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1、区域(qy)(qy)连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分(b fen)都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.复连通(lintng)区域单连通区域DD第1页/共41页第一页，共42页。一、一、 格林公式格林公式(gngsh)(gngsh)定理(dngl)1 第2页/共41页第二页，共42页。边界(binji)曲线L的正向 当观察者沿边界(binji)行走时,区域D总在他的左边。第3页/共41页第三页，共42页。证明(zhngmng) (1)yxoabDcdABCE第4页/共41页第四页，共42页。同理可证yxodDcCE第5页/共41页第五页，共42
2、页。(2)D两式相加得第6页/共41页第六页，共42页。第7页/共41页第七页，共42页。GDFCEAB(3)由(2)知第8页/共41页第八页，共42页。第9页/共41页第九页，共42页。xyoL（1） 简化(jinhu)曲线积分简单(jindn)(jindn)应用AB第10页/共41页第十页，共42页。第11页/共41页第十一页，共42页。（2） 简化(jinhu)二重积分xyo第12页/共41页第十二页，共42页。第13页/共41页第十三页，共42页。（例3 计算(j sun) 解 可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这里(zhl)用格林公式。 从到（第14页/共41页第十四页，共42页
3、。第15页/共41页第十五页，共42页。解第16页/共41页第十六页，共42页。xyoLyxo第17页/共41页第十七页，共42页。xyo(注意格林公式(gngsh)的条件)第18页/共41页第十八页，共42页。还可将结论(jiln)更一般化（略） 小结(xioji)（1）L是D的边界，在D上简单(jindn)，而且 易于计算时，可应用格林公式计算 OxyL1L2L3L注 此例中所作的辅助圆l是否一定要是D内的圆周（即r充分小）？ 第19页/共41页第十九页，共42页。（2）L不封闭时，采取“补线”的方法： 要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。 选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。
4、（3）如在D上P、Q一阶偏导连续，且处处有 则 如 D 内除点外均有 则 第20页/共41页第二十页，共42页。 其中是包围点的与同向的光滑的简单闭曲线，特别地是以为中心的圆、椭圆等（半径或长短半轴大小不限，只要内部(nib)没有别的“坏点”） 例5 计算 逆时针方向。 解第21页/共41页第二十一页，共42页。除原点外处处(chch)有 取,逆时针方向，则第22页/共41页第二十二页，共42页。（3） 计算(j sun)平面面积第23页/共41页第二十三页，共42页。解第24页/共41页第二十四页，共42页。第25页/共41页第二十五页，共42页。GyxoBA如果(rgu)在区域G内有二、平
5、面上曲线积分与路径无关二、平面上曲线积分与路径无关(wgun)(wgun)的的条件条件第26页/共41页第二十六页，共42页。平面上曲线积分与路径无关的等价(dngji)(dngji)条件具有(jyu)一阶连续偏导数,则以下(yxi)四个条件等价:定理8.2.2 设 是单连通域,在 内函数(1) 沿 中任意光滑闭曲线 ,有(2) 对 中任一分段光滑曲线 , 曲线积分与路径无关, 只与起止点有关. (3)在 内是某一函数的全微分,即 (4) 在 内每一点都有第27页/共41页第二十七页，共42页。说明: 积分与路径无关(wgun)时, 曲线积分可记为 证明(zhngmng) (1) (zhngm
6、ng) (1) (2)(2)设为D内任意(rny)两条由A到B的有向分段光滑曲线则(根据条件(1)第28页/共41页第二十八页，共42页。证明(zhngmng) (2)(zhngmng) (2)（3 3）在D内取定点(dn din)因曲线(qxin)积分则同理可证因此有和任一点,与路径无关,有函数 第29页/共41页第二十九页，共42页。证明(zhngmng) (3) (zhngmng) (3) （4 4）设存在函数 使得则 在D内具有连续(linx)的偏导数,从而(cng r)在D内每一点都有第30页/共41页第三十页，共42页。证明(zhngmng) (zhngmng) (4)(4)（1
7、1） 设L为D中任一分段(fn dun)光滑闭曲线,(如图) ,利用(lyng)格林公式 , 得所围区域为证毕第31页/共41页第三十一页，共42页。说明(shu(shumngmng):):根据(gnj)定理2,若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化(jinhu)计算,及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;3)可用积分法求在域D内的原函数:第32页/共41页第三十二页，共42页。例7计算(jsun)其中(qzhng)L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解 为了使用(shyng)格林公式, 添
8、加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D , 则第33页/共41页第三十三页，共42页。例8验证(ynzhng)是某个函数(hnsh)的全微分,并求出这个(zh ge)函数. 证 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y)，使。第34页/共41页第三十四页，共42页。例9验证(ynzhng)在右半平面(pngmin)内存在原函数 , 并求出它. 证 令则由定理(dngl) 2 可知存在原函数第35页/共41页第三十五页，共42页。或第36页/共41页第三十六页，共42页。内容(nirng(nirng) )小结1 格林公式(gngsh)2 等价(dngji)条件在 D 内与路径无关.在 D
9、内有对 D 内任意闭曲线L有在 D 内有设P,Q在单连通域D内具有一阶连续偏导数, 则有第37页/共41页第三十七页，共42页。思考(sko)(sko)与练习1 设且都取正向, 问下列(xili)计算是否正确 ?提示(tsh):第38页/共41页第三十八页，共42页。2 设提示(tsh) 第39页/共41页第三十九页，共42页。 备用(biyng)(biyng)题 1 1 设C C为沿从点依逆时针的半圆(bnyun), 计算解 添加(tin ji)辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =到点第40页/共41页第四十页，共42页。感谢您的观看(gunkn)！第41页/共41页第四十一页，共42页。内容(nirng)总结区域连通性的分类。从到。（1）L是D的边界，在D上。易于计算时，可应用格林公式计算。选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。取,逆时针方向，则。与路径无关, 只与起止点有关.。说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为。(根据条件(1)。和任一点,。证明 (4)（1）。2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化(jinhu)计算,。1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径。在 D 内与路径无关.第四十二页，共42页。
