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1、目录（集合论）集合论）第六章第六章 集合（集合（4学时）学时） 第七章第七章 关系（关系（8学时）学时）第八章第八章 函数与集合的势（函数与集合的势（5学时）学时）第七章 关系7.1 集合的笛卡尔积集集合的笛卡尔积集 7.2 二元关系的基本概念二元关系的基本概念 7.3 二元关系的性质二元关系的性质7.4 二元关系的闭包运算二元关系的闭包运算7.5 等价关系和集合的划分等价关系和集合的划分 7.6 偏序关系和格偏序关系和格 7.7 链与反链链与反链 7.1 集合的笛卡尔积集集合的笛卡尔积集 定义定义1 a和和b是两个元素，把是两个元素，把a作为第一个元素，把作为第一个元素，把b作为第二个元素，
2、按这个顺序排列的一个二元作为第二个元素，按这个顺序排列的一个二元组叫组叫有序二元组有序二元组, 简称简称有序对有序对， 记为记为: （a，b）特点：特点：(1) 当当ab时，（时，（a，b）（b，a）；）；(2) 两个有序二元组相等，即（两个有序二元组相等，即（a，b）（）（x，y）的充分必要条件是的充分必要条件是 ax 且且b=y。笛卡尔积集笛卡尔积集定义：设定义：设A和和B是两个集合，存在一个集合，它的元素是两个集合，存在一个集合，它的元素是用是用A中元素为第一元素，中元素为第一元素，B中元素为第二元素中元素为第二元素构成的有序二元组。称它为集合构成的有序二元组。称它为集合A和和B的笛卡尔
3、的笛卡尔积集，记为积集，记为 AB 。即。即 AB(a,b)a A,b B。例例 A=1,2， B=a,b,c, AB(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c) 笛卡尔笛卡尔 Ren Descartes（15961650）著名的法国哲学家、数学家、物理著名的法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。在学家，解析几何学奠基人之一。在今天，巴黎安葬民族先贤的圣日耳今天，巴黎安葬民族先贤的圣日耳曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上镌刻着镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性来，第一个为
4、人类争取并保证理性权利的人权利的人”。 笛卡儿笛卡儿的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学，的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学，都开创了这些学科的崭新时代。都开创了这些学科的崭新时代。几何学几何学是他公开是他公开发表的唯一数学著作，虽则只有发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代页，但它标志着代数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后能轻而易举地找到答案为代数题后能轻而易举地找到答案. 笛卡尔积集的性质笛卡尔积集的性质性质性质1
5、若若A和和B有一个是空集，则它们的笛卡尔积有一个是空集，则它们的笛卡尔积集是空集，即集是空集，即 B=A=性质性质2当当AB，且，且A和和B均不是空集时，有均不是空集时，有 ABBA 性质性质3当当A，B，C均不是空集时，有均不是空集时，有 (AB) CA(BC) (a,b),c)(a,(b,c)尚未定义(a,b,c)例 求证：求证： A(BC)=(AB) (AC) 思路思路: 要分别证明要分别证明 A(BC)(AB)(AC) (AB)(AC) A(BC) 例 求证：求证： A(BC)=(AB) (AC) 证明：对于任意的证明：对于任意的x，y， 若若(x,y) A(BC)，即有，即有x A且
6、且 y B或或C. 若若y B, 则则 (x,y) AB； 若若y C, 则则 (x,y) AC ， 所以所以(x,y) (AB) (AC)，故，故 A(BC)(AB)(AC). 对于任意的对于任意的x，y，若，若(x,y) (AB) (AC)， 即即(x,y) AB, 或或 (x,y) AC. 若若(x,y) AB，则，则x A且且 y B； 若若(x,y) AC，则，则x A且且 y C。 所以所以x A且且 y BC, 得得(x,y) A(BC)，故，故 (AB)(AC) A(BC). 综上可知，综上可知， A(BC)=(AB) (AC) 。例2 A，B，C，D为任意集合，判断等式为任意
7、集合，判断等式 (AB)(CD)=(AC) (BD) 是否成立。是否成立。答：不成立。答：不成立。 若若A=D=，B=C=a，则，则 (A B)(C D)=BC=(a,a) (AC) (BD)=有序 n元组定义定义3 一个有序一个有序n(n3) 元组是一个有序二元组是一个有序二元组，其中第一个元素是一个有序元组，其中第一个元素是一个有序 (n-1)元组，记为元组，记为 （a1,a2,an-1,an ）笛卡尔积集笛卡尔积集定义定义4 设设A1，A2，An 是是 n(2)个集合，这个集合，这n个个集合的笛卡尔积集记作集合的笛卡尔积集记作 A1A2An， 即即 A1An(a1,a2,an) a1 A1,an An 当当 A1A2An时时, 记之为记之为An, 即即 An= AAA第七章 关系7.1 集合的笛卡尔积集集合的笛卡尔积集 7.2 二元关系的基本概念二元关系的基本概念 7.3 二元关系的性质二元关系的性质7.4 二元关系的闭包运算二元关系的闭包运算7.5 等价关系和集合的划分等价关系和集合的划分 7.6 偏序关系和格偏序关系和格 7.7 链与反链链与反链 注：注：文档文档资料素材和料素材和资料部分料部分来自网来自网络，如不慎侵犯了您的，如不慎侵犯了您的权益，益，请联系系Q2653327170，我，我们将做将做删除除处理，感理，感谢您您的理解。的理解。
