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1、第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 1 1/78/786 转移概率的极限分布转移概率的极限分布和平稳分布和平稳分布第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 2 2/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 3 3/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 4 4/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 5 5/78/78结论结论结论结论：设：设：设：设 是齐次马氏链是齐次马氏链是齐次马氏链是齐次马氏链 的平稳分布，若取该分布为马氏链的平稳分布，若取该分布为马氏链的平稳分布，若取该分布为马氏链的平稳分布，若取该分布为马氏链 的初始分布，即的初始分布，即的初始分布，即的
2、初始分布，即 ，则有，则有，则有，则有马氏链马氏链马氏链马氏链 的有限维分布的有限维分布的有限维分布的有限维分布随时间的推移保持不变随时间的推移保持不变随时间的推移保持不变随时间的推移保持不变即对任意的即对任意的即对任意的即对任意的 及及及及 ，随机向量，随机向量，随机向量，随机向量 与与与与 同分布同分布同分布同分布即马氏链即马氏链即马氏链即马氏链 是严平稳是严平稳是严平稳是严平稳过程过程过程过程. . .第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 6 6/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 7 7/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 8 8/78/78第第 三三 章
3、章 马尔科夫链马尔科夫链 9 9/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 1010/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 1111/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 1212/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 1313/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 1414/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 1515/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 1616/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 1717/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 1818/78/78第第 三三 章章
4、 马尔科夫链马尔科夫链 1919/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 2020/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 2121/78/78例例例例1. 1. 1. 1. 设一马氏链的一步转移概率矩阵为：设一马氏链的一步转移概率矩阵为：设一马氏链的一步转移概率矩阵为：设一马氏链的一步转移概率矩阵为：求极限分布和马氏链的求极限分布和马氏链的求极限分布和马氏链的求极限分布和马氏链的平稳分布平稳分布平稳分布平稳分布平稳分布平稳分布解解解解：由其一步转移概率矩阵知：由其一步转移概率矩阵知：由其一步转移概率矩阵知：由其一步转移概率矩阵知：该马氏链是不可约的有限马氏链该马氏链是不可
5、约的有限马氏链该马氏链是不可约的有限马氏链该马氏链是不可约的有限马氏链设其平稳分布为：设其平稳分布为：设其平稳分布为：设其平稳分布为：则则则则 满足方程：满足方程：满足方程：满足方程：第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 2222/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 2323/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 2424/78/78例例例例2. 2. 2. 2. 设一马氏链的一步转移概率矩阵为：设一马氏链的一步转移概率矩阵为：设一马氏链的一步转移概率矩阵为：设一马氏链的一步转移概率矩阵为：求极限分布和马氏链的求极限分布和马氏链的求极限分布和马氏链的求极限分布和马氏
6、链的平稳分布平稳分布平稳分布平稳分布平稳分布平稳分布解解解解：由其一步转移概率矩阵知：由其一步转移概率矩阵知：由其一步转移概率矩阵知：由其一步转移概率矩阵知：该马氏链是不可约的有限马氏链该马氏链是不可约的有限马氏链该马氏链是不可约的有限马氏链该马氏链是不可约的有限马氏链设其平稳分布为：设其平稳分布为：设其平稳分布为：设其平稳分布为：则则则则 满足方程：满足方程：满足方程：满足方程：第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 2525/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 2626/78/78下求转移概率的极限：下求转移概率的极限：下求转移概率的极限：下求转移概率的极限：第第 三三 章章
7、 马尔科夫链马尔科夫链 2727/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 2828/78/78由此得到：由此得到：由此得到：由此得到：即有：即有：即有：即有：第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 2929/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 3030/78/78在此例题中：在此例题中：在此例题中：在此例题中：（1 1）转移概率矩阵的极限）转移概率矩阵的极限 不存不存在；在；（2 2）转移概率矩阵的极限分布）转移概率矩阵的极限分布 不等于其平稳分布不等于其平稳分布 。第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 3131/78/781032第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫
8、链 3232/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 3333/78/78定理定理定理定理：设：设：设：设 是齐次马是齐次马是齐次马是齐次马氏链，则有：氏链，则有：氏链，则有：氏链，则有：（1 11 1）若状态若状态若状态若状态 是非常返的，则对一切是非常返的，则对一切是非常返的，则对一切是非常返的，则对一切 ，有：，有：，有：，有：（2 22 2）若状态若状态若状态若状态 是常返的：是常返的：是常返的：是常返的：（2.12.12.12.1）若若若若 ，且，且，且，且 是常返的，是常返的，是常返的，是常返的，则有：则有：则有：则有：（2.22.22.22.2）若若若若 ，且，且，且，
9、且 是常返的，则有：是常返的，则有：是常返的，则有：是常返的，则有：状态状态状态状态j j j j的周期的周期的周期的周期第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 3434/78/78推论推论推论推论3 33 3 不可约链为正常返的充要条件是不可约链为正常返的充要条件是不可约链为正常返的充要条件是不可约链为正常返的充要条件是存在唯一的平稳分布存在唯一的平稳分布存在唯一的平稳分布存在唯一的平稳分布推论推论推论推论1 11 1 设设设设 是齐次马氏是齐次马氏是齐次马氏是齐次马氏链，若链，若链，若链，若 是非周期状态，则对一切是非周期状态，则对一切是非周期状态，则对一切是非周期状态，则对一切 ，有：，
10、有：，有：，有：推论推论推论推论2 22 2 设设设设 是遍历不可是遍历不可是遍历不可是遍历不可约的齐次马氏链，则对一切约的齐次马氏链，则对一切约的齐次马氏链，则对一切约的齐次马氏链，则对一切 ，有：，有：，有：，有：第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 3535/78/78设设设设 是齐次马氏链，则是齐次马氏链，则是齐次马氏链，则是齐次马氏链，则对状态对状态对状态对状态 有：有：有：有：（1 11 1）状态状态状态状态 是是是是非常返非常返非常返非常返的的的的 且此时有：且此时有：且此时有：且此时有：（2 22 2）状态状态状态状态 是是是是常返的常返的常返的常返的 且此时有：且此时有：且
11、此时有：且此时有：(2.1) (2.1) (2.1) (2.1) 状态状态状态状态 是是是是正常正常正常正常返的返的返的返的(2.2) (2.2) (2.2) (2.2) 状态状态状态状态 是是是是零常零常零常零常返的返的返的返的是非周期的是非周期的是非周期的是非周期的第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 3636/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 3737/78/78解解解解：这是一个有限状态非周期的不可约马氏链：这是一个有限状态非周期的不可约马氏链：这是一个有限状态非周期的不可约马氏链：这是一个有限状态非周期的不可约马氏链 所以转移概率的极限就是其平稳分布所以转移概率的极
12、限就是其平稳分布所以转移概率的极限就是其平稳分布所以转移概率的极限就是其平稳分布第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 3838/78/78012jp0p1p2pj-1pj1- p11- p21- pj1- p0第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 3939/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 4040/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 4141/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 4242/78/78综上得到：综上得到：综上得到：综上得到：当当当当 时，有时，有时，有时，有 ，此时该马氏，此时该马氏，此时该马氏，此时该马氏链是常返的；链是常返的；
13、链是常返的；链是常返的；当当当当 时，有时，有时，有时，有 ，此时该马氏，此时该马氏，此时该马氏，此时该马氏链是非常返的；链是非常返的；链是非常返的；链是非常返的；第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 4343/78/78当当当当 时，该马氏链是时，该马氏链是时，该马氏链是时，该马氏链是常返的，且在常返的，且在常返的，且在常返的，且在此条件下，该马氏链是正常返的此条件下，该马氏链是正常返的此条件下，该马氏链是正常返的此条件下，该马氏链是正常返的存在唯一的平稳分布存在唯一的平稳分布存在唯一的平稳分布存在唯一的平稳分布则由方程组则由方程组则由方程组则由方程组第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链
14、 4444/78/78在在在在 时时时时该马氏链为正常返的充要条件是该马氏链为正常返的充要条件是该马氏链为正常返的充要条件是该马氏链为正常返的充要条件是第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 4545/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 4646/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 4747/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 4848/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 4949/78/78即若非负数列即若非负数列即若非负数列即若非负数列 满足不等满足不等满足不等满足不等式式式式定理定理定理定理：则必有：则必有：则必有：则必有：不等式方
15、程组不等式方程组不等式方程组不等式方程组设设设设 是不可约马是不可约马是不可约马是不可约马氏链，其状态空间为氏链，其状态空间为氏链，其状态空间为氏链，其状态空间为 ，一步转移概率，一步转移概率，一步转移概率，一步转移概率矩阵是矩阵是矩阵是矩阵是 ，则该马氏链是正，则该马氏链是正，则该马氏链是正，则该马氏链是正常返的充要条件是：常返的充要条件是：常返的充要条件是：常返的充要条件是：的非负解均是收敛的的非负解均是收敛的的非负解均是收敛的的非负解均是收敛的第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 5050/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 5151/78/78第第 三三 章章 马尔科夫
16、链马尔科夫链 5252/78/78012j-1jj+1pqpqpqpqpqpqpqq例例例例6 66 6：有一个反射壁的随机游动：有一个反射壁的随机游动：有一个反射壁的随机游动：有一个反射壁的随机游动设设设设 的状态空间为的状态空间为的状态空间为的状态空间为 ，其中状态，其中状态，其中状态，其中状态00是反射壁，其转移关系见下图，分是反射壁，其转移关系见下图，分是反射壁，其转移关系见下图，分是反射壁，其转移关系见下图，分析其状态性质析其状态性质析其状态性质析其状态性质. . .第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 5353/78/78解解解解：由上转移图知，其一步转移概率矩阵为：由上转移图知
17、，其一步转移概率矩阵为：由上转移图知，其一步转移概率矩阵为：由上转移图知，其一步转移概率矩阵为第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 5454/78/78定理定理定理定理：设设设设 是不可约马是不可约马是不可约马是不可约马氏链，其状态空间为氏链，其状态空间为氏链，其状态空间为氏链，其状态空间为 ，一步转移概率，一步转移概率，一步转移概率，一步转移概率矩阵是矩阵是矩阵是矩阵是 ，则该马氏链是常，则该马氏链是常，则该马氏链是常，则该马氏链是常返的充要条件是：返的充要条件是：返的充要条件是：返的充要条件是：存在一状态存在一状态存在一状态存在一状态 jj，使得线性方程组，使得线性方程组，使得线性方程组
18、，使得线性方程组的有界解必为的有界解必为的有界解必为的有界解必为常数常数常数常数. . .第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 5555/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 5656/78/78即即即即当当当当 时，方程时，方程时，方程时，方程组组组组存在非常数有界解存在非常数有界解存在非常数有界解存在非常数有界解第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 5757/78/78由定理知，有一反射壁的随机游动是常返的由定理知，有一反射壁的随机游动是常返的由定理知，有一反射壁的随机游动是常返的由定理知，有一反射壁的随机游动是常返的充要条件是：充要条件是：充要条件是：充要条件是：第第 三
19、三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 5858/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 5959/78/78上方程组可化为上方程组可化为上方程组可化为上方程组可化为第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 6060/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 6161/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 6262/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 6363/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 6464/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 6565/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 6666/78/78012N-1
20、N1不下雨不下雨1-p下雨下雨pN-2不下雨不下雨 1-p下雨下雨p不下雨不下雨 1-p下雨下雨p不下雨不下雨下雨下雨p不下雨不下雨 1-p下雨下雨p第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 6767/78/78所以该马氏链是遍历的不可约马氏链，故平所以该马氏链是遍历的不可约马氏链，故平所以该马氏链是遍历的不可约马氏链，故平所以该马氏链是遍历的不可约马氏链，故平稳分布存在且唯一稳分布存在且唯一稳分布存在且唯一稳分布存在且唯一. . .身边没雨伞的概率为身边没雨伞的概率为身边没雨伞的概率为身边没雨伞的概率为其一步转移转移概率矩阵为其一步转移转移概率矩阵为其一步转移转移概率矩阵为其一步转移转移概率矩
21、阵为第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 6868/78/78长时间后，概率长时间后，概率长时间后，概率长时间后，概率 与初始与初始与初始与初始分布无关，近似于其平稳分布分布无关，近似于其平稳分布分布无关，近似于其平稳分布分布无关，近似于其平稳分布第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 6969/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 7070/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 7171/78/78小结小结小结小结：关于离散马氏链的分析：关于离散马氏链的分析：关于离散马氏链的分析：关于离散马氏链的分析(1)(1)先确定马氏链的一步转移概率矩阵先确定马氏链的一步转移概
22、率矩阵先确定马氏链的一步转移概率矩阵先确定马氏链的一步转移概率矩阵PP；整个研究的出发点整个研究的出发点整个研究的出发点整个研究的出发点.(2)(2)根据一步转移概率矩阵根据一步转移概率矩阵根据一步转移概率矩阵根据一步转移概率矩阵PP，对状态进行分，对状态进行分，对状态进行分，对状态进行分类，确定状态的周期性；类，确定状态的周期性；类，确定状态的周期性；类，确定状态的周期性；(3)(3)判断状态的常返性非常返、正常返、判断状态的常返性非常返、正常返、判断状态的常返性非常返、正常返、判断状态的常返性非常返、正常返、零常返；零常返；零常返；零常返；(4)(4)分析马氏链的平稳分布和转移概率的极限分
23、析马氏链的平稳分布和转移概率的极限分析马氏链的平稳分布和转移概率的极限分析马氏链的平稳分布和转移概率的极限分布；分布；分布；分布；(5)(5)根据实际问题，作相关分析根据实际问题，作相关分析根据实际问题，作相关分析根据实际问题，作相关分析.第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 7272/78/78设有一理发店，顾客的到来是随机的，且各个顾客来设有一理发店，顾客的到来是随机的，且各个顾客来设有一理发店，顾客的到来是随机的，且各个顾客来设有一理发店，顾客的到来是随机的，且各个顾客来设有一理发店，顾客的到来是随机的，且各个顾客来设有一理发店，顾客的到来是随机的，且各个顾客来到店里的时间间隔是相互独
24、立的到店里的时间间隔是相互独立的到店里的时间间隔是相互独立的到店里的时间间隔是相互独立的到店里的时间间隔是相互独立的到店里的时间间隔是相互独立的. . . . . .店里有若干个理发店里有若干个理发店里有若干个理发店里有若干个理发店里有若干个理发店里有若干个理发师，采用师，采用师，采用师，采用师，采用师，采用“先来先服务先来先服务先来先服务先来先服务先来先服务先来先服务”的原则的原则的原则的原则的原则的原则. . . . . .一个顾客到来时，一个顾客到来时，一个顾客到来时，一个顾客到来时，一个顾客到来时，一个顾客到来时，若有理发师空闲，则可立即得到服务，服务完毕则离若有理发师空闲，则可立即得
25、到服务，服务完毕则离若有理发师空闲，则可立即得到服务，服务完毕则离若有理发师空闲，则可立即得到服务，服务完毕则离若有理发师空闲，则可立即得到服务，服务完毕则离若有理发师空闲，则可立即得到服务，服务完毕则离去；若所有的理发师都在工作，则顾客按先后顺序排去；若所有的理发师都在工作，则顾客按先后顺序排去；若所有的理发师都在工作，则顾客按先后顺序排去；若所有的理发师都在工作，则顾客按先后顺序排去；若所有的理发师都在工作，则顾客按先后顺序排去；若所有的理发师都在工作，则顾客按先后顺序排队队队队队队. . . . . .假设各个顾客受到的服务时间是相互独立同分布假设各个顾客受到的服务时间是相互独立同分布假
26、设各个顾客受到的服务时间是相互独立同分布假设各个顾客受到的服务时间是相互独立同分布假设各个顾客受到的服务时间是相互独立同分布假设各个顾客受到的服务时间是相互独立同分布的随机变量，另假设服务时间和顾客的到来时间是相的随机变量，另假设服务时间和顾客的到来时间是相的随机变量，另假设服务时间和顾客的到来时间是相的随机变量，另假设服务时间和顾客的到来时间是相的随机变量，另假设服务时间和顾客的到来时间是相的随机变量，另假设服务时间和顾客的到来时间是相互独立的互独立的互独立的互独立的互独立的互独立的. . . . . .这样的排队系统简记为这样的排队系统简记为这样的排队系统简记为这样的排队系统简记为这样的排
27、队系统简记为这样的排队系统简记为 排队系统排队系统排队系统排队系统 介绍介绍介绍介绍其中第一其中第一其中第一其中第一其中第一其中第一 表示相继到来的两个顾客之间的时间表示相继到来的两个顾客之间的时间表示相继到来的两个顾客之间的时间表示相继到来的两个顾客之间的时间表示相继到来的两个顾客之间的时间表示相继到来的两个顾客之间的时间间隔的分布；第二个间隔的分布；第二个间隔的分布；第二个间隔的分布；第二个间隔的分布；第二个间隔的分布；第二个 表示一个顾客接受的服务表示一个顾客接受的服务表示一个顾客接受的服务表示一个顾客接受的服务表示一个顾客接受的服务表示一个顾客接受的服务时间的分布；时间的分布；时间的分
28、布；时间的分布；时间的分布；时间的分布； 表示服务员的数目表示服务员的数目表示服务员的数目表示服务员的数目表示服务员的数目表示服务员的数目. . . . . .第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 7373/78/78现在假设顾客来到的时间间隔服从指数分布，参数现在假设顾客来到的时间间隔服从指数分布，参数现在假设顾客来到的时间间隔服从指数分布，参数现在假设顾客来到的时间间隔服从指数分布，参数现在假设顾客来到的时间间隔服从指数分布，参数现在假设顾客来到的时间间隔服从指数分布，参数为为为为为为 ，记在时间，记在时间，记在时间，记在时间，记在时间，记在时间 内来到的顾客总数内来到的顾客总数内来到的
29、顾客总数内来到的顾客总数内来到的顾客总数内来到的顾客总数 是服从参数为是服从参数为是服从参数为是服从参数为是服从参数为是服从参数为 的的的的的的 分布，这分布，这分布，这分布，这分布，这分布，这时在时在时在时在时在时在 内来到一个顾客的概率为内来到一个顾客的概率为内来到一个顾客的概率为内来到一个顾客的概率为内来到一个顾客的概率为内来到一个顾客的概率为 ，来到多于一个顾客的概率为，来到多于一个顾客的概率为，来到多于一个顾客的概率为，来到多于一个顾客的概率为，来到多于一个顾客的概率为，来到多于一个顾客的概率为 ，且在，且在，且在，且在，且在，且在时间时间时间时间时间时间 内来到的顾客数内来到的顾客
30、数内来到的顾客数内来到的顾客数内来到的顾客数内来到的顾客数 与与与与与与 内来到的顾客总数相互独立，设只有一名服务员，内来到的顾客总数相互独立，设只有一名服务员，内来到的顾客总数相互独立，设只有一名服务员，内来到的顾客总数相互独立，设只有一名服务员，内来到的顾客总数相互独立，设只有一名服务员，内来到的顾客总数相互独立，设只有一名服务员，按按按按按按“先来先服务先来先服务先来先服务先来先服务先来先服务先来先服务”的原则，这样的排队系统记为的原则，这样的排队系统记为的原则，这样的排队系统记为的原则，这样的排队系统记为的原则，这样的排队系统记为的原则，这样的排队系统记为 . . . . . .此处的
31、此处的此处的此处的此处的此处的 表示的指数分布表示的指数分布表示的指数分布表示的指数分布表示的指数分布表示的指数分布. . . . . .假设第假设第假设第假设第假设第假设第i i i个顾客的到达时间为个顾客的到达时间为个顾客的到达时间为个顾客的到达时间为个顾客的到达时间为个顾客的到达时间为 ，则相继到来的两，则相继到来的两，则相继到来的两，则相继到来的两，则相继到来的两，则相继到来的两个顾客之间的时间间隔为个顾客之间的时间间隔为个顾客之间的时间间隔为个顾客之间的时间间隔为个顾客之间的时间间隔为个顾客之间的时间间隔为tT1T2T3第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 7474/78/78第第
32、 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 7575/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 7676/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 7777/78/78第第 三三 章章 马尔科夫链马尔科夫链 7878/78/78在排队系统中常返的直观含义在排队系统中常返的直观含义在排队系统中常返的直观含义在排队系统中常返的直观含义 是一个顾客在接受服务的是一个顾客在接受服务的是一个顾客在接受服务的是一个顾客在接受服务的时间内，时间内，时间内，时间内，到来的顾客的平均数到来的顾客的平均数到来的顾客的平均数到来的顾客的平均数 表示离去的顾客数小于到来的顾客表示离去的顾客数小于到来的顾客表示离去的顾客数小于到来的顾客表示离去的顾客数小于到来的顾客数数数数 队伍会越来越长队伍会越来越长队伍会越来越长队伍会越来越长 表示离去的顾客数大于到来的顾客表示离去的顾客数大于到来的顾客表示离去的顾客数大于到来的顾客表示离去的顾客数大于到来的顾客数数数数 队伍不会越来越长，随着时间的延队伍不会越来越长，随着时间的延队伍不会越来越长，随着时间的延队伍不会越来越长，随着时间的延长，其长度近似地有一个稳定的分布长，其长度近似地有一个稳定的分布长，其长度近似地有一个稳定的分布长，其长度近似地有一个稳定的分布. . .
