2-3 控制系统的结构图与信号流图结构图结构图 信号流图信号流图 两者都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形，它们表示了系统各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算，是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法l信号流图比结构图符号简单，便于绘制和应用l结构图可应用于线性系统、非线性系统；而信号流图只适用于线性系统 控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含四种基本单元：l信号线信号线l引出点（或测量点）引出点（或测量点）l比较点（或综合点）比较点（或综合点）l方框（或环节）方框（或环节）1.系统结构图的组成和绘制 信号线信号线 信号线是带有箭头的直线带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数时间函数或象函数象函数 引出点（或测量点）引出点（或测量点） 引出点表示信号引出或测量的位置从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同 比较点（或综合点）比较点（或综合点） 比较点表示对两个以上的信号进行加减运算的信号进行加减运算，“+”号表示相加，“-”号表示相减，“+”号可省略不写 方框（或环节）方框（或环节） 方框表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。
显然，方框的输出变量等于方框的输入变量与传递函数的乘积，即 系统结构图结构图实质上是系统原理图原理图与数学数学方程方程两者的结合，既补充了原理图所缺少的定量描述，又避免了纯数学的抽象运算l从结构图上可以用方框进行数学运算数学运算；l也可以直观了解各元部件的相互关系相互关系及其在系统中所起的作用；l更重要的是，从系统结构图可以方便地求得系统的传递函数传递函数 所以，系统结构图也是控制系统的一种数学模型数学模型 如何读结构图？如何读结构图？ 绘制系统结构图时：①分别列写系统各元部件的微分方程各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框方框表示；②根据各元部件的信号流向，用信号线依用信号线依次将各方框连接次将各方框连接便得到系统的结构图如何绘制结构图？如何绘制结构图？ 例：例：试绘制下图无源网络的结构图解第①步：根据基尔霍夫定律定出方程： 第②步：按照所列出的方程分别绘制相应元件的方框图 第③步：用信号线按信号流向依次将各方框连接起来，便得到无源网络的结构图RC无源网络结构图无源网络结构图 绘制系统结构图的步骤：绘制系统结构图的步骤：第第①①步：步：应用相应的物理、化学原理写出各元件方程；第第②②步：步：按照所列出的方程分别绘制相应元件的方框图；第第③③步：步：用信号线按信号流向依次将各元件方框连接起来，便得到系统的结构图。
[例1].求如图所示的速度控制系统的结构图负载-+- + 功率 放大器测速发电机 比较环节：运放Ⅰ：各部分传递函数：各部分传递函数：负载-+- + 功率 放大器测速发电机 运放Ⅱ：功放环节：各部分传递函数：各部分传递函数：负载-+- + 功率 放大器测速发电机 反馈环节：负载-+- + 功率 放大器测速发电机电动机环节：- 在结构图中，不仅能反映系统的组成和信号流向，还能在结构图中，不仅能反映系统的组成和信号流向，还能在结构图中，不仅能反映系统的组成和信号流向，还能在结构图中，不仅能反映系统的组成和信号流向，还能表示信号传递过程中的数学关系系统结构图也是系统的数表示信号传递过程中的数学关系系统结构图也是系统的数表示信号传递过程中的数学关系系统结构图也是系统的数表示信号传递过程中的数学关系系统结构图也是系统的数学模型，是复域的数学模型学模型，是复域的数学模型学模型，是复域的数学模型学模型，是复域的数学模型 将上面几部分按照逻辑连接起来，形成下页所示的完整结构图 绘制系统结构图的步骤：绘制系统结构图的步骤：第第①①步：步：应用相应的物理、化学原理写出各元件方程；第第②②步：步：按照所列出的方程分别绘制相应元件的方框图；第第③③步：步：用信号线按信号流向依次将各元件方框连接起来，便得到系统的结构图。
2. 结构图的等效变换和简化[定义定义]：：结构图的等效变换结构图的等效变换－－在结构图上进行数学方程的运算[类型类型]：：①①环节的合并； --串联 --并联 --反馈连接 ②信号分支点或相加点的移动[原则原则]：：变换前后环节的数学关系保持不变 （一）环节的合并：（一）环节的合并：有串联、并联和反馈三种形式有串联、并联和反馈三种形式 环节的并联环节的并联：： 反馈联接：反馈联接： 环节的串联：环节的串联：… 如把如把反馈通道在反馈通道在A点处断开点处断开,如下图所示如下图所示, 得得叫闭环系统的开环叫闭环系统的开环传递函数传递函数.从从而而闭环闭环传递函数可表为传递函数可表为:前向通道前向通道传递函传递函开环开环传递函数传递函数上面结论具有一般性上面结论具有一般性. 如如, 则则上式上式表明表明, 当系统的开环当系统的开环传递函数大大大于传递函数大大大于1时时,闭环闭环传递函传递函数与数与前向通道前向通道传递函无关传递函无关, 仅为仅为反馈通道反馈通道传递函数的倒数传递函数的倒数. （二）信号相加点和分支点的移动（二）信号相加点和分支点的移动： 如果上述三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动某些信号的相加点和分支点。
①①信号相加点的移动：信号相加点的移动： 把相加点从环节的输入端移到输出端 把相加点从环节的输出端移到输入端： ②②信号分支点的移动：信号分支点的移动： 分支点从环节的输入端移到输出端 分支点从环节的输出端移到输入端： 相邻的相加点位置可以互换；见下例 同一信号的分支点位置可以互换：见下例 相加点和分支点在一般情况下，不能互换 所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动支点移动教材表教材表2-4给出了结构图给出了结构图等效变换的若干基本法等效变换的若干基本法则则.(要求熟练掌握要求熟练掌握) 例题例题[例2]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数[解]：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应根据电路定理，有以下式子：-- - 总的结构图如下： 为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换一个可能的变换过程如下：-----①--② --③-④ [解]：结构图等效变换如下：[例3]系统结构图如下，求传递函数 相加点移动-①+ -+② 例例4: 利用利用结构图结构图等效变换法则求下图的等效变换法则求下图的传递函数传递函数解解: 由上图得由上图得例例2: 利用结构图等效变换法则求下图的传递函数利用结构图等效变换法则求下图的传递函数 将上将上图图G3,H换位整理成下图换位整理成下图:信号比较点后移信号比较点后移 信号比较点重新组合信号比较点重新组合由上面简化后的结构图可得其传递函数为由上面简化后的结构图可得其传递函数为: 如果反馈控制系统求传递函数时要用叠加原理分别处理如果反馈控制系统求传递函数时要用叠加原理分别处理例例: 设某负反馈控制系统的结构如下图所示设某负反馈控制系统的结构如下图所示:求求在在和和同时作用下的表达式同时作用下的表达式解解: 令令得得令令上图可上图可等效为下图等效为下图, 由上图由上图得得:因此因此作业：作业： 2-11 (c), (d) 三三. 信号流图的组成及性质信号流图的组成及性质 信号流图的本质信号流图的本质, 是用是用小圆点小圆点和和带箭头的直线带箭头的直线组成的图型组成的图型,来表示一个或一组线性代数方程来表示一个或一组线性代数方程, 然后利用梅逊公式求系统的然后利用梅逊公式求系统的传递函数传递函数.信号流图中的术语信号流图中的术语 节点节点: : 表示表示变量变量或信号的小圆点或信号的小圆点.方程组中有几个变量方程组中有几个变量, 就就可可用相应数目的节点用相应数目的节点. 支路支路: 连接两个节点的定向线段连接两个节点的定向线段. 线段上箭头的方向线段上箭头的方向, 表示表示信信号流通的方向号流通的方向. 支路旁标明的数字支路旁标明的数字﹑字母或表达式称为支路传输字母或表达式称为支路传输值或称为值或称为支路传输增益支路传输增益. 支路上的箭头指向节点支路上的箭头指向节点, 叫该节点的叫该节点的输输入支路入支路, 支路上的箭头支路上的箭头离开节点离开节点, 叫该节点的叫该节点的输出支路输出支路. 用支路增益表示方程式中两个变量的因果关系，因此支路相当用支路增益表示方程式中两个变量的因果关系，因此支路相当于乘法器于乘法器X1X2a12 X4X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25例例1 设有一组线性代数方程为设有一组线性代数方程为: X2=a12X1+ a32x3 X3=a23X2+ a43X4 X4=a24X2+ a34X3 +a44X4 X5=a25X2 – a45X4怎么画信号图？怎么画信号图？ 例例 设有信号图为设有信号图为: 怎么读信号图？怎么读信号图？所描述的线性方程组为：所描述的线性方程组为： 注意注意: (1) 信信号在节点上只能相加号在节点上只能相加; (2) 根据线性代数方程组根据线性代数方程组, 先确定变量数目先确定变量数目, 依此依此 排列排列, 然后画图然后画图; (3) 流入节点的信号可以各不相同流入节点的信号可以各不相同, 但流出节点的但流出节点的 信号表示同一个信号信号表示同一个信号. X4X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25 输入节点输入节点:只有输出支路只有输出支路的节点的节点, 叫输入节点叫输入节点, 也叫源节点也叫源节点, 如如X1.输出节点输出节点:只有输入支路只有输入支路的节点的节点, 叫输出节点叫输出节点, 也叫阱节点也叫阱节点, 如如X5.混合节点混合节点:既有输入支路既有输入支路, 又有输出支路的节点又有输出支路的节点, 叫混合节点叫混合节点. 如如X2, X3, X4. 增加一条单位传输支路增加一条单位传输支路,可使混合节点可使混合节点变变 为输出节点为输出节点, 但不能使其变为输入节点但不能使其变为输入节点.X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X41X2通道通道: 凡从某一节点开始凡从某一节点开始, 沿支路的箭头方向连续经过一些节沿支路的箭头方向连续经过一些节 点而终止在另一节点或同一节点的路经点而终止在另一节点或同一节点的路经, 统称为通道统称为通道.开通道开通道:如果通道从某一节点开始终止在另一节点上如果通道从某一节点开始终止在另一节点上, 而且通道而且通道 中中每个节点只经过一次每个节点只经过一次,该通道叫开通道该通道叫开通道. 闭闭通道通道: 如果通道的终点就是通道的始点如果通道的终点就是通道的始点,而且通道中而且通道中每个节点只每个节点只 经过一次经过一次,该通道叫闭通道该通道叫闭通道. 也叫回环也叫回环, 回路回路. 如如a44, a34 a43, a23 a32. 但但a23 a34a43 a32不是不是.前向通道前向通道: 在开通道中在开通道中,从源节点始到阱节点止从源节点始到阱节点止, 并且并且每个节点每个节点只只 经过一次的通道经过一次的通道. 在确定前向通道时在确定前向通道时, 首先要明确首先要明确 源节点与阱节点源节点与阱节点.X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4 X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4•不接触回路不接触回路: 如果一些如果一些回路回路没有任何公共节点没有任何公共节点, 就叫不接触就叫不接触• 回路，回路，a44, a23 a32.•通道传输通道传输( 或增益或增益): 通道中各支路传输通道中各支路传输( 或增益或增益)的乗积的乗积.•回路传输回路传输( 或增益或增益): 闭通道中各支路传输闭通道中各支路传输( 或增益或增益)的乗积的乗积. 信号流图的性质信号流图的性质•节点表示系统的变量。
一般，节点节点表示系统的变量一般，节点自左向右自左向右顺序设顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示节点的变量表示•支路相当于乘法器支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号增益而变换为另一信号•信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系果的因果关系•对于给定的系统对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，节点变量的设置是任意的，因此信因此信号流图不是唯一的号流图不是唯一的 •信号流图的化简 串联支路合并： 并联支路的合并： 回路的消除： 混合支路的清除： 自回路的消除： 4.信号流图的绘制•信号流图可以信号流图可以根据微分方程根据微分方程绘制，也可以绘制，也可以从系统结构图从系统结构图按照对应关系按照对应关系得到•1）按微分方程）按微分方程绘制（用得少）绘制（用得少）•2）根据结构图）根据结构图绘制绘制 •将输入量、输出量、比较点的输出、分叉点及中间变量改为节点；•用标有传递函数的定向线段代替各环节的方框，成为流图的支路； 5 梅逊公式梅逊公式 任一信号流图任一信号流图, 输输入节点与输出节点间入节点与输出节点间的总增益的总增益, 可用如下可用如下梅逊公式求得梅逊公式求得:式中式中: n是从输入节点到输出节点的前向通道的总条数是从输入节点到输出节点的前向通道的总条数.Pk 是从输入节点到输出节点的第是从输入节点到输出节点的第k条前向通道的总增益条前向通道的总增益.Δ特征式：特征式： ΔΔ中中: La是信号流图中每一个单独回路的增益是信号流图中每一个单独回路的增益. LbLc是信号流图中任何两两互不接触回路增益的乗积是信号流图中任何两两互不接触回路增益的乗积. LdLeLf是信号流图中任何三三互不接触回路增益的乗是信号流图中任何三三互不接触回路增益的乗积积.ΔΔk k第第k个前向通道的余因子式；其值为个前向通道的余因子式；其值为Δ中去掉与第中去掉与第k个个前向通道相接触回路后的剩余部分。
前向通道相接触回路后的剩余部分 例例1 利用梅逊公式求下图的信号流图中利用梅逊公式求下图的信号流图中X1与与X5之间的增益之间的增益X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4上图中有三条前向通道上图中有三条前向通道, 故故n=3, 即即 G1= –a12 a23 a34 a45 G2= –a12 a24 a45, G3= a12 a25 X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4 ΣΣLa=a23 a32 + a34 a43 + a44 + a24 a43 a32 ΣΣLbLc= a23 a32 a44ΔΔ=1 – ΣΣLa + ΣΣLbLc =1 – (a23 a32 + a34 a43 + a44 + a24 a43 a32) + a23 a32 a44ΔΔ1 1 =1 , ΔΔ2 2 =1 , ΔΔ3 3 =1 – a34 a43 – a44 X5与与X1之间的增益之间的增益X5/X1为为 根据信号流图，用梅森公式求系统的传递函数，根据信号流图，用梅森公式求系统的传递函数，其其步骤步骤：：1.找前向通道，并求：找前向通道，并求：2 . ①①找回路，求：找回路，求： ②②找两两不接触的回路：找两两不接触的回路： ③③找三三不接触的回路，求：找三三不接触的回路，求：3.求：求：4.求：求：5.代入公式：代入公式： 例2 图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ） 所有单独回路增益之和为 两两互不接触回路增益乘积之和为 而△值为 把△中与第k条前向通道有关的回路去掉后，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示 前向通道前向通道增益余子式R→ V1 → V3 → V2 → CP1=bde△1=1R → V2 → CP2=f△2=1－m－ldR → V1 → V2 → CP3=bg△3=1 [解]：前向通道有一条； 有一个回路； [例3]求速度控制系统的总传输 。
不计扰动） [解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：[例4]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数 图中，有一个前向通道；有三个回路；有两个互不接触回路；（因为三个回路都与前向通道接触总传输为： 讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两点合并使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，总传输将不一样不能合并因为a、b两点的信号值不一样 [例5]：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数[解]：在结构图上标出节点，如上然后画出信号流图，如下：++-- 回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：求 ：前向通道有二，分别为: 求 ：（蓝线表示） 不变红线表示）注意：上面讲 不变，为什么？ 是流图特征式，也就是传递函数的特征表达式对于一个给定的系统，特征表达式总是不变的，可以试着求一下 •注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益而输出对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路，而把非输入节点变成输入节点。
对此问题有两种方法求其传递函数：•一、把该混合节点的所有输入支路去掉，将其作为输入节点处理，然后再用梅森公式•二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的传递函数，如上题中E节点 [例2-15]数数有几个回路和前向通道 有四个回路，分别是：它们都是互相接触的 有九条前向通道，分别是： 对应的结构图为：--+++++为节点注意：①先将信号流图中的节点照搬；②仔细确定前向通道和回路的个数，箭头从节点指向相交点 作业 2-15 (a),(b),(e) 6.闭环系统的传递函数 闭环控制系统（也称反馈控制系统）的典型结构图如下图所示：-+ 图中， ， 为输入、输出信号， 为系统的偏差， 为系统的扰动量，这是不希望的输入量 由于传递函数只能处理单输入、单输出系统，因此，我们分别求 对 和 对 的传递函数，然后叠加得出总的输出量 （一）给定输入作用下的闭环系统：（一）给定输入作用下的闭环系统：令 ，则有：-输出量为：上式中， 称为前向通道传递函数，前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道。
前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数 含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号 之间的传递函数 （二）扰动作用下的闭环系统：此时R(s)=0,结构图如下：输出对扰动的传递函数为：输出为：-+ 给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统根据线性迭加原理：输出：-+[提示]：各个传递函数 都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征表达式 （三）系统偏差传递函数：--+ 又若单位反馈系统H(s)=1，则有：开环传递函数=前向通道传递函数系统的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系统误差 一般要求由扰动量产生的输出量应为零系统的误差为-C(s),偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，扰动作用下偏差传递函数为：-+ 给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统根据线性迭加原理：偏差：-+[提示]：各个传递函数 都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征表达式。