《高等数学：（A）第五章 第1节 定积分的概念与性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：（A）第五章 第1节 定积分的概念与性质（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1一、问题的提出一、问题的提出二、定积分的定义二、定积分的定义三、存在定理三、存在定理四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义2abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、问题的提出3abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）4解决步骤解决步骤 :1) 分割分割. 在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 近似近似. 在第i 个窄曲边梯
2、形上任取作以为底 ,为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得53) 求和求和.4) 取极限取极限. 令则曲边梯形面积6实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值71、分割、分割3、求和、求和4、取极限、取极限8上述两个问题的共性共性:1 1、解决问题的方法步骤相同解决问题的
3、方法步骤相同 : :9二、定积分的定义定义定义10被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和11说明：说明：12定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理13曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义abxyoyxoab1415例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解1617对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在在下面的性质中，假定定积分都存在.第二节 定积分的性质18（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个
4、函数作和的情况）性质性质1 1性质性质2 2性质性质3 319证证: 当时,因在上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是20当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如则有（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）21性质性质4 4性质性质5 522性质性质5 5的推论：的推论：证证（1）23解解于是于是例例1 比较积分值比较积分值 和和 的大小的大小.24证证性质性质5 5的推论：的推论：（2）25证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 626解解29证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式30使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：3233
