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1、抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程讲课教师：赵玉成讲课教师：赵玉成高中数学多媒体课件高中数学多媒体课件拱桥拱桥隧隧 道道生活中的抛物线生活中的抛物线 喷泉喷泉 投篮投篮 知知 识识 回回 顾顾当当0e10e1e1时时, ,轨迹是轨迹是_;_;MF1F2L1L2F1F2ML1L2N l F 抛物线抛物线抛物线的焦点抛物线的焦点抛物线的准线抛物线的准线问题：如问题：如何求出抛何求出抛物线的方物线的方程呢？程呢？【定义定义】平面内与一平面内与一定点定点F F和一条和一条定直线定直线L L的的距离相等的点的轨迹叫做距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线. . yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=
2、ax2MFLN思考思考: :怎样建立坐标系才能使该抛物线的方程形怎样建立坐标系才能使该抛物线的方程形式简单、结构美观？式简单、结构美观？则焦点则焦点F的坐标为的坐标为 ,LFMNKdxyo准线准线L方程为方程为 设设M(x,y)是抛物线上任意一点是抛物线上任意一点, 则有则有:化简化简,得得: y2=2px(p0)抛物线的标准方程抛物线的标准方程取过取过焦点焦点F F且垂直于准线且垂直于准线L L的直线为的直线为x x轴，线段轴，线段KFKF的中垂线为的中垂线为y y轴轴 若设焦点到准线的距离为若设焦点到准线的距离为p ，则，则|KF|=p (p0)x xy yo oF FL LM MN N方
3、程方程 y y2 2=2px (p0) =2px (p0) 叫做抛物线的标准方程叫做抛物线的标准方程. . 它表示的抛物线的焦点在它表示的抛物线的焦点在x x轴的轴的正半轴上正半轴上, ,坐标是坐标是 , ,它的准线它的准线方程是方程是方程方程 x x2 2=2py (p0) =2py (p0) 也叫做抛物线的标准方程也叫做抛物线的标准方程. . 它表示的抛物线的焦点在它表示的抛物线的焦点在y y轴的轴的正半轴上正半轴上, ,坐标是坐标是 , ,它的准线它的准线方程是方程是x xy yo oF FL LM MN N 问题问题: : 当抛物线开口如下各图所示情形时，当抛物线开口如下各图所示情形时
4、，其标准方程又是什么样的？其标准方程又是什么样的？yxoFxyFo由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形：由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形：准线方程准线方程焦焦 点点 坐坐 标标标标 准准 方方 程程图图 形形第一：从四种方程的第一：从四种方程的第一：从四种方程的第一：从四种方程的形式看，都有一个平形式看，都有一个平形式看，都有一个平形式看，都有一个平方项和一个一次项。方项和一个一次项。方项和一个一次项。方项和一个一次项。其中其中其中其中P P P P的几何意义都是的几何意义都是的几何意义都是的几何意义都是？。？。？。？。第二：焦点
5、的判定：第二：焦点的判定：第二：焦点的判定：第二：焦点的判定：看一次项是看一次项是看一次项是看一次项是x x x x还是还是还是还是y y y y， 焦点就在该轴上焦点就在该轴上焦点就在该轴上焦点就在该轴上第三：一次项系数的第三：一次项系数的第三：一次项系数的第三：一次项系数的正负决定了开口方向。正负决定了开口方向。正负决定了开口方向。正负决定了开口方向。若果一次项系数为正若果一次项系数为正若果一次项系数为正若果一次项系数为正则开口向则开口向则开口向则开口向x x x x轴正向；同轴正向；同轴正向；同轴正向；同理负向。理负向。理负向。理负向。【例题例题1 1】 (1) (1) 已知抛物线的标准
6、方程是已知抛物线的标准方程是 y y2 2=6x ,=6x ,求它求它 的焦点坐标及准线方程的焦点坐标及准线方程. . (2) (2) 已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),F(0,-2),求求 它的标准方程它的标准方程. .解解:(1):(1)抛物线的焦点位于抛物线的焦点位于x x轴的正半轴上轴的正半轴上, ,因为因为p=3,p=3, 所以焦点坐标是所以焦点坐标是准线方程为准线方程为(2)(2)因为抛物线的焦点在因为抛物线的焦点在y y轴负半轴上轴负半轴上, ,且且p=4,p=4,所以它所以它 的标准方程是的标准方程是得得: 2p=1得得: 2p=8【例例2 2】如果
7、知道抛物线过点如果知道抛物线过点P(2,4),能求出它的标准方程吗？能求出它的标准方程吗？解解:由于抛物线经过第一象限的点由于抛物线经过第一象限的点 P(2,4),则它的开口方向一定是则它的开口方向一定是 向右或向上向右或向上.故可设所求抛物线的标准方程为故可设所求抛物线的标准方程为y2=2px 或或 x2=2py ,其中其中p0.若方程为若方程为y2=2px, 则由则由42=2p2, ,若方程为若方程为x2=2py, 则由则由22=2p4, ,所以所求抛物线方程为所以所求抛物线方程为y2=8x 或或 x2=y xP(2,4)yo求下列抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
8、： （1）y2 = 20x （2）x2= y （3）x2 +8y =0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1）（2）（3）（5，0）x= -5（0 , ）18y= - 18y=2(0 , -2)【课堂练习课堂练习1】 【课堂练习课堂练习2 2】 根据下列所给的条件根据下列所给的条件, ,写出抛物线的标准方程写出抛物线的标准方程: : (1) (1) 焦点是焦点是F(3,0);F(3,0); (2) (2) 准线方程是准线方程是y= ;y= ; (3) (3) 焦点到准线的距离是焦点到准线的距离是2;2;答案答案: (1) y2=12x(2) x2=-y(3) y2=4x, y2=-4x, x2=
9、4y, x2=-4y 小小小小 结结结结1.掌握并理解抛物线的定义。掌握并理解抛物线的定义。体会抛物线与椭圆、双曲线体会抛物线与椭圆、双曲线可以通过离心率可以通过离心率 e 来来 联系联系2、掌握抛物线方程的推导。、掌握抛物线方程的推导。3 3、抛物线方程、抛物线方程 x x2 2 = 2py = 2py 中字母中字母 p p 的几何意义是的几何意义是“焦点焦点F F到准线到准线L L的的距离距离 ”4 4、要求熟练掌握四种方程形式与、要求熟练掌握四种方程形式与相应焦点和准线的的关系。求抛物相应焦点和准线的的关系。求抛物线方程线方程 ，或者求其焦点坐标和准，或者求其焦点坐标和准线，关键要从线，关键要从p p入手入手 小小小小 结结结结 作作 业业 (1)(1)教材教材P119 (P119 (课后练习课后练习) ) / 4 4(2)(2)补充作业补充作业: 根据下列条件写出抛物线的标根据下列条件写出抛物线的标 准方程准方程: 焦点是焦点是F(0,-1) 准线方程是准线方程是x=1 过点过点M(-1,3)课后思考：二次函数是抛物线，但抛物线是课后思考：二次函数是抛物线，但抛物线是二次函数吗？它们的区别与联系是什么？二次函数吗？它们的区别与联系是什么？
