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1、2.4 2.4 一元线性回归模型的统计检验一元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 二、变量的显著性检验二、变量的显著性检验 三、参数的置信区间三、参数的置信区间 回归分析回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真是要通过样本所估计的参数来代替总体的真实参数，或者说是用样本回归线代替总体回归线。实参数，或者说是用样本回归线代替总体回归线。尽管从尽管从统计性质统计性质上已知，如果有足够多的重复抽样，上已知，如果有足够多的重复抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其总体的参数真参数的估计值的期望（均值）就等于其总体的参数真值，但在一次抽样中，估计值不一定就等于该真值。值，但
2、在一次抽样中，估计值不一定就等于该真值。那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的差异有那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进行多大，是否显著，这就需要进一步进行统计检验统计检验。主要包括主要包括拟合优度检验拟合优度检验、变量的、变量的显著性检验显著性检验及参数的及参数的区间估计区间估计。一、拟合优度检验一、拟合优度检验 拟合优度检验拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。值之间拟合程度的检验。 度量拟合优度的指标度量拟合优度的指标： 判定系数判定系数（可决系数可决系数）R R2 22 2、总离差平方和的分解、总
3、离差平方和的分解Y Y的的i个观测值与样本均个观测值与样本均值的离差值的离差由回归由回归直线解直线解释的部释的部分分 回归直线不能回归直线不能解释的部分解释的部分 离差分解为两离差分解为两部分之和部分之和 如果如果Y Yi i= =i i 即实际观测值落在样本回归即实际观测值落在样本回归“线线”上，则上，则拟合最好拟合最好。可认为，可认为，“离差离差”全部来自回归线，而与全部来自回归线，而与“残差残差”无关。无关。对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离差对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离差的平方和的平方和, ,可以证明可以证明：记记总体平方和总体平方和(Total Sum of S
4、quares)回归平方和回归平方和(Explained Sum of Squares)残差平方和残差平方和( (Residual Sum of Squares)TSS=ESS+RSSY Y的观测值围绕其均值的的观测值围绕其均值的总离差总离差(total variation)可分可分解为两部分：解为两部分：一部分来自回归线一部分来自回归线(ESS)，另一部分则，另一部分则来自随机势力来自随机势力(RSS)。在给定样本中，在给定样本中，TSS不变，不变，如果实际观测点离样本回归线越近，则如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在在TSS中占的比重越大，因此中占的比重越大，因此拟合优度拟合优度：回归
5、平方和：回归平方和ESS/Y的总离差的总离差TSS3 3、可决系数、可决系数R2统计量统计量 称称 R2 为为（样本）（样本）可决系数可决系数/ /判定系数判定系数（coefficient of determination)。 可决系数可决系数的的取值范围取值范围：0，1 R2 2越接近越接近1 1，说明实际观测点离样本线越近，拟，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高合优度越高。在例在例2.1.1的的收入收入- -消费支出消费支出例中，例中， 注：可决系数注：可决系数是一个非负的统计量。它也是随着抽样的是一个非负的统计量。它也是随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的统计可靠性也应进行不同
6、而不同。为此，对可决系数的统计可靠性也应进行检验，这将在第检验，这将在第3章中进行。章中进行。 二、变量的显著性检验二、变量的显著性检验 Testing Significance of Variable回归分析是要判断解释变量回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量是否是被解释变量Y的一的一个显著性的影响因素。个显著性的影响因素。在一元线性模型中，就是要判断在一元线性模型中，就是要判断X是否对是否对Y具有显著的具有显著的线性性影响。这就需要进行变量的显著性检验。线性性影响。这就需要进行变量的显著性检验。变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的假
7、设假设检验检验。计量经济学中计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。进行显著性检验的。 1 1、假设检验、假设检验 所谓所谓假设检验假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。定是否接受或否定原假设。 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。 先假定原假设正
8、确，然后根据样本信息，观察由此假先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。 判断结果合理与否，是基于判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生小概率事件不易发生”这一原理的这一原理的2 2、变量的显著性检验、变量的显著性检验 用2的估计量代替，构造t统计量对总体参数提出假设：H0：1=0，H1：10检验步骤：检验步骤：（1 1）对总体参数提出假设）对总体参数提出假设 H0： 1=0， H1： 1 0（2 2）以原假设）以原假设H0构造构造t t统计量，并由样本计算其值统计量，并由样本计算其值（
9、3 3）给定显著性水平）给定显著性水平 ，查，查t t分布表，得临界值分布表，得临界值t /2(n-2)（4 4）比较，判断）比较，判断 若若|t| t /2(n-2)，则拒绝，则拒绝H0 ，接受，接受H1 ； 若若|t| t /2(n-2)，则拒绝，则拒绝H1 ，接受，接受H0 ；对于一元线性回归方程中的对于一元线性回归方程中的 0 0，可构造如下，可构造如下t统计量进行统计量进行显著性检验：显著性检验： 在上述在上述收入收入- -消费支出消费支出例中，首先计算例中，首先计算 的估计值的估计值 t统计量的计算结果分别为：统计量的计算结果分别为： 给定显著性水平给定显著性水平 =0.05=0.
10、05，查，查t t分布表得临界值分布表得临界值 t 0.05/2(8)=2.306 |t1|2.306，说明家庭可支配收入在，说明家庭可支配收入在95%的置信度下显的置信度下显著，即是消费支出的主要解释变量；著，即是消费支出的主要解释变量； |t2|2.306, ,表表明明在在95%的的置置信信度度下下，无无法法拒拒绝绝截截距距项项为为零的假设。零的假设。 3 3、关于常数项的显著性检验、关于常数项的显著性检验T T检验同样可以进行。检验同样可以进行。一般不以一般不以t t检验决定常数项是否保留在模型中，而检验决定常数项是否保留在模型中，而是从经济意义方面分析回归线是否应该通过原点。是从经济意
11、义方面分析回归线是否应该通过原点。三、参数的置信区间三、参数的置信区间Confidence Interval of Parameter假设检验假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参数可能的可以通过一次抽样的结果检验总体参数可能的假设值的范围（如是否为零），但它并没有指出在一次假设值的范围（如是否为零），但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多“近近”。要判断样本参数的估计值在多大程度上可以要判断样本参数的估计值在多大程度上可以“近似近似”地地替代总体参数的真值，往往需要通过构造一个以样本参替代总体参数的真值，往往需要通过构造一个以样
12、本参数的估计值为中心的数的估计值为中心的“区间区间”，来考察它以多大的可能，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真实的参数值。这种方法就是参数检性（概率）包含着真实的参数值。这种方法就是参数检验的验的置信区间估计置信区间估计。 1 1、概念、概念如如果果存存在在这这样样一一个个区区间间，称称之之为为置置信信区区间间（confidence interval）； 1- 称称为为置置信信系系数数（置置信信度度）（confidence coefficient）， 称称为为显显著著性性水水平平（level of significance）；置置信信区区间间的的端端点点称称为为置置信信限限（confide
13、nce limit）或或临临界界值值（critical values）。）。2 2、一元线性模型、一元线性模型中中 i 的置信区间的置信区间T分布为双尾分布(1-(1- ) )的置信度的置信度下下, , i i的置信的置信区间是区间是于是得到于是得到:(1-:(1- ) )的置信度下的置信度下, , i i的置信区间是的置信区间是 在上述在上述收入收入- -消费支出消费支出例中，如果给定例中，如果给定 =0.01，查表得：，查表得： 由于由于于是，于是， 1、 0的置信区间分别为：的置信区间分别为： （0.6345,0.9195) （-433.32,226.98） 由于置信区间一定程度地给出了
14、样本参数估计值与总由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的体参数真值的“接近接近”程度，因此置信区间越小越好。程度，因此置信区间越小越好。要缩小置信区间，需要缩小置信区间，需（1 1）增大样本容量）增大样本容量n n，因为在同样的置信水平下，因为在同样的置信水平下，n n越大，越大，t t分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量，还可使分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；样本参数估计量的标准差减小；（2 2）提高模型的拟合优度）提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和应越小。应越小。例：对于过原点回归模型，例：对于过原点回归模型， 试证明试证明
