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1、2.2.22.2.2 间间接证明接证明反证法反证法直接证明：直接证明：(1)综合法综合法(2)分析法分析法由因导果由因导果执果索因执果索因已知条件已知条件结论结论已知条件已知条件结论结论 反证法：反证法： 假设假设命题结论的命题结论的反面成立反面成立，经过正确的，经过正确的推理推理, ,引出引出矛盾矛盾，因此说明假设错误，因此说明假设错误, ,从从而证明原命题成立而证明原命题成立, ,这样的的证明方法叫这样的的证明方法叫反证法反证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反 已知：已知：A， B， C是是ABC的内角的内角.求证：求证： A， B， C中至少有一个中至少有一个 不小
2、于不小于60证明：证明：证明：证明：假设假设假设假设 的三个内角的三个内角的三个内角的三个内角A A，B B，C C都小于都小于都小于都小于6060 ，所以所以所以所以 A A 6060 ，B B 60 60 ， C C 6060 A+A+ B+B+ C180C）小于小于 (b0ab0，那么，那么我试试我试试例例2 2 求证：求证： 是无理数是无理数。假设不成立，故假设不成立，故 是无理数。是无理数。反馈练习反馈练习1 1、写出用、写出用“反证法反证法”证明下列命题的第证明下列命题的第一步一步“假设假设”. .(1)(1)互补的两个角不能都大于互补的两个角不能都大于9090. . (2)ABC
3、(2)ABC中中, ,最多有一个钝角最多有一个钝角 假设互补的两个角都大于假设互补的两个角都大于90.假设假设ABC中中,至少有两个钝角至少有两个钝角2 2、“已知已知: ABC: ABC中中,AB=AC.,AB=AC.求证求证:B90:B180B+C+A180. .这与三角形内角和这与三角形内角和定理相矛盾定理相矛盾. .(2)(2)所以所以B90B90. (3). (3)假设假设B90B90. .(4)(4)那么那么, ,由由AB=AC,AB=AC,得得B=C90B=C90. .即即B+C180B+C180. .这四个步骤正确的顺序应是这四个步骤正确的顺序应是( )( )A.(1)(2)(
4、3)(4)A.(1)(2)(3)(4)B.(3)(4)(2)(1)B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2)C.(3)(4)(1)(2)D.(4)(3)(2)(1)D.(4)(3)(2)(1)反馈练习反馈练习C用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求求证：证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.例例 证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分平分，连结连结 AD、BD、BC、AC, DPOBAC因为弦因为弦AB、
5、CD被被P点平分，所以四边形点平分，所以四边形ADBC是平行四边形是平行四边形所以所以因为因为 ABCD为圆内接四边形为圆内接四边形所以所以因此因此所以，对角线所以，对角线AB、CD均为直径，均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求求证：证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.POBADC例例 1 1由于由于P点
6、一定不是圆心点一定不是圆心O，连结，连结OP，根据垂径定理的推论，有，根据垂径定理的推论，有所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二证法二OPAB，OPCD，2. 2. 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有一有且只有一个根。个根。演练反馈演练反馈 【方法总结方法总结】 推出矛盾，可通过特殊推出矛盾，可通过特殊 值进行说明。值进行说明。例4已知0x0或f(x0)x01，由f(x)在
7、1，)上为增函数，则f(f(x0)f(x0)，又f(f(x0)x0，x0f(x0)，与假设矛盾，若x0f(x0)1，则f(x0)f(f(x0)，又f(f(x0)x0，f(x0)x0也与假设矛盾综上所述，当x01，f(x0)1且f(f(x0)x0时有f(x0)x0.已知p3q32，求证：pq2.证明假设pq2，那么p2q，p3(2q)3812q6q2q3.将p3q32代入得，6q212q60，即6(q1)20.由此得出矛盾pq2.1、如果一条直线经过平面内一点，又经过平、如果一条直线经过平面内一点，又经过平 面外一点，则此直线与平面相交。面外一点，则此直线与平面相交。 【试一试试一试】2、证明：
8、、证明：3、已知方程、已知方程 2x = 3 ，求证方程有且只有一根，求证方程有且只有一根【作业作业】 P54 练习练习1、2 A组组 3演练反馈演练反馈1、写出下列命题，用反证法证明的第一步、写出下列命题，用反证法证明的第一步（1）已知）已知a=b，则，则a2=b2（2）三角形最小的角小于或等于）三角形最小的角小于或等于600（3）两条直线相交，只有一个交点）两条直线相交，只有一个交点（4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线）在同一平面内，若一条直线和两条平行线 中的一条相交，那么和另一条也相交中的一条相交，那么和另一条也相交2、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能 都是锐角三角形都是锐角三角形
