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1、信号分析与处理(第3版)-第2章part2(频域分析)一、周期信号的频谱分析一、周期信号的频谱分析周期信号的傅立叶级数展开式周期信号的傅立叶级数展开式周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的功率分配周期信号的功率分配21 1、周期信号的傅立叶级数展开式、周期信号的傅立叶级数展开式 （1 1）三角函数的傅立叶级数）三角函数的傅立叶级数周期为T0的周期信号x(t)，如果满足狄里赫利条狄里赫利条件件，都可以分解成三角函数不等式： 直流分量基波分量n =1 谐波分量n1周期： 3直流系数余弦分量系数正弦分量系数（1 1）三角函数的傅立叶级数）三角函数的傅立叶级数4（2 2）傅立叶级数的三角函数正交集表示
2、）傅立叶级数的三角函数正交集表示完备正交函数集完备正交函数集（3 3）傅立叶级数的指数形式）傅立叶级数的指数形式72 2、周期信号的频谱、周期信号的频谱（1）相关定义）相关定义基波信号、谐波信号基波信号、谐波信号：周期信号可以分解为一系列余弦信号之和：表明一个周期为T0的信号，除直流分量外，包含有频率为原信号频率以及原信号频率的整数倍的一系列正弦型信号，分别将它们称为基波信号基波信号（n=1,也称为一次谐波信号）, 二次谐波信号（n=2）,以及三次、四次谐波谐波信号信号，它们的振幅振幅分别为对应的An，相位相位为8频谱函数频谱函数： 指数形式的傅立叶级数表达式中复数量 随频率 的分布称为信号的
3、频谱频谱，也称为周期信号的频谱函数频谱函数 幅度频谱、相位频谱幅度频谱、相位频谱： 由于 包含了幅度和相位的分布，通常把幅度 随频率的分布称为幅度频谱，简称幅频幅频，相位 随频率的分布称为相位频谱，简称相频相频频谱图频谱图: 以频率为横座标，各谐波分量幅度或相位为纵坐标，画出幅频和相频的变化规律，称为信号的频谱图频谱图2 2、周期信号的频谱、周期信号的频谱9例例1 1求下图所示的周期矩形脉冲信号的复指数形式傅立叶级数表示式。10解解：如图所示的矩形脉冲信号在一个周期内可表示为求复傅立叶系数 11出现 形式的函数，在信号理论中经常 遇到，称为取样函数取样函数，记作Sa(x)。Sa(x)是偶函数，
4、当 时， Sa(x)=1为最大值，随着 的增大而总趋势衰减， 为过零点，每2起伏一次。 12因此，有周期矩形脉冲信号复指数形式傅立叶级数展开式为x(t)x(t)t t0 00 0E ET T0 0-T-T0 0周期矩形脉冲信号的频谱的特点周期矩形脉冲信号的频谱的特点离散性离散性：频谱是非周期性的离散的线状频谱，连接各谱线顶点的曲线 为频谱的包络线，过零过零点为点为 谐波性谐波性：谱线以基波频率为间隔等距离分布，表明周期矩形脉冲信号只包含直流分量、基波分量和各次谐波分量。收敛性收敛性：谱线幅度整体上具有减小的趋势。主要能量在第一过零点内主要能量在第一过零点内。频带宽度为。频带宽度为2 2、周期信
5、号的频谱特征、周期信号的频谱特征以上三个特点是任何满足狄里赫利条件的周期信以上三个特点是任何满足狄里赫利条件的周期信号的频谱所共同具有的号的频谱所共同具有的特征特征周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处率处例例3 3 求出复指数信号求出复指数信号 的频谱的频谱 复傅立叶系数为 仅在 处有幅度为1的分量，说明复指数信号是正弦信号的一种表现形式 183 3、周期信号的功率分配、周期信号的功率分配P为周期信号的平均功率将 代入，有4 4、周期信号的傅立叶级数近似、周期信号的傅立叶级数近似 一般情况下一个周期信号是由无穷多项正弦型一般情况下一个周期信号
6、是由无穷多项正弦型信号（直流、基波及各项谐波）组合而成，换言信号（直流、基波及各项谐波）组合而成，换言之，一般情况下，无穷多项正弦型信号的和才能之，一般情况下，无穷多项正弦型信号的和才能完全逼近一个周期信号。如果采用有限项级数表完全逼近一个周期信号。如果采用有限项级数表示周期信号，势必产生表示误差示周期信号，势必产生表示误差 20周期方波信号的三角形傅立叶级数展开式 4 4、周期信号的傅立叶级数近似、周期信号的傅立叶级数近似21傅立叶级数所取项数越多，叠加后波形越逼近原信号，两者之间的均方误差越小当信号为方波等脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，低频分量主要影响脉冲的顶部。所以，波形变
7、化愈激烈，所包含的高频分量愈丰富；变化愈缓慢，所包含的低频分量愈丰富组成原信号的任一频谱分量（包括幅值、相位）发生变化时，信号的波形也会发生变化4 4、周期信号的傅立叶级数近似、周期信号的傅立叶级数近似22二、非周期信号的频谱分析二、非周期信号的频谱分析从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换常见非奇异信号的频谱常见非奇异信号的频谱奇异信号的频谱奇异信号的频谱周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换231 1、从傅立叶级数到傅立叶变换、从傅立叶级数到傅立叶变换当周期矩形脉冲信号的周期T0无限大时,就演变成了非周期的单脉冲信号谱线无限密集，频率也变成连续变量24从周期信号FS推导非周期的
8、FT傅立叶傅立叶变换变换傅立叶系数消除T0的影响T0趋于无穷T0趋于无穷傅立叶傅立叶反变换反变换X()是一个是一个频谱频谱密度函数密度函数的概念的概念X()是一个是一个连续谱连续谱X()包含了包含了从零到无限高从零到无限高频率的所有频率分量频率的所有频率分量各频率分量的频率各频率分量的频率不成谐波不成谐波关系关系从物理意义来讨论傅立叶变换从物理意义来讨论傅立叶变换26傅立叶变换存在的条件傅立叶变换存在的条件在无限区间内是绝对可积的，即在任意有限区间内，x(t)只有有限个不连续点，在这些点上函数取有限值。在任意有限区间内， x(t)只有有限个极大值和极小值。272 2、常见非奇异信号的频谱、常见
9、非奇异信号的频谱矩形脉冲信号矩形脉冲信号单边指数信号单边指数信号双边指数信号双边指数信号双边奇指数信号双边奇指数信号28（1 1）矩形脉冲信号）矩形脉冲信号29t0（1 1）矩形脉冲信号）矩形脉冲信号30（2 2）单边指数信号）单边指数信号幅频幅频相频相频 x(t)t000（2 2）单边指数信号）单边指数信号32（3 3）双边指数信号）双边指数信号 x(t)0t0（4 4）双边奇指数信号）双边奇指数信号幅频相频（4 4）双边奇指数信号）双边奇指数信号353 3、奇异信号的频谱、奇异信号的频谱单位冲激信号单位冲激信号单位直流信号单位直流信号符号函数信号符号函数信号单位阶跃信号单位阶跃信号36（1
10、 1）单位冲激信号）单位冲激信号根据冲激函数的筛选特性，有 1t0037（2 2）单位直流信号）单位直流信号该信号不满足绝对可积条件，可以把它看作双边指数信号 当 的极限a趋于零趋于零3839（3 3）符号函数信号）符号函数信号把符号函数信号看成是双边奇指数信号当a趋于0时的极限 。40 x1(t)10ta-a 0 tSgn(t)+1-1（4 4）单位阶跃信号）单位阶跃信号把它视为单边指数信号当a趋于0时的极限 u(t)0t04 4、周期信号的傅立叶变换、周期信号的傅立叶变换复指数信号复指数信号正弦信号正弦信号余弦信号余弦信号一般周期信号一般周期信号43（1 1）复指数信号）复指数信号考虑 的傅立叶变换为设x(t)的傅立叶变换为X()，则上式为X(- 0)令x(t)1，则由直流信号的傅立叶变换式，有（2 2）正弦信号）正弦信号欧拉公式 应用复指数信号的傅立叶变换 45（3 3）余弦信号）余弦信号46（4 4）一般周期信号）一般周期信号一般周期信号可以展开成指数形式的傅立叶级数已知 的傅立叶变换为 47课后作业课后作业作业：作业：P9915225961预习内容：预习内容：MATLAB软件傅立叶变换的性质48
