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1、1第三节第三节 分部积分法分部积分法设函数设函数 及及 具有连续具有连续对上式两边求不定积分，得对上式两边求不定积分，得导数已知两个函数乘积的导数公式为导数已知两个函数乘积的导数公式为移项，得移项，得2公式公式称为分部积分公式称为分部积分公式即即例例1 1 求求解解 选取选取则则代入分部积分代入分部积分3公式公式，得得如果选取如果选取则则代入分部积分代入分部积分4公式公式，得得上式右端的积分比原积分更不易求出上式右端的积分比原积分更不易求出由此可见，如果由此可见，如果 和和 选取不当，就求选取不当，就求不出结果所以应用分部积分法时恰当地选取不出结果所以应用分部积分法时恰当地选取一般考虑下面两点
2、：一般考虑下面两点：和和 是一个关键应该怎样选取是一个关键应该怎样选取 和和 呢？呢？5 要容易求出；要容易求出； 要比原积分要比原积分 容易积出容易积出例例2 2 求求解解 选取选取则则代入分部积分公式代入分部积分公式，得得6例例3 3 求求解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）7 若被积函数是幂函数（幂指数是正整数若被积函数是幂函数（幂指数是正整数) )和正和正( (余余) )弦函数或幂函数和指数函数的乘积，弦函数或幂函数和指数函数的乘积， 就考虑用分部积分法，并选幂函数为就考虑用分部积分法，并选幂函数为 , , 经过一次分部积分，就可使幂函数的次数经过一次分部积分，就可使幂函数
3、的次数降低一次降低一次8例例3 3 求求解解 令令9例例4 4 求求解解 令令1011例例5 5 求求解解 令令12用分部积分法，并选取对数函数或反用分部积分法，并选取对数函数或反 若被积函数是幂函数和对数函数若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑三角函数为三角函数为 13例例6 6 求求解解14注意循环形式注意循环形式15例例7 7 求求解解16例例8 8 求求解解17若有反对它当若有反对它当 ，若无反对幂当，若无反对幂当 ，两则皆无可自由，同类因子另外筹两则皆无可自由，同类因子另外筹18例例9 9 求求解解 因为因为1920解解例例
4、1010 已知已知的一个原函数是的一个原函数是, , 求求21两边同时对两边同时对 求导求导, , 得得22例例11 11 设设 试证明递推公式：试证明递推公式： 求求23由分部积分公式，得由分部积分公式，得解解 设设 ，则，则24解得解得或或这是一个递推公式，每使用一次，这是一个递推公式，每使用一次， 就递就递25 由递推公式得由递推公式得减减 ，最后，最后 递减到递减到 时，时，2627合理选择合理选择 ，正确使用分部积分公式，正确使用分部积分公式二、小结28思考题：思考题： 在接连几次应用分部积分公式在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？时，应注意什么？29思考题解答思考题解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数例例第一次时若选第一次时若选第二次时仍应选第二次时仍应选30练习题 求下列不定求下列不定积分：分：； 2 2、；1 1、5 5、； 6 6、 . .3 3、； 4 4、；31
