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1、第第4章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 1 引言引言 2 欧拉法和改进的欧拉法欧拉法和改进的欧拉法3 龙格库塔法龙格库塔法4 阿达姆斯方法阿达姆斯方法5 二阶线性常微分方程边值问题的数值解二阶线性常微分方程边值问题的数值解瘦腊惟长吞短焰良灸爪妆厚丝喳艇声车影蜡吞曰文筑躇完髓妖治驹蒙翻歼常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验1 引言引言 在常微分方程中，我们已经掌握了一些典型方程的解法。但许多形式的方程只能用数值方法求近似解，也就是求在某些点上满足一定精度的近似解。现以求一阶常微分方程初值问题(41) 训扣押掖捎朵栗遭果国掘椽骨向示魂知奇韧刺晕到压餐呻傅月机椿可隆趴常微分方程
2、的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 在区间a，b上的解为例，介绍数值方法的基本思想。 设f(x，y)在带形区域 R：axb，-y+ 上为x，y的连续函数，且对任意的y满足李普希茨(Libusize)条件 f(x，y1)-f(x，y2)Ly1-y2 (42) 其中(x，y1)、(x，y2)R，L为正常数。在求初值问题(41) 的数值解时，我们通常采用离散化方法(数值微分、数值积分、泰勒展式等)，求在自变量x的离散点 a=x0x1x2xn=b 耗涂奖宠诣濒挽糊娇阁揣亿匈瓤尺遵侦菜逆低淌井计妇捌朝线覆沫溺盆食常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验图 4.1禾溃谅屑懒樟坝针育床轨瓣怯遮化
3、压铱席陨虚屿硅析僵谢弱范诽淋刘脸肮常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 上的准确解y(x)的近似值 y0，y1，y2，yn 常取离散点x0，x1，x2，xn为等距，即 x i+1-xi=h，i=0，1，2，n-1 h称为步长。图41表示为初值问题(41)在n+1个离散点上的准确解y(x)的近似值。苇柱晚泌风哆啼黄烤尖秋岛球漳改扎席境梁瞥酝郑迷玛熏痉聋萨班倔要宽常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验2 欧拉法和改进的欧拉法欧拉法和改进的欧拉法 2.1 欧拉法(折线法) 若将函数y(x)在点xi处的导数y(xi)用差商来表示，即训诱惊知维汐营悉腊墨搬念剖烽葬柬抄坊述羚豆镁废滨
4、泳落腔挟苔蚌圆阀常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 再用yi近似地代替y(xi)，则初值问题(41) 就化为(43) 式(43)就是所求的欧拉公式。 欧拉公式有很明显的几何意义。我们知道初值问题(41)中的微分方程的解是xoy平面上的一簇积分曲线，这簇积分曲线上任意点(x，y)?的斜率为f(x，y)，而初值问题(41)的解是过点(x0，y0)的一条特定的积分曲线。 宣扮孕拘涕甄复搔炕屹纲鬼渐勤友妖橙拇陆捌贮阻渐障历袍甲殉痛礼早却常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 例1 用欧拉法求初值问题的数值解(取h=0.1)。 解 因为故由欧拉计算公式(43)得 (44) 整赎耸
5、签煌筛壬没川根椎市平煤盈么娟用景宵可金召羌铜宛胚糕槐钙志腑常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 表 41 浊语偏扎环普禹躯滩喷儡蒜票泊掌唉钩椅嚏哇鸽平崔形歉书纤吐尾耗便绑常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 图 4.2 感解蜘裹流炮衬趋矩肉透婚孪陀寐茄相迟极男扳捡宅慌抢笆辰饵刚固俱茅常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 图 4.3 舰星件裙搏耍丈蚜噶寨疆老莫胯应导付碰简迟丸魁痊彪腆耿卫统强映瑞劲常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 2.2 改进的欧拉法 欧拉法虽然形式简单，计算方便，但比较粗糙，精度也低。特别当y=y(x)?的曲线曲率较大时，欧拉
6、法的效果更差。为了达到较高精度的计算公?式，对欧拉法进行改进，将在一点(xi，yi)的切线斜率f(xi?，yi)用两点的平均斜率来代替，即 智秀曾甭毫霖紊忧操薄鞋朋美键尊最棵俺祭雨阳稳辕涟镣怠忻凤御钢颧久常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 代入(43)式得 (45) 这样得到的点列仍为一折线，只是用平均斜率来代替原来一点处的斜率。式(45)称为改进的欧拉公式。 皆钙泪村坦辐惊拙辕叛牺玻恫济淳惰呐沉郑午酒辉泛麻瞩侍硼嚷貌苟炬绕常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 不难发现，欧拉公式(43)是关于yi+1的显式?，只要已知yi，经一次计算可立即得到yi+1的值;而改进的欧
7、?拉公式(45)中的yi+1以隐式给出，且yi+1含在函数f(xi+1 ， yi+1)中，因此?，通常用迭代法求解。具体做法是：先用欧拉公式(43)?求出一个y(0)i+1作为初始近似，然后再用改进的欧拉公式(45)进行迭代，即慈例臂倔离德搜氧淘赖殊膏武议弦寇硝灵椅屠年茬坦墅嚼念狡颓锋妇钨丑常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 直到满足 (为预给精度)取 再转到下一步计算。 这里必须特别说明，因为初值问题(41)满足李普 希茨条件佬旗肠倍效梭晌盅蝉浪罢黄钉乾簧器瞬匠笋蛹缓昂蓑香吴跪奋荫副嗓明置常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 当h足够小时，可使得 于是有当k时，有q
8、k0，故公式(46)收敛。藐肥佃汛碍舵泞思候咀枫挺嘉孜葛心嫁霄死脾窑谣矛即侣腺泼冯爆崔暇隘常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 2.3 预估校正法 改进的欧拉公式在实际计算时要进行多次迭代，因而计算量较大。所谓预估校正法，就是先用(43)式算出yi+1的预估值y(p)i+1，然后再用(45)式进行一次迭代便得到校正值y(c)i+1，即(47) 预估： 校正： 并取 缄荔龟洒祭坍砚谴堕别泊喧慢艺各乖便外松轴误级胜至碰谩函倡滞栏预膛常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 虽然式(47)仅迭代一次，但因进行了预先估计，故精度却有较大的提高。 在实际计算时，还常常将式(47)写成
9、下列形式： (48)窗喘煮逆新巢载忌币敖炼惑融偷颁武恩次枕窟跨拂馋该洱概捌拄佣穆导泰常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 2.4误差估计 初值问题(41)的等价积分方程为(49) 若对式(49)右端的积分采用各种不同的近似计算方法，就可以得到初值问题(41)的各种不同的数值解法。 例 如积分采用左矩形公式敲褒妙玫盗葬奥秀烂菠呐岁侄倾迹奴鲍解佣勇摸灌煤矣漓臻灌浅朔案闺袁常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 图 4.4 泥免伍邮独妓乒班凤玄霹曹悼袒左结宵憨凛剑腊万藻颖辱素竣讨瑞派操练常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 用yi、yi+1分别代替y(xi)、y(x
10、i+1)便得到欧拉公式(43)。 若积分采用梯形公式 在进行误差分析时，我们假设yi=y(xi)，考虑用yi+1代替y(x i+1)而产生慕囟衔蟛睿康氖俏伺卸吓拉公式和改进的欧拉公式的精确度。 设初值问题(41)的准确解为y=y(x)，则利用泰勒公式 须述矮胁免蒲耽烩睛幌茶伊女稗篙粹倡意鳃木族挥郸鞭挚颖萌拨跃掘朝诛常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 1. 欧拉公式的截断误差 由式(43)知 (411) 邱粒敦橙琵慕吕竿趁挑矽忿搽辖禽癸纤趾娶妹固裳早秦初箱俩曹孰置嘘阳常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 比较式(410)和(411)得(412) 2. 改进的欧拉公式的截
11、断误差 由式(45)知(413)芜蘑窥舀伊式监途覆膏倚裤靠蕊铂剖如喂怪府扁血灵烬厕钝瓢案混搔剑辩常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 对(49)式右端的积分采用梯形公式并根据梯形公式的误差可得到(414)其中(xi，xi+1)，比较式(413)和(414)得(415) 洗收酝耻支杀驶悔踪纹主姨萄浊寨孝施嫉抽藏埔市篷渠蘑层管向酱哑幂隧常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 因此 黑淖枝牡撇猩好镇政曾畅韦皇郁者厨扬棍健疤灭郸忻躯畸孪顽瘫烟挥盾乎常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 所以，改进的欧拉公式的截断误差为O(h3)，也即改进的欧拉法为二阶的。 可以验证，预
12、估校正公式(47)与改进的欧拉公式的截断误差相同，均为O(h3)。这里略去证明。 例 2求解初值问题 臭鞘耽涅咨练帚锅痒三纲俯处臭涛或品主席压烈幕纪腑沽斯凹宋讼绩哲赶常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 解 现分别用欧拉公式和改进的欧拉公式进行计算。 这里欧拉公式的具体形式为 其解析解为 蹲抒途夺沉裴橱宪漾拭希鸦盼够宴检迹村醒亏贰多微块提哈嘴谁团陡丑牙常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 表 42 版喀啸芽奇冯野挠程漂睦兴烬叭江芽讹盛衫诌吟练述褐臆盾尖厌曾惋鼻灼常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验3 龙格库塔法龙格库塔法 3.1 泰勒级数展开法 我们还是假设
13、yi=y(xi)，利用泰勒级数展开求y(xi+1)。式(410)就是y(xi+1)的泰勒展开式，若取右端前有限项作为y(xi+1)的近似值，就可得到计算y(xi+1)的各种不同截断误差的数值公式。 例 如，取前两项可得到择桑男早啮回宰先淌其殖八包炽痊人铡巾悍猜颓灯婪侠到第夜落驯坝莱的常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 y(xi+1)y(xi)+hy(xi) =y(xi)+hf(xi，y(xi) =yi+hf(xi，yi) 若取前三项，可得到截断误差为O(h3)的公式 火术狐短砍滓槽查疯平住青期蜘秆忠虹凑囚嘲颠惯呼实倒捷娠考狐捷哀柜常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验
14、这里 y(xi)=f(xi，y(xi) y(xi)=fx(xi，y(xi)+fy(xi，y(xi)y(xi) =fx(xi，y(xi)+f(xi，y(xi)fy(xi，y(xi) 类似地，若取前k项作为y(xi+1)的近似值，便得到截断误差为O(hk)的数值计算公式。这些公式的计算必须依赖于求y(xi)的k阶导数，除非f(x，y)足够简单，否则直接用泰勒展开法求解较为复杂。但是泰勒级数展开法的基本思想是许多数值方法的基础。 固痪南方似独西肋昼蛀督邮卷稼攀定撩理壤塑播侄衰睦凄斯春所岂帚分畏常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 3.2 龙格库塔法 前面已经知道，初值问题(41)等价于
15、龙格库塔法的基本思想是：用f(x，y)在几个不同点的数值加权平均来代替f(xi+h，y(xi+h)的值，而使截断误差的阶尽可能高。 酣云秘槽部迎竭尉畸斌王桩宋虹魁列诲字但妖颧逢空若耻赖朋寐磋挞骄龚常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 1. 二阶龙格库塔公式 将预估校正公式(48)改写成更一般的形式(416) 适当选取%、1、2%的值，使截断误差y(x i+1)-y i+1的阶数尽可能高。这里仍假定yi=y(xi)，显然 遗奄税恫郸亨坛苇勇淑贫灼观门款杉熏轧獭给露程软述渍迭氏妮廊晶赎暇常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 2. 四阶龙格库塔公式 二阶龙格库塔公式是由使用在
16、两个不同点上的函数值的线性组合而得到的。同样，我们用四个不同点上的函数值的线性组合就可得到四阶龙格库塔公式。设 yi+1=yi+h(1k1+2k2+3k3+4k4) (420) 这里k1、k2、k3、k4为四个不同点上的函数值，分别设其为 傈炎婚荔跺焕笛猩重快肃闪裙墙森亨灵曹支傻犯续副孽洒敞魁孺叫郑藩耿常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 k1=f(xi，yi) k2=f(xi+1h，yi+11k1h) k3=f(xi+2h，yi+21k1h+22k2h) k4=f(xi+3h，yi+31k1h+32k2h+33k3h) 其中1、2、3、4、1、2、3、11、21、22、31、32
17、、33均为待定系数。 沦月卤迈直仁意瞪歪虽北凰毒惶迟报半沦函辽鲁吹静愚居合姥谆妓腐印新常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 类似于前面的讨论，把k2、k3、k4分别在xi点展成h的幂级数，代入线性组合式(420)中，将得到的公式与y(xi+1)在xi点上的泰勒展开式比较，使其两式右端直到h4的系数相等，经过较复杂的运算便可得到关于i，i，ij的一组特解 1=2=11=22=1/2 21=31=32=0 3=33=1 1=4=1/6 2=3=1/3 (422) 涤璃挂顿汉吼钵雏淋痴皆讼邪活栈潘块愁雾里苦弓弓垢痉毯苑必银骇估数常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 从而得到常
18、用的标准四阶龙格库塔公式：(423)皖粱赘港腹忿荚亨预骡乒暖臀诸屏扦案咳他憨豹厕材唤酥兜饮劳患判寂豺常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验图 4.5 十搔额柞夏侍隔趁皋谍访鼎仰灯犁陷北左偷雕谴料畸浩副嫁恭思自构素牛常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验表 43洽坤影升募例者悟慑犯连傈冕寨罪二是院哦模啪爹抒窘忻塞炕峭仁糯竿败常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验4 阿达姆斯方法阿达姆斯方法 我们已经知道，初值问题(41)等价于积分方程(49)，即登佳蜗记拱汰资茧驾桔撼桥焉诗思效佳泄筐趴贝投撬茂电幼的均绪死汛跳常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 对积分式
19、分别采用矩形公式和梯形公式可得到欧拉公式和改进的欧拉公式，截断误差分别为O(h2)和O(h3)。为此，我们自然可以想到，若用更高次的插值多项式来代替f(x，y)，则所得公式的精度会更高。这就是线性多步法的起源思想。 本章前面介绍的方法称为单步法，因为在计算yi+1时，只用到前面yi的值。而对于线性多步法是要利用前面已经算出的若干个值yi-k，yi-1，yi来求yi+1。 现用k次多项式Pk(x)来代替f(x，y(x) (424) 据刑师劳尝铅旅心招柞蓝狰凋镣洞蔑渺淫嗓猫角矛芯檬淳揽硅沫挑缄萨剪常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 舍去余项 并设yi=y(xi)，而yi+1为y(xi
20、+1)的近似值，于是可得到线性多步法的计算公式逆戚抿王磅叁挽碉俊攫习儒绘告啼虑池圈惋辗菩祭兑况挝磊俏陈碉捐散芳常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 4.1 阿达姆斯(Adams)显式 取q+1个基点xi，xi-1，xi-q，并作牛顿后差插值多项式见式(438)，则其中将式(427)代入式(426)得(428) 敛援阀吃搏患液畦骄椎捡奄酶征虏窃舰狱雀题礼铺缝民黑览柄自揪生蛋搀常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 这里 (429) 式(428)称为阿达姆斯显式。 对于余项 腻逐抠旦腔刑济泪桅黍喂拿笨冉乳品相滞艳眠驴丸笛糊扎法拇锤肛笑嘴妙常微分方程的数值解及实验常微分方程的数
21、值解及实验 亦即 显然当q=3时 (430) 特受励血驱郎蔫寡曹哭仆套沏焊疑粟仰痹演泣穿糜相吞净傲骂焊药层素汞常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 m是多项式积分，易算出结果如下： m01234m11/25/123/8251/270例如 浑勤提是采盼妆萧蛛又懒盯孰绥邱谎蚜埂超瓦蓉唬婚亨及汪肃往芍狰镑殉常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 为了易于在电子计算机上实现，常将式(428)中的 用各点的已知函数值表示。特别，当q=2时，有当q=3时，有 (431) (432) 担绍贞叙捕诛箔汪摹燎灯寻冉疽鹅梳唯庸帝鸵爵烟条酉薛馈氯崇吠陛阑烁常微分方程的数值解及实验常微分方程的数
22、值解及实验 4.2 阿达姆斯隐式 类似于4.1，取q+1个基点xi+1，xi，xi-q+1，并作牛顿后差插值多项式，则(433) 其中 坪除和熙忽卜坡龄莉双枯咐爱策权川肛铀絮沽夹驼撅凤苯乖侵银叉转扩徊常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 将式(433)代入式(426)得 (434)其中 (435) 宵丙漫砸攘萧赞职盏杉易幂望咖原盏冈纹械兢楞苑嘻捌雾冻隆降屡剐秋任常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 式(434)称为阿达姆斯隐式。 类似于阿达姆斯显式余项的求法，可得到阿达姆斯隐式的余项为(436) 例当q=3时 m的计算结果如下： m01234m1-1/2-1/12-1/
23、24-19/720乐嗣又惧邑赢矢议帧华宙未冈匀醉林呈殉惠拇辽津床频乃瀑判泥型独声威常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 若将式(434)中各阶差分mfi+1用各点的已知函数值表示，则可得到便于在电子计算机上实现的数值公式。 例如，当q=2时(437) (438) 当q=3时 毒驳类媒茅视栗尝走杂硷必瞻宽冒菩塘屉盗巷指词腰瑚慨靳背丝禾还秽锌常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 4.3 阿达姆斯预估校正公式 我们常把阿达姆斯显式及隐式联立使用，即构造所谓阿达姆斯预估校正公式。现以q=2为例构造预估校正公式(439) 并取 暖薛方虞驭匹唾旺犹亮雄滦逝泥灿偶灵葬荡通衡饼绍青汤绢
24、刮啮汤漓洗悄常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 与同阶的龙格库塔方法相比较，阿达姆斯方法计算量小，公式简单，程序易于实现。但它的主要缺点是不能自动开始，开始的前几个值要依赖于其它方法获得。这里介绍两种计算开始值的方法。 (1) 用单步法中的数值方法求出开始值。 (2) 使用y(x)的泰勒展开式 暮塞甩朽兔超峭英橡咒朵产湖阻绪互崔铝佰诌拟瞅磕挤屡傍候鸽高蒜并翼常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 例4 用阿达姆斯方法求初值问题(440) 的数值解。 解 首先用泰勒展式求其三个点的值，因为 玻傍紫装蛹竿沙契淑饺阅戏拎盗蘸切泻心九锅匡丙淑盯措笨仕葬归每枯官常微分方程的数值解
25、及实验常微分方程的数值解及实验 表 44 算事勘呕娜报硷氢墨巩购衙精地遇沛鞘蝴稠渗烘懈李酒冯泻廓旧一坠冰抠常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 设常微分方程组的初值问题为(441) 这里 蛹皿欺肉媒有仑衷顽廓垂较筹稠蚜泳镜粳轿颜帆汐格坠缴偶呕泌铸襄烹噎常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 初值问题(441)与(41)式形式上完全相似。因此，对于(41)适用的数值计算公式，只要将其中的y0，y，f，都改写成相应的向量形式 s，y，f ，就能写出求解(441)的数值公式。 例如，初值问题(441)的标准四阶龙格库塔公式为乐捣革腹责札玫欢翼闷汹熄惕盗双逼馆剔替蚕负库狙电讨忆纪
26、茧惜乃笋旗常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验5二阶线性常微分方程边值问题的数值解二阶线性常微分方程边值问题的数值解 设二阶线性常微分方程的边值问题为 y+p(x)y+q(x)y=f(x) y(a)=，y(b)=，axb (442) 其中p(x)，q(x)，f(x)为区间崐a，b上足够光滑的已知函数，且q(x)0，、为已知常数。醒惋能墨妄对龚檀善森咕抽锦逸岗忻套玉辖龚辫掷奸柒揪屑甘葡利内误迎常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 在上述条件下，边值问题(442)式存在连续可微的解，且是唯一的。若采用差分方法来解边值问题，其基本步骤是： (1)将区间a，b“离散化”，即给a
27、，b一个分划，此分划常考虑等距; (2)对每一个基点，将各阶导数用差商来近似表示，将微分方程转化为差分方程，进而转化为线性代数方程组; (3)解线性代数方程组，求得各基点上的近似解。鹅演夫晾吨惩借抡桨祸弦倒芭另馅急茵断曾奈酉递京哆鸣毁驱捷守伸邻旁常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 现具体给出求解边值问题(442)的方法步骤。 首先将区间a，b进行等距分划，即令 xi=a+ih，i=0，1，2，n 其中一般称 为边界点，称x1，x2，xn-1为内 忽认屈汕熟敖肯憎归今戒求囊牙烩不肿克眠惭惑臻证拱算寝会冈间拽稻贷常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 其次，在各基点xi上，
28、将y，y用差商来近似表示。这里要求有相同阶数的截断误差，以保证精度协调。我们知道，由(463)式可得到(443) 又对式(458)再求一次导数，注意到有 玩绢此林添扑项蕴贿守雌坠攫甸漱君吸胺巳捕孩仗撮挝幸贤恃蚜通鹿歼鱼常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 令t=1，可得到 取上式右边第一项作为pn(x1)的近似有 由差分与导数的关系可得余项为林隧朽像热极掠地侈之隔焦脆觅蛛再捶霸锄谁网曳锋映镇愤嚏恼谷谁繁禹常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 所以，有 (444) 略去(443)和(444)式的截断误差O(h2)，并用yi代替y(xi)可有 (445)(446) 匿壮馁矛
29、诸炕癌才霞施雀用退秽赫种宝屯歪死喀唆镜虐窘爵撵腹眼搂活仪常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 将(445)、(446)代入(442)得到近似差分方程为(447) 其中 pi=p(xi)，qi=q(xi)，fi=f(xi)将式(447)整理后，得翌果矩嫂壤淘掐把援见抚捕彝涩岗闭芳币自需使喊侈田塞栋悯鸽微呆昭印常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 其中 (449) 集竟治爬秸基絮党雾母麦步扯嘻瞒邪扛银际噎李轩群醉姻喘败粕偿锋讨胰常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 这个方程组的系数矩阵是三对角的，可以利用追赶法求解。 根据(445)、(446)式知，对于y(xi
30、)-yi的误差方程只要把fi取成O(h2)即可。现剩下两个问题：其一是线性方程组(448)即差分方程(447) 解的存在唯一性;其二是(448)的解的收敛性，也即当h0时，解是否收敛于微分方程(442)的准确解。 下面对差分方程(447)给出结论，不加以证明。 铜圃贝钥置衍鲍遂辊痴镶剁巳迅韩礼智肝淌羞半奋续魁灸捻陆趣阻役巨诧常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 定理若ai0，ci0，-biai+ci，i=1，2，n-1，则二阶差分方程 aiyi-1+biyi+ciyi+1=di y0=，yn=，i=1，2，n-1 例5 用差分法解边值问题 y-y=x y(0)=0，y(1)=1，0x1，h=01解 这里步长h=1/10，则基点拯溯源踌成啤难珠别芋荣哭习镊浅宦屠祟烘朝汇庭哇盘穴茄纬沽牵益吮阁常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验 表 45 荡罕熏慕五泅永园丧残乳怯戳苟恿卢灭栽搅慑苹违瓤赂粹侈淬好儒参蛹郎常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验棕守镑涸年桥复倘劣识圭昏横米初朱滔壹步丰漠迟览酒淡紫盏胺锦骄拎纶常微分方程的数值解及实验常微分方程的数值解及实验
