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1、10.4 对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念和性质一、对面积的曲面积分的概念和性质 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分类曲线积分 其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式式抽象概括得到对面积的曲面积分的概念抽象概括得到对面积的曲面积分的概念1.1.定义定义其物理背景是面密度为其物理背景是面密度为 f ( x , y ,
2、z ) 的曲面块的质量的曲面块的质量2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质由上述定义可知由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似）线性性）线性性）可加性）可加性）存在性）存在性）表示闭曲面表示闭曲面则则则则二、对面积的曲线积分的计算法二、对面积的曲线积分的计算法按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：则则对面积的曲面积分化为二重积分的计算步骤对面积的曲面积分化为二重积分的计算步骤1） 将曲面的方程代入被积函数将曲面的方程代入被积函数2）换面积元）换面积元3）将曲面投影到坐标面得投影区域）将曲面投影到坐标面
3、得投影区域注：注：（1）这里积分曲面的方程必须是）这里积分曲面的方程必须是单值显函数单值显函数，否则，否则可利用可加性，分块计算，结果相加可利用可加性，分块计算，结果相加（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程及投影区域及投影区域（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数把被积函数化为二元函数（4）切记任何时候都要换面积元）切记任何时候都要换面积元例例1 1解解例例2 计算计算与平面与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面解解在在 xoy 内的投影区域
4、内的投影区域oxyz例例3 计算计算 z = 0 与与 z = H 之间的圆柱面之间的圆柱面解解由对称性由对称性 有有例例4解解依对称性知：依对称性知：注注对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性对称于对称于xoy （或（或yoz ，或，或 zox ）坐标面）坐标面若若 f（x , y , z ) 关于关于z（或（或 x ，或，或 y ）是奇函数）是奇函数若若 f（x , y , z ) 关于关于z（或（或 x ，或，或 y ）是偶函数）是偶函数完全类似于三重积分的对称性完全类似于三重积分的对称性例例5 计算计算解解例例6 6解解（左右两片投影相同）（左右两片投影相同）例例7 求均匀曲面求均匀曲面的重心坐标的重心坐标解解由对称性由对称性故故 重心坐标为重心坐标为例例8 解解注注对面积的曲面积分的应用对面积的曲面积分的应用面积面积质量质量重心重心转动惯量转动惯量小结小结1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念;2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.（按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）
