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1、高等数学期末辅导高等数学期末辅导高等数学上 复习 高等数学期末辅导高等数学期末辅导题目类型：选择，填空，计算， 证明，综合考试注意事项：签名，时间控制，先易后难，答题规范。考试形式：闭卷考试时间：2小时高等数学期末辅导高等数学期末辅导一、极限计算主要方法：两个重要极限，无穷小替换， 罗必塔法则，其他方法（有理化、定积分定义等），特别注意各种方法的结合。如无穷小+罗必塔，罗必塔+积分上限函数等。或高等数学期末辅导高等数学期末辅导注意与 区别 例1 例例2. 求解解: 令则因此原式高等数学期末辅导高等数学期末辅导例3 注意“凑”的技巧，想法凑成公式需要的形式。 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例4
2、 计算 解： 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例5： 求下列极限：提示提示: 无穷小有界高等数学期末辅导高等数学期末辅导令机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学期末辅导高等数学期末辅导常用等价无穷小: 例例1. 求解解: 原式 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例2. 求解解:高等数学期末辅导高等数学期末辅导例 计算 解： 分子或分母有理化高等数学期末辅导高等数学期末辅导存在 (或为 )罗必塔法则罗必塔法则高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例1. 求解解: 原式注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !高等数学期末辅导高等数学期末辅导解解: 原式例例2. 求例例3. 求解解: 高等数学
3、期末辅导高等数学期末辅导例例4. 求解解: 注意到原式高等数学期末辅导高等数学期末辅导分析分析:例例5.原式高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例6. 求解解:原式说明 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 确定常数 a , b , c 的值, 使解解:原式 = c 0 , 故又由, 得高等数学期末辅导高等数学期末辅导(1)(2)二、连续性（分段函数情形）高等数学期末辅导高等数学期末辅导例1 在x=0处连续,则A=( )解：计算函数值f(0)A, 计极限值 所以A=3 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例1. 设函数在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:高等数学期末辅导
4、高等数学期末辅导例2 a=( 0 ), b=2 解：计算函数值 计极限值 此时，要考察左右极限，右极限左极限 由连续的定义，可得 a=( 0 ), b=2 高等数学期末辅导高等数学期末辅导三、导数与微分计算、应用、证明导数定义（分段点可导性讨论，计算）复合函数求导，隐函数求导，参数方程确定函数求导导数几何意义（切线法线计算） 单调区间，凹凸区间，求最大最小值 证明高等数学期末辅导高等数学期末辅导解解: 因为例例1. 设存在, 且求所以高等数学期末辅导高等数学期末辅导设解解:又例例2.所以 在处连续. 即在处可导 .处的连续性及可导性. 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例3 解： 两边对x求导得
5、： 算出 ，斜率 所以切线方程为 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例4. 求的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导高等数学期末辅导高等数学期末辅导解解注意注意 y = y (x)解得解得上式两边在对上式两边在对 x 求导，得求导，得注意：注意：高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例6 6解解高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例7.7.设由方程确定函数求解解: :方程组两边对 t 求导,得故高等数学期末辅导高等数学期末辅导高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例8.8.设其中可微 ,解解:高等数学期末辅导高等数学期末辅导高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例9 9 求曲线求曲线
6、的拐点及凹凸区间。的拐点及凹凸区间。解解: 令令得：得：凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点凹凸区间为凹凸区间为高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例10. 求抛物线在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x , y 轴的交点分别为所指面积高等数学期末辅导高等数学期末辅导且为最小点 . 故所求切线为得 0 , 1 上的唯一驻点高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例11. 设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1) 求函数(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)由方程得面积为 2 ,体
7、积最小 ? 即故得高等数学期末辅导高等数学期末辅导又(2) 旋转体体积又为唯一极小点,因此时 V 取最小值 .高等数学期末辅导高等数学期末辅导四、不定积分与定积分计算：直接积分法、第一换元法、第二换元法（三角代换，倒代换，最小公倍代换）、分部积分法积分上限函数求导（复合函数情形）应用：面积（不同坐标系）、旋转体体积、弧长对称性应用：奇函数、偶函数无穷限广义积分高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例1. 求求解解: 原式 =高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例2. 求解解:高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例3解：解：例例4解：解：高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例5. 求解解:令则想到公式高等
8、数学期末辅导高等数学期末辅导例例6. 求解解:类似高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例7. 求解解: 原式原式 =高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例8. 求解解: 令则 原式高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例9. 求解解: 令则 原式高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例10. 求解解:令则 原式高等数学期末辅导高等数学期末辅导令于是高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例11. 求解解: 令则原式原式高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例12. 求解解: 令得原式高等数学期末辅导高等数学期末辅导思考与练习思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?令令令高等数学期末辅导高等数学期末辅导例1
9、3 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例1414 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例1515 求积分求积分第二换元法第二换元法+分部积分法分部积分法解解高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例16：求：求解：解：高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例17 计算广义积分计算广义积分 解解 高等数学期末辅导高等数学期末辅导解： 10高等数学期末辅导高等数学期末辅导五、微分方程一阶：变量可分，线性非齐次（常数变易法）二阶：常系数非齐次通解高等数学期末辅导高等数学期末辅导思考与练习思考与练习 求下列方程的通解 :提示提示: (1) 分离变量(2) 方程变形为高等数学
10、期末辅导高等数学期末辅导例例1. 解方程 解解: 先解即积分得即用常数变易法常数变易法求特解. 令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为高等数学期末辅导高等数学期末辅导: 这里12)(xxP 25) 1()( xxQ 解 由通解公式得 非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为 即 ) 1(32) 1(232Cxxy 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例2. 的通解. 解解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为高等数学期末辅导高等数学期末辅导 解 例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解 因为f(x)exPl(x)cosxPn
11、(x)sinxxcos2x i2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为齐次方程yy0的特征方程为r210 把它代入所给方程 得 y*(axb)cos2x(cxd)sin2x (3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2xxcos2x 高等数学期末辅导高等数学期末辅导六、不等式证明单调性证明：一阶导数不好判断正负情形，继续求导利用定积分证明不等式中值定理应用高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例1. 证明时, 成立不等式证证: 令从而因此且证证高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例2. 设在内可导, 且证明至少存在一点使上连续, 在证证: 问题转化为证设辅助函数显然在 0 , 1 上满足罗尔定理条件, 故至使即有少存在一点高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例3. 证明证证: 令则令得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学期末辅导高等数学期末辅导例例4. 设证证: 设且试证 :则故 F(x) 单调不减 ,即 成立.
