化决定的，位移中有刚体平移和刚体转位移中有刚体平移和刚体转动与相对位置的变化同时发动与相对位置的变化同时发生，这就给分析带来很大的生，这就给分析带来很大的困难。困难。形变和位移的关系形变和位移的关系 已知位移，可以通过微分关系很方便的求已知位移，可以通过微分关系很方便的求得形变，但是反过来，已知形变求位移就要通得形变，但是反过来，已知形变求位移就要通过积分，困难大得多。过积分，困难大得多。 形变形变 位移位移积分积分积分积分 微分微分微分微分一定有一定有一定有一定有不一定有不一定有不一定有不一定有 形变
28、形变 位移位移2-2-5 5 物理方程物理方程 式中：式中：E弹性模量弹性模量 G剪切模量剪切模量 泊松比泊松比（210) 在线弹性力学中，在线弹性力学中，应力应变的物理关应力应变的物理关系成线性的广义胡系成线性的广义胡克关系，对于各向克关系，对于各向同性材料，只有两同性材料，只有两个独立的弹性常数个独立的弹性常数E E、. 假设条件假设条件: 连续性连续性,均匀性，均匀性， 线弹性、各向同线弹性、各向同性、小变形性、小变形1、平面应力物理方程、平面应力物理方程 由（由（210）式得平）式得平面应力的物理方程：面应力的物理方程： （212）或：或： （213）不是独立的未知函数。不是独立的未知
29、函数。 2、平面应变物理方程、平面应变物理方程 （213）由由（210）式得平面式得平面应变的物理方程：应变的物理方程：（213）或：或： 可见：在平面应力和平面应变问题中，可见：在平面应力和平面应变问题中， 其物理方程是不一样的。将平面应力问题的其物理方程是不一样的。将平面应力问题的物理方程中的物理方程中的 E E 换为换为 ,换为换为 就得到平面应变问题的物理方程。就得到平面应变问题的物理方程。 物理方程物理方程表明表明应力应力与与应变应变之间的关系之间的关系。例题例题例题例题2 2： 图示为一承受均布荷载图示为一承受均布荷载q作用的简支梁，作用的简支梁，试检验下列解答试检验下列解答是否满
30、足平面问题的平衡微分是否满足平面问题的平衡微分方程？不计体力方程？不计体力, 取梁的厚度取梁的厚度为为1，并且有，并且有 YXO解：（解：（解：（解：（1 1）不计体力时的平衡微分方程：）不计体力时的平衡微分方程：）不计体力时的平衡微分方程：）不计体力时的平衡微分方程： 将将x, xy代入（代入（1）式得：）式得：满足（满足（满足（满足（1 1）。）。）。）。 解：（解：（解：（解：（1 1）不计体力时的平衡微分方程：）不计体力时的平衡微分方程：）不计体力时的平衡微分方程：）不计体力时的平衡微分方程： 将将y, xy代入（代入（2）式得：）式得：满足（满足（满足（满足（2 2）。）。）。）。
31、故x , y , xy满足平衡微分方程。例题例题例题例题3 3： 设设有周有周有周有周边为边为任意形状的薄板，其表面自由任意形状的薄板，其表面自由任意形状的薄板，其表面自由任意形状的薄板，其表面自由并与并与并与并与0xy0xy坐坐坐坐标标面平行。若已知各点的位移分量面平行。若已知各点的位移分量面平行。若已知各点的位移分量面平行。若已知各点的位移分量为为: : 试试求板内的形求板内的形求板内的形求板内的形变变分量和分量和分量和分量和应应力分量。力分量。力分量。力分量。设弹设弹性参数性参数性参数性参数为为E E E E， 解：由几何方程可求得解：由几何方程可求得解：由几何方程可求得解：由几何方程可
32、求得0xy0xy平面内的形变分量为平面内的形变分量为平面内的形变分量为平面内的形变分量为: :； ； 例题例题例题例题3 3：由平面应力物理方程可求得应力分量为由平面应力物理方程可求得应力分量为由平面应力物理方程可求得应力分量为由平面应力物理方程可求得应力分量为: :而而而而Z Z方向的方向的方向的方向的应变为应变为: : 平面问题基本未知量平面问题基本未知量平面应力问题平面应力问题 平面应变问题平面应变问题1. 1. 应力分量应力分量（3个）个）独立的（独立的（3个）个）2. 2. 应变分量应变分量独立的（独立的（3个）个）（3个）个）3. 3. 位移分量位移分量独立的（独立的（2个）个）（
33、2个）个）故平面问题基本未知量故平面问题基本未知量: :3 3个应力分量个应力分量x x、y y、xyxy ，3 3个形变个形变分量分量x x、y y、xyxy和和2 2个位移分量个位移分量u u、v v共共8 8个。个。平面问题的基本方程平面问题的基本方程平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程（平面应力）物理方程（平面应力） 平面问题的平面问题的8 8个基本方程中包含个基本方程中包含8 8个未知函数：个未知函数：3 3个应力分量个应力分量x、y、xy ，3 3个形变个形变分量分量x、y、xy和和2 2个位移分量个位移分量u u、v v ，此外，还必须考虑边界此外，还必须考虑边界条件才能求出
34、这些未知函数。条件才能求出这些未知函数。2-6 2-6 边界条件边界条件边边界界条条件件位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件混合边界条件混合边界条件边界条件：边界条件：表示在边界上位移与约束，表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。或应力与面力之间的关系。y ylh/20 0h/2qx一、平面问题的位移边界条件一、平面问题的位移边界条件 在位移边界问题中，已知物体在部分边界在位移边界问题中，已知物体在部分边界Su上上的位移分量为的位移分量为 、 ，则位移函数，则位移函数u、v在该在该边界上的值应等于对应的已知位移。边界上的值应等于对应的已知位移。（214） 其中其中(u)s
35、和和(v)s是位移边界值，是位移边界值， 和和 在边界在边界上是坐标的已知函数。上是坐标的已知函数。对于完全固定的边界：对于完全固定的边界：有：有：例题例题3：写出下列物体的位移边界条件：写出下列物体的位移边界条件x xy ylh/20 0h/2(a) (d) 刚性槽刚性槽(b)x xy h/20 0lh/2y yx xlh/20 0h/2(c)二、平面问题的应力边界条件二、平面问题的应力边界条件 若在部分边界若在部分边界S S上给定了面力分量上给定了面力分量 和和 ，则可由边界上任一点微分体的平衡条件，导出，则可由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力应力与与面力面力之间的之间的关系关系式。
36、式。 在外力作用下，从物体中取出的单元体位在外力作用下，从物体中取出的单元体位于边界处，则单元体内部应力形成的内力和边于边界处，则单元体内部应力形成的内力和边界上的外力平衡。界上的外力平衡。在物体表面任意点在物体表面任意点P P的附近的附近（P P在在S S边界上）取微元体，边界上）取微元体，斜面斜面ABAB即是边界面，其法线即是边界面，其法线为为n n，方向余弦为方向余弦为l l、m m, ,作用作用在在P P点的面力为点的面力为 、 . .由平衡条件得到应力应满足由平衡条件得到应力应满足的条件，即的条件，即平面问题的应力平面问题的应力边界条件：边界条件：（215）（在（在s上）上）xyoS
37、 SPxy0P PA AB Byxyyxxfxfyn 2. 2. 特例特例-边界面与坐标轴平行时边界面与坐标轴平行时(1)(1)(1)(1)右左两面右左两面右左两面右左两面( ( ( (正负正负正负正负X X X X面）面）面）面）(2) (2) 在下上两面在下上两面（正负（正负y y面）面）xy01、边界面为正负、边界面为正负X面时，应力边界条件中没有面时，应力边界条件中没有y;2、边界面为正负边界面为正负Y面时，应力边界条件中没有面时，应力边界条件中没有X ;3、应力分量的边界值等于对应的面力分量；、应力分量的边界值等于对应的面力分量；4、正面上，应力分量与面力分量同号；、正面上，应力分量
38、与面力分量同号；5、负面上，应力分量与面力分量异号。、负面上，应力分量与面力分量异号。 在同一边界面上，应力分量的边界值等于对在同一边界面上，应力分量的边界值等于对应的面力分量。即：应的面力分量。即：应力分量的绝对值等于面力应力分量的绝对值等于面力分量的绝对值分量的绝对值；而；而面力分量的方向就是应力分量面力分量的方向就是应力分量的方向的方向，并可按照应力分量的正负号规定来确定并可按照应力分量的正负号规定来确定应力分量的正负号。应力分量的正负号。可见：可见：例题例题4：写出下列物体的应力边界条件：写出下列物体的应力边界条件0例例例例 ：小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面小锥度杆承受
39、轴向拉力。利用边界条件证明，横截面小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上，除正应力上，除正应力上，除正应力上，除正应力 y y y y 外，还有切应力外，还有切应力外，还有切应力外，还有切应力yxyxyxyx 。并确定边界上。并确定边界上。并确定边界上。并确定边界上 x x x x 、 xy xy xy xy 与与与与 y y y y 的关系。的关系。的关系。的关系。 证明：证明：证明：证明：由Pyoyn对于等直杆：对于等直杆：对于等直杆：对于等直杆：=0=00 0，三、混合边界条件三、混合边界条件混合边界条件：混合边界条件：既有位移边界
40、条件又有既有位移边界条件又有应力边界条件。应力边界条件。例：图例：图a a，X X方向：位移边界条件方向：位移边界条件Y Y方向：应力边界条件方向：应力边界条件(b)图图b:b:位移边界条件位移边界条件: : 应力边界条件：应力边界条件：1 1、在同一边界上，已知位移分量和应、在同一边界上，已知位移分量和应力分量。力分量。2 2、在一部分边界上的位移分量为已知，、在一部分边界上的位移分量为已知，另一部分界上应力分量已知。另一部分界上应力分量已知。2-7 2-7 弹性力学的一些普遍原理弹性力学的一些普遍原理一、圣维南原理及其应用一、圣维南原理及其应用1 1、圣维南原理、圣维南原理(局部性原理局部
41、性原理) 如果把物体如果把物体一小部分边界上一小部分边界上的面力，变的面力，变换为分布不同但换为分布不同但静力等效静力等效的面力（主矢量的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处近处的应力分布将有显著的改变，但远处应力状态所受的影响可以不计。应力状态所受的影响可以不计。该原理又该原理又称为局部性原理。称为局部性原理。 利用圣维南原理，可为简化边界上的应利用圣维南原理，可为简化边界上的应力条件提供极大的方便。力条件提供极大的方便。 例：例：这几种情况大部分区域的应力状态几乎没有差别。这几种情况大部分区域的应力状态
42、几乎没有差别。这几种情况大部分区域的应力状态几乎没有差别。这几种情况大部分区域的应力状态几乎没有差别。 例：用钳子夹铁丝，在夹点局部作用一平衡力系，在该例：用钳子夹铁丝，在夹点局部作用一平衡力系，在该处产生很大的应力，远处几乎无应力产生。处产生很大的应力，远处几乎无应力产生。 在结构中开孔口或不开孔口，二者的应力在孔口附近有在结构中开孔口或不开孔口，二者的应力在孔口附近有显著的差别。显著的差别。 如果物体如果物体一小部分边界上一小部分边界上的面力是一个平衡力的面力是一个平衡力系（主矢量为系（主矢量为0 0，对于同一点的主矩也为，对于同一点的主矩也为0 0），那么，），那么，这个面力只会使受力表
43、面附近区域产生显著的应力，这个面力只会使受力表面附近区域产生显著的应力，而远处产生的应力很小，可以忽略不计。而远处产生的应力很小，可以忽略不计。2 2、圣维南原理推广、圣维南原理推广 如图所示，设长度为如图所示，设长度为2 2l l 、高高h h、厚度厚度1 1的梁，的梁，在在x xl 的边界上有一般分布的面力的边界上有一般分布的面力3 3、圣维南原理的应用、圣维南原理的应用 按严格的应力边界条件（按严格的应力边界条件（2 21515）式，应力分）式，应力分量在边界上应满足量在边界上应满足（a）(a)(a)式要求边界上应力分量与面力分量处处对等，式要求边界上应力分量与面力分量处处对等，该条件较
44、难满足。该条件较难满足。 若若 l h, ,则则 xl 是梁的是梁的边界一小部边界一小部分，这样，可利用圣维南原理，用静力等效分，这样，可利用圣维南原理，用静力等效条件来代替条件来代替(a)(a)式的条件。即：式的条件。即：应力的主矢应力的主矢量和主矩分别等于对应的面力的主矢量和主量和主矩分别等于对应的面力的主矢量和主矩。矩。3 3、圣维南原理的应用、圣维南原理的应用 在在x xl l 的次要边界上，列出三个主矢量和主的次要边界上，列出三个主矢量和主矩对等的积分边界条件：矩对等的积分边界条件：（b）应力主矢应力主矢应力主矢应力主矢应力主矩应力主矩面力主矩面力主矩面力主矢面力主矢面力主矢面力主矢
45、3 3、圣维南原理的应用、圣维南原理的应用 如果给出的面力不是分布力，而是面力的主矢如果给出的面力不是分布力，而是面力的主矢量和主矩，如图中的量和主矩，如图中的F FN N、F FS S、M ,M ,则在则在x l 的的次要边次要边界界上，三个积分边界条件为：上，三个积分边界条件为：（c）3 3、圣维南原理的应用、圣维南原理的应用转向相同为正转向相同为正 4 4、应用圣维南原理条件、应用圣维南原理条件2 2、圣维南原理只能应用于弹性体的一小部、圣维南原理只能应用于弹性体的一小部分边界（分边界（次要边界次要边界），不能应用于大部分边），不能应用于大部分边界（界（主要边界主要边界）。）。1 1、必
46、须用等效力系代替、必须用等效力系代替例题例题5 5 写出梁的应力写出梁的应力边界条件边界条件y ylh/20 0h/2qx解解: 上边界：上边界：下边界：下边界：上边界上面力：上边界上面力：应力边界条件：应力边界条件：应力边界条件：应力边界条件：右边界：右边界：例题例题6：利用圣维南原理写出悬臂梁自由端的三个利用圣维南原理写出悬臂梁自由端的三个积分的应力边界条件。积分的应力边界条件。解：已知自由端的外力：解：已知自由端的外力：y ylh/20 0h/2另解另解：在坐标第一象限取微元体，其应力分量按正值取方：在坐标第一象限取微元体，其应力分量按正值取方向。将单元体侧面的应力分别与物体对应边界上的
47、面力比向。将单元体侧面的应力分别与物体对应边界上的面力比较，方向一致时，外荷载取正号，否则取负号。若应力合较，方向一致时，外荷载取正号，否则取负号。若应力合成主矩与外力主矩（对同一点）的力矩转向相同，则外力成主矩与外力主矩（对同一点）的力矩转向相同，则外力矩取正值，反之取负号。矩取正值，反之取负号。y ylh/20 0h/2例题例题7：写出矩形截面水坝的应力边界条件。写出矩形截面水坝的应力边界条件。例题例题7： 写出矩形截面水坝的应力边界条件。写出矩形截面水坝的应力边界条件。解解:左边界：左边界：右边界：右边界：左边界上面力：左边界上面力：应力边界条件：应力边界条件： 边界上面力：边界上面力：
48、应力边界条件：应力边界条件：例题例题7：写出矩形截面水坝的应力边界条件。写出矩形截面水坝的应力边界条件。上边界：上边界：反向反向反向反向对对对对O O O O点的力矩转向相同，则外力矩取正号。点的力矩转向相同，则外力矩取正号。点的力矩转向相同，则外力矩取正号。点的力矩转向相同，则外力矩取正号。二、二、 叠加原理叠加原理 在线弹性和小变形条件下，把同一物体上几组在线弹性和小变形条件下，把同一物体上几组不同外力单独作用下的解答叠加起来，等于这几组不同外力单独作用下的解答叠加起来，等于这几组外力同时作用于该物体时的解答。外力同时作用于该物体时的解答。 例：图示水坝（小变形情况），水面距坝顶的距例：图
49、示水坝（小变形情况），水面距坝顶的距离为离为，水的容重为，水的容重为 ，则水坝受力可表示为：，则水坝受力可表示为：三、三、 唯一性原理唯一性原理 对于体力、面力、或边界位移已知的弹性对于体力、面力、或边界位移已知的弹性体，弹性力学的解答是唯一的。体，弹性力学的解答是唯一的。作业作业 p36p36 2-92-9， 2-102-10，2-142-14（a a，b b）,2-15, 2-16(a,b),2-15, 2-16(a,b)2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 根据平衡微分方程、几何方程、物理根据平衡微分方程、几何方程、物理方程和边界条件，求解弹性力学平面问题，方程和边界条件
50、，求解弹性力学平面问题，即求解即求解3 3个应力分量、个应力分量、3 3个形变分量和个形变分量和2 2个个位移分量的未知函数，通常采用类似于代位移分量的未知函数，通常采用类似于代数中的消元法求解。数中的消元法求解。 位移法：位移法：以以位移分量位移分量为为基本未知量基本未知量，从，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含有位移分量的方程和相应的边界条导出只含有位移分量的方程和相应的边界条件，并由此解出位移分量，然后求出形变分件，并由此解出位移分量，然后求出形变分量和应力分量。量和应力分量。2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题一、
51、位移法求解一、位移法求解( ( 以平面应力为例）以平面应力为例）1 1、取位移分量、取位移分量u u、v v为基本未知函数；为基本未知函数；2 2、消去应力分量和形变分量。、消去应力分量和形变分量。(1)(1)几何方程：几何方程：(2)(2)根据物理方程：根据物理方程：求出应力分量：求出应力分量：（b）（216）（a）2-8 2-8 按位移求解平面问题将几何方程(a)(a)代入（2 21616）式得）式得：（3 3）将上式代入平衡微分方程式代入平衡微分方程：2-8 2-8 按位移求解平面问题 得到按位移求解平面问题时所用的基本得到按位移求解平面问题时所用的基本微分方程，即微分方程，即用位移表示
52、的平衡微分方程：用位移表示的平衡微分方程：2-8 2-8 按位移求解平面问题(4)(4)用位移分量用位移分量u u、v v表示应力边界条件：表示应力边界条件：（215）应力边界条件：应力边界条件：（217）将将 式式(2(217)17)代入应力边界条件式（代入应力边界条件式（2 21515）：）：位移边界条件仍然为：位移边界条件仍然为：（219） 可见：可见： 用位移法求解平面应力问题，就是要使位用位移法求解平面应力问题，就是要使位移分量移分量u u、v v满足区域内的平衡微分方程（满足区域内的平衡微分方程（2-182-18），并），并在边界上满足应力边界条件（在边界上满足应力边界条件（2-1
53、92-19）和位移边界条件）和位移边界条件（2-202-20）。由此求出位移分量，再由几何方程求出形）。由此求出位移分量，再由几何方程求出形变分量，由物理方程求出应力分量。变分量，由物理方程求出应力分量。（218）（219）（220）平衡平衡微分微分方程方程应力应力边界边界条件条件位移边界条件位移边界条件二、位移法求解的优缺点二、位移法求解的优缺点优点：优点：能适应各种边界条件问题的求解。原则上可能适应各种边界条件问题的求解。原则上可适用于任何平面问题，无论体力是不是常量，不论适用于任何平面问题，无论体力是不是常量，不论是哪一种边界问题。是哪一种边界问题。缺点：缺点：从复杂的方程（从复杂的方程
54、（2 21818）和边界条件（）和边界条件（2 21919）等具体求解位移函数时，要联立求解两个二阶）等具体求解位移函数时，要联立求解两个二阶偏微分方程，比较麻烦，往往遇到很大的困难，因偏微分方程，比较麻烦，往往遇到很大的困难，因此，已得出的函数解答很少。此，已得出的函数解答很少。 对于对于平面应变平面应变问题，只需将上述各方程和边界问题，只需将上述各方程和边界条件中的条件中的 就可得出平面应变问就可得出平面应变问题按位移求解的方程和边界条件。题按位移求解的方程和边界条件。 三、应用举例三、应用举例 图示杆件，在图示杆件，在y y方向上端固定，下端方向上端固定，下端自由，自重体力自由，自重体力
55、f fx x=0,=0,f fy y=g ( =g ( 为杆的为杆的密度）。用位移法求解此杆的应力、应变密度）。用位移法求解此杆的应力、应变和位移。和位移。 为简化，按一维问题解决，设为简化，按一维问题解决，设0 0，u=0,u=0,v=v(yv=v(y), ), 并代入并代入（2 21818）平衡微分方程：平衡微分方程：（2 21818）第一式自然满足，由第二式得：第一式自然满足，由第二式得：解解得：得：由此得：由此得：由由边界条件：边界条件： 得：得：B=0B=0再将再将(a)(a)代入式代入式得：得：u=0解解得：得：由几何方程得：由几何方程得：由物理方程：由物理方程：得：得：u=02-
56、9 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程应力法应力法：按应力求解的方法称为应力法。：按应力求解的方法称为应力法。基本未知量基本未知量应力分量应力分量消去消去位移分量和形变分量位移分量和形变分量导出导出只含有应力分量的方程和相应的边只含有应力分量的方程和相应的边界条件。界条件。解出解出应力分量，然后求出位移分量和形应力分量，然后求出位移分量和形变分量。变分量。 按应力求解时，通常只求解全部为应力按应力求解时，通常只求解全部为应力边界条件的问题。边界条件的问题。一、利用几何方程消去位移分量一、利用几何方程消去位移分量考察几何方程考察几何方程将将x x对对y y的二阶的二阶
57、导数和导数和y y对对x x二阶导数相加，得：二阶导数相加，得：即相容方程（或变形协调方程）即相容方程（或变形协调方程） ：（2 22020）2-9 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程（2 22020）2-9 2-9 按应力求解平面问题 相容方程变形前变形后不连续上式上式表明：表明：连续体的形变分量不是互相独立的，而连续体的形变分量不是互相独立的，而是相关的，它们之间必须满足相容方程，才能保证是相关的，它们之间必须满足相容方程，才能保证对应的位移分量对应的位移分量u u、v v 的存在。的存在。 物理含义物理含义：弹性体变形之前是连续体，变形后仍然：弹性体变形之前是
58、连续体，变形后仍然是连续体。是连续体。 用应变分量表示的相容方程表示的是用应变分量表示的相容方程表示的是变形连续条件变形连续条件。变形后连续 例：证明形变分量例：证明形变分量 x x 0 0，y y0 0，xyxy=Cxy =Cxy (C0(C0） ，不是物体中实际存在的形变分量。，不是物体中实际存在的形变分量。证明：由几何方程：证明：由几何方程：相容方程（或变形协调方程）相容方程（或变形协调方程）显然，式（显然，式（b b）和）和式式xy=Cxy是是互相矛盾的，是不相互相矛盾的，是不相容的，容的， x x 0 0，y y0 0，xyxy=Cxy=Cxy不满足相容方程不满足相容方程, ,故故不
59、是物体中实际存在的形变分量不是物体中实际存在的形变分量。（a a）（b b）二、利用物理方程消去相容方程中的形变分量二、利用物理方程消去相容方程中的形变分量将物理方程将物理方程代入相容方程得：（a a）由平衡微分方程得：由平衡微分方程得：（b b）（a a）2-9 2-9 按应力求解平面问题 相容方程将二式相加，得：将二式相加，得：代代(b)(b)入入(a)(a)得得整理得用整理得用应力表示的相容方程应力表示的相容方程：（2 22121）（b b）（a a）即：即：对于平面应变问题对于平面应变问题，只需将，只需将换为换为 ，得：，得：（2 22222）2-9 2-9 按应力求解平面问题 相容方
60、程（2 22121）称为拉普拉斯微算子。称为拉普拉斯微算子。相容方程相容方程（式（式2 22121）可表示为：）可表示为： 相容方程相容方程按应力求解平面问题时，应力分量必须满足下列条件：按应力求解平面问题时，应力分量必须满足下列条件：1 1、区域内的平衡微分方程；、区域内的平衡微分方程；2 2、相容方程（、相容方程（2 22121）或（）或（2 22222）3 3、应力边界条件（假设只求解全部为应力边界条件）。应力边界条件（假设只求解全部为应力边界条件）。 对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 对于多连体，还必须满足多连体的位移单值条件。对
61、于多连体，还必须满足多连体的位移单值条件。单连体单连体：只有一个连续边界的物体。：只有一个连续边界的物体。多连体多连体：具有两个或两个以上连续边界的物体，如有孔：具有两个或两个以上连续边界的物体，如有孔的物体。的物体。 对于已有的解答，可以用上述条件进行校核。对于已有的解答，可以用上述条件进行校核。2-9 2-9 按应力求解平面问题 相容方程例题例题8图4 按应力求解平面问题时，应力分量按应力求解平面问题时，应力分量x, y, xy应满足哪些条件？检验在不计体力的情况下，应满足哪些条件？检验在不计体力的情况下，y = q, x = q y2/a2, xy = 0 是否是图示问题的解是否是图示问
62、题的解答？并说明理由。答？并说明理由。 解：（解：（1）应力分量应满足：）应力分量应满足： 1 1）区域内的平衡微分方程；）区域内的平衡微分方程；2 2）应力相容方程；）应力相容方程；3 3）应力边界条件；）应力边界条件；4 4）对于多连体，还必须满足多连体的）对于多连体，还必须满足多连体的位移单值条件。位移单值条件。图4（2 2）检验应力分量是否是图示问题的解）检验应力分量是否是图示问题的解将将y y = q, = q, x x = q y = q y2 2/a/a2 2, , xyxy = 0 = 0 代入平衡微分方程：代入平衡微分方程：例题例题8 按应力求解平面问题时，应力分量按应力求解
63、平面问题时，应力分量x x, , y y, , xyxy应满足哪些条件？检验在不计体力的情况下，应满足哪些条件？检验在不计体力的情况下，y y = = q, q, x x = q y= q y2 2/a/a2 2, , xyxy = 0 = 0 是否是图示问题的解答？并说明理是否是图示问题的解答？并说明理由。由。 满足满足满足满足应力边界条件：应力边界条件：满足满足将将y = q, x = q y2/a2, xy = 0 代入相容方程：代入相容方程： 可见，应力分量不满足相容方程，故不是问题的解。可见，应力分量不满足相容方程，故不是问题的解。例题例题8左边左边 右边右边 按应力求解平面问题时，
64、应力分量按应力求解平面问题时，应力分量x x, , y y, , xyxy应满足哪些条件？检验在不计体力的情况下，应满足哪些条件？检验在不计体力的情况下，y y = = q, q, x x = q y= q y2 2/a/a2 2, , xyxy = 0 = 0 是否是图示问题的解答？并说明理是否是图示问题的解答？并说明理由。由。 （2 2）检验应力分量是否是图示问题的解）检验应力分量是否是图示问题的解图4左边：左边：右边：右边：例题例题9：试确定下述确定下述应变状状态 是否存在（是否存在（a,b为常数）？常数）？ 将其代入相容方程，可以将其代入相容方程，可以满足。足。说明明这些些应变分量存在
65、。分量存在。解：相容方程解：相容方程 左边左边 右边右边例题例题10：已知下述已知下述应变状状态 是物体是物体变形形时产生的，生的，试求各系数之求各系数之间应满足的关系。足的关系。解：所解：所给应变状状态是在物体是在物体变形形时产生的生的,所以所以必然必然满足足变形形协调方程方程:代入代入变形形协调方程得方程得:于是于是:则得得: 即：即：即即为各系数各系数间应满足的关系式。足的关系式。2-10 常体力情况下的简化 应力函数若体力分量若体力分量f fx x、f fy y 不不随坐标而变化，是常数，随坐标而变化，是常数，则相容方程（则相容方程（2 22121）和（）和（2 22222）简化为：）
66、简化为：（2 22323）一、常体力下的相容方程一、常体力下的相容方程（2 22222）（2 22121）可见，可见， x x+y y 满足拉普拉斯微分方程即调满足拉普拉斯微分方程即调和方程，即和方程，即x x + + y y 是调和函数。记为：是调和函数。记为：（2 22323）称为拉普拉斯微算子。称为拉普拉斯微算子。 在常体力情况下，平衡微分方程（在常体力情况下，平衡微分方程（2 22 2）、相容方程）、相容方程（2 22323）和应力边界条件（）和应力边界条件（2 21515）中都不包含弹性常数，）中都不包含弹性常数，从而对两种平面问题（平面应力和平面应变）应力分量从而对两种平面问题（平
67、面应力和平面应变）应力分量x x、y y、xyxy都是相同的。都是相同的。平衡微分方程：平衡微分方程：相容方程：相容方程：应力边界条件：应力边界条件：（2 22 2）（2 21515）（2 22323）按应力求解必须满足：按应力求解必须满足： 可见，可见， 在体力为常量时，如果两弹性体具在体力为常量时，如果两弹性体具有相同的边界形状，承受同样的外力作用（应有相同的边界形状，承受同样的外力作用（应力边界条件），那么，不管这两个弹性体的力边界条件），那么，不管这两个弹性体的材材料是否相同料是否相同，也不管它们是，也不管它们是平面应力情况还是平面应力情况还是平面应变情况平面应变情况，其应力分量，其应
68、力分量x x、y y、xyxy的分的分布规律和相应点的数值大小完全相同（但布规律和相应点的数值大小完全相同（但z z以以及形变分量和位移分量却不一定相同）。及形变分量和位移分量却不一定相同）。 常体力应力场的重要特征常体力应力场的重要特征 上述结论的应用：上述结论的应用： 1 1、用甲材料得出、用甲材料得出x x、y y、xyxy，也适应于具有也适应于具有相同的边界形状和相同的分布外力的乙材料。相同的边界形状和相同的分布外力的乙材料。在实在实验应力分析时，可用便宜的甲料代替昂贵的乙料。验应力分析时，可用便宜的甲料代替昂贵的乙料。 2 2、由平面应力得出的、由平面应力得出的x x、y y、xyx
69、y，也适应于也适应于具有相同的边界形状和相同的分布外力的平面应变具有相同的边界形状和相同的分布外力的平面应变情况。情况。在实验应力分析时，可用平面应力情况下的在实验应力分析时，可用平面应力情况下的薄板模型，代替平面应变情况下的长柱形结构。薄板模型，代替平面应变情况下的长柱形结构。 该结论对于弹性力学解答在工程上的应用提供该结论对于弹性力学解答在工程上的应用提供了极大的方便。了极大的方便。 在体力分量为常量时，按应力求解应力边界问题在体力分量为常量时，按应力求解应力边界问题时，时， x x、y y、xyxy，应满足平衡微分方程和相容方应满足平衡微分方程和相容方程以及应力边界条件。程以及应力边界条
70、件。(a)(a)是非齐次方程，其解包含两部分：任一个特解和是非齐次方程，其解包含两部分：任一个特解和下列齐次方程的通解：下列齐次方程的通解：二、应力函数二、应力函数平衡微分方程：平衡微分方程：（a a）相容方程：相容方程：（b b）（c c）特解可取为：特解可取为：（d d）对于齐次方程（对于齐次方程（c c）的通解：的通解：若设函数若设函数f=f(x,y)f=f(x,y)连续可微连续可微, ,根据微分理论，则有：根据微分理论，则有：也可取为：也可取为：若函数若函数C C、D,D,满足下列关系式：满足下列关系式：那么一定存在某一函那么一定存在某一函f f，使得：使得：2-10 2-10 常体力
71、情况下的简化 应力函数 为求齐次方程（为求齐次方程（c c）的通解，将其中前一方程改的通解，将其中前一方程改写为：写为：（e e）（f f）（g g）（h h）根据上述微分理论，一定存在某一函数根据上述微分理论，一定存在某一函数A( A( x,yx,y),),使使得：得：将将(c)(c)中的第二个方程改写为：中的第二个方程改写为：可见也一定存在某一函数可见也一定存在某一函数B( B( x,yx,y),),使得：使得：由式由式(f)(f)和和(h)(h)得得 ：（i i）（j j）（k k）可见也一定存在某一函数可见也一定存在某一函数( ( x,yx,y),),使得：使得：将将 (i)(i)代入
72、代入(e), (e), (j)代入代入(g), (i)代入代入(f), 得通解得通解(k)：（e e）（g g）（f f）（2-242-24）称为平面问题的称为平面问题的应力函数应力函数，又称为，又称为艾里应力函数艾里应力函数。 是待定函数。用是待定函数。用表示三个应力分量表示三个应力分量x x、y y、xyxy，后，使得求解大为简化：待求的未知函后，使得求解大为简化：待求的未知函数从数从3 3个变为个变为1 1个，并由求解个，并由求解x x、y y、xyxy，变为求变为求解应力函数解应力函数。 （d d）（k k） 将通解将通解(k)(k)与任一组特解与任一组特解( (例如（例如（d)d)）
73、叠加，）叠加，即得到平衡微分方程的全解：即得到平衡微分方程的全解： 通解通解:特解特解:（2-242-24） 是由是由平衡微分方程导出，故由式（平衡微分方程导出，故由式（2 22424）表）表示的应力分量自然满足平衡微分方程，此外，还应示的应力分量自然满足平衡微分方程，此外，还应满足相容方程满足相容方程 三、应力函数表示的相容方程三、应力函数表示的相容方程 将式（将式（2 22424）代入相容方程：）代入相容方程：展开成为：展开成为：可写为：可写为：（2-252-25） 式（式（2-252-25）为用应力函数表示的相容方程，为用应力函数表示的相容方程， 是双是双调和方程。调和方程。或：或：由于
74、由于f fx x及及f fy y为常量，上式简化为：为常量，上式简化为： 在常体力情况下，用应力函数表示的相容方在常体力情况下，用应力函数表示的相容方程等价于平衡微分方程、几何方程和物理方程。程等价于平衡微分方程、几何方程和物理方程。2 2、根据应力函数求出的应力分量应满足应力边界、根据应力函数求出的应力分量应满足应力边界条件（条件（2 21515），即），即四、应力函数四、应力函数应满足的条件应满足的条件 3 3、对于多连体，还必须满足位移单值条件。、对于多连体，还必须满足位移单值条件。（215）（在s上）（2-242-24）1 1、应力函数应满足相容方程、应力函数应满足相容方程 在在常体力
75、常体力情况下，弹性力学平面问题情况下，弹性力学平面问题存在一个应力函数存在一个应力函数。按应力求解平面问按应力求解平面问题，可归结为求解一个应力函数，它必须题，可归结为求解一个应力函数，它必须满足在区域内的相容方程（满足在区域内的相容方程（2 22525）和边界）和边界条件（条件（2 21515）；对于多连体，还必须满足）；对于多连体，还必须满足位移单值条件。位移单值条件。例题例题10 如如图图所所示示的的矩矩形形薄薄板板，给给出出如如下下的的函函数数，试试分分别别检检验验它它们们能能否否作作为为应应力力函函数数？若若能能，试试写写出出应应力力分分量量（不不计计体体力力），并并利利用用边边界界
76、条条件件求求出出面面力，并画在图中（力，并画在图中（假定假定a0,b0）。）。(1) = 6y3x4 (2) = a (x2 + y3) ; 例题例题10解解：对于（：对于（1） = 6 y3x4可见，该函数不满足相容方程，故不能作为应力函数。可见，该函数不满足相容方程，故不能作为应力函数。相容方程：相容方程：例题例题10根据应力函数求出应力分量：根据应力函数求出应力分量： 对于对于（2）= a (x2+ y3) 代入相容方程得：代入相容方程得：满足相容方程，故能作为应力函数。满足相容方程，故能作为应力函数。 例题例题10根据应力边界条件求其面力根据应力边界条件求其面力根据应力边界条件求其面力
77、根据应力边界条件求其面力 ： 本章总结本章总结一、平面应力和平面应变一、平面应力和平面应变 平面应力平面应力和和平面应变平面应变问题是性质不同的两类问题，问题是性质不同的两类问题，但其共同特点是应力分量和应变分量、位移分量都只但其共同特点是应力分量和应变分量、位移分量都只是是x 、y的函数，与的函数，与z坐标无关。坐标无关。平面应力几何特征：平面应力几何特征： 等厚度薄板等厚度薄板平面应变几何特征：平面应变几何特征：等横截面长柱体等横截面长柱体平面应力受力特征：平面应力受力特征：（1）承受平行承受平行于板面并且不沿厚度变化的面力于板面并且不沿厚度变化的面力（2 2）体力也平行于板面并且不沿厚度
78、变化。）体力也平行于板面并且不沿厚度变化。平面应变平面应变受力特征：受力特征：（1 1）面力或约束平行于横截面且不沿长度变化；）面力或约束平行于横截面且不沿长度变化；（2 2）体力也平行于横截面并且不沿长度变化。）体力也平行于横截面并且不沿长度变化。平面问题基本未知量平面问题基本未知量平面应力问题平面应力问题 平面平面应变问题应变问题1. 1. 应力分量应力分量（3个）个）独立的（独立的（3个）个）2. 2. 应变分量应变分量独立的（独立的（3个）个）（3个）个）3. 3. 位移分量位移分量独立的（独立的（2个）个）（2个）个）平面应力问题的基本方程平衡微分方程几何方程物理方程平面应变问题的基
79、本方程平衡微分方程几何方程物理方程二、边界条件：二、边界条件： 边界条件边界条件位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件混合边界条件混合边界条件三、三、 弹性力学的一些普遍原理弹性力学的一些普遍原理 1 1、圣维南原理及其应用、圣维南原理及其应用 2 2、叠加原理、叠加原理 3 3、解的唯一性原理、解的唯一性原理四、位移法和应力法四、位移法和应力法 五、相容方程五、相容方程l 用形变分量表示的相容方程：用形变分量表示的相容方程：l 用应力分量表示的相容方程：用应力分量表示的相容方程：平面应力平面应力 ：平面应变平面应变 ：常体力下常体力下 ：用应变分量表示的相容方程表示的是变形连续条件
80、。用应变分量表示的相容方程表示的是变形连续条件。 用应力分量表示的相容方程等价于几何方程和用应力分量表示的相容方程等价于几何方程和物理方程。物理方程。 五、相容方程五、相容方程l 用应力函数表示的相容方程：用应力函数表示的相容方程： 在常体力情况下，用应力函数表示的相容方在常体力情况下，用应力函数表示的相容方程等价于平衡微分方程、几何方程和物理方程。程等价于平衡微分方程、几何方程和物理方程。2 2、应力函数与应力分量的关系应力函数与应力分量的关系六、应力函数六、应力函数 1 1、应力函数应满足相容方程、应力函数应满足相容方程 3 3、按上式求出的应力分量应满足、按上式求出的应力分量应满足应力边界应力边界条件条件
