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1、数学模型概论数学模型概论1 1、什么是数学建模、什么是数学建模3 3、数学、数学建模的方法和步骤建模的方法和步骤2 2、建模示例、建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗玩具、照片 实物模型实物模型风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。我们常见的模型什么什么是数学模型是数学模型你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到 x=20, y=5,答：船速每小时答：船速每小
2、时2020公里公里航行问题建立数学模型的基本步骤航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20公里）。数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling)数学模型数学模型: :对于一个现实对象对象，为了一个特定目的目的，根据其内在规律规律，作出必要的简化假设假设，运用适当的数学工具数学工具，得到的一个数学结构数学结构。数学建模：
3、数学建模：建立数学模型的全过程全过程（包括建立、求解、分析、检验）。数数 学学 建建 模模 的的 重重 要要 意意 义义 电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模计算机技术如虎添翼如虎添翼知识经济椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为
4、数学上的连续曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。建模示例1 模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCODC B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )
5、两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函连续函数数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置
6、椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗造的证明方法给出一种简单、粗造的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.评注和思
7、考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本质假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f( ), g( )的确的确定定数数 学学 建建 模模 的的 一一 般般 步步 骤骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用数学建模方法数学建模方法1）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）2）建模过程中常用的数学方法(微积分、代数、概率外)，主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数理统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路)等。 只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应
8、关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不必涉及模型的求解。数学模型类型数学模型类型 确定随机静态动态 线性非线 离散连续 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致可见右图。符合实际不符合实际交付使用，从而可产生经济、社会效益实际问题抽象、简化、假设 确定变量、参数建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数用实际问题的实测数据等来检验该数学模型建模过程示意图数学建模实例数学建模实例双层玻璃的功效双层玻璃的功效 北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为的玻璃夹着
9、一层厚度为的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。 我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。 返回返回1、如何预报人口、如何预报人口？ 要预报未来若干年（如2005）的人口数，最重要的影响因素是今年的人口数和今后这些年的增长率（即人口出身率减死亡率），根据这两个数据进行人口预报是很容易的。记今年人口为 ，k年后人口为 ，年增长率为r，则预报公式为： 预报正确的条件： 年增长率r保持不变。数学建模实例数学建模实例
