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1、一元二次方程应用题初三数学主讲教师：林素卿 前面我们学习了一元二次方程及其解法，这一节我们将学习列一元二次方程解应用题.分三小节学习：数字问题、面积问题和增长率问题. 列方程解应用题的一般步骤：列方程解应用题的一般步骤：1仔仔细细分分析析题题意意，适适当当地地假假设设某某个个未未知知量量为为未未知数；知数；2根据题目中的等量关系列出方程；根据题目中的等量关系列出方程；3解方程，得到方程的解；解方程，得到方程的解；4检检验验方方程程的的解解是是否否符符合合实实际际，得得到到原原问问题题的的解；解；5答题答题.一一 、数字问题、数字问题例例1 两个数的差是两个数的差是8，积是，积是209，求这两个
2、数，求这两个数. 解：设较小的数为x，那么较大的数为(x+8)，根据题意，得x(x8) 209x28x16209+16(x4)2225x415x111, x219当x=11时，x819；当x19时，x811.都符合题意.答：这两个数分别11和19，或19和11. 例例2 三个连续偶数，最大数与最小数的平方和比中间三个连续偶数，最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大一个数的平方大332，求这三个连续偶数，求这三个连续偶数. 1、偶数个连续偶数或奇数，一般可设中间两个为(x1)和(x 1).2、奇数个连续偶数或奇数，自然数，一般可设中间一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x，那么其余两
3、个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自然数，可设中间一个自然数为x，那么其余两个自然数分别为(x1)和(x 1).解解：设设中中间间一一个个偶偶数数为为x，那那么么其其余余两两个个偶偶数数分分别别为为(x 2)和和 (x 2),根据题意，得根据题意，得(x 2)2+(x 2)2 x2 332整理，得整理，得 x2 324 x18当当x 18时，时，x 2 16, x 2 20；当当x= 18时，时，x 2= 20, x 2 16.答答：这这三三个个连连续续偶偶数数分分别别为为16、18和和20，或或 20、 18和和 16. 例例3 一个两位数等于其各位数字之积的一个两位数等于其各位数
4、字之积的3倍，且其十倍，且其十位数字比个位数字小位数字比个位数字小2，求这个两位数，求这个两位数. 解：设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为（x2），根据题意，得10x(x2)3x(x2)整理，得 3x25x20解得 不合题意，舍去；x2, 10x(x2)24.答：这个两位数为24. 1十位数字为a，个位数字为b的两位数是10ab;2百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c的三 位数是100a10bc. 二、面积问题二、面积问题 例例4 有一块长4米，宽3米的长方形空地，现要在空地中央建一个长方形花坛，四周是等宽的草坪，使花坛面积是草坪面积的两倍，求花坛的长和宽.(精确到0.1米) 解：
5、设四周的等宽草坪的宽为x米，那么花坛的长和宽分别为(42x)米和(32x)米，根据题意，得 (42x)(32x)243(42x)(32x)整理，得 2x27x20解得 ， .当x3.19时，42x0, 不合题意，舍去；当x0.31时，42x3.4, 32x2.4. 符合题意.答：花坛的长约为3.4米，宽约为2.4米.例例5 学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，那么与教米，那么与教学学楼后墙平行的那条边长为楼后墙平
6、行的那条边长为(35 2x)米，根据题意，得米，根据题意，得 x(35 2x) 150解得解得 当当 时，时，35 2x 20 18不合题意，舍去；不合题意，舍去；当当x 10时，时，35 2x 15. 符合题意符合题意.答：自行车棚的长和宽分别为答：自行车棚的长和宽分别为15米和米和10米米.例例6 如图，一块长162米，宽64米的矩形耕地，要在这块地上挖4横2纵共6条水渠，如果水渠的宽相等，且要保证余下的可耕地面积为9600平方米，求水渠的宽.(精确到0.1米)解：设水渠的宽为解：设水渠的宽为x米，米，根据题意，得根据题意，得 464x 2162 4xx 9600 162 64整理，得整理
7、，得 2x2 145x 192 0解得解得 不合题意不合题意,舍去；舍去； 符合题意符合题意.答：水渠的宽约为答：水渠的宽约为1.3米米.三、增长率问题三、增长率问题例例7 某市市政府计划两年后实现市财政净收某市市政府计划两年后实现市财政净收入翻一入翻一番，那么这两年中市财政净收入的平均年增长番，那么这两年中市财政净收入的平均年增长率应为率应为多少？多少？(精确到精确到0.1%)假设记今年市财政净收入为假设记今年市财政净收入为a,市财政净收入的市财政净收入的平均年增平均年增长率为长率为x，那么，那么明年一年后市财政净收入为明年一年后市财政净收入为a ax a(1 x);后年两年后市财政净收入为
8、后年两年后市财政净收入为a(1 x) a(1 x) x a(1 x)2.解：解：设今年某市市财政净收入为1，这两年中市财政净收入的平均年增长率为x，根据题意，得 (1x)22 , 符合题意. 不合题意，舍去.答：这两年中市财政净收入的平均年增长率约为41.4%.例8某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元.假设两次降价折扣率相同,求每次降价率为多少？两次打折标示多少折？1假设原价为a元，降价率为x，那么一次降价后标价为 aax a(1x) 元; 两次降价后标价为a(1x)2元.2假设原价为a元，打y折
9、，那么一次打折后标价为 元; 两次降价后标价为元. 降价率x与打y折的关系为: .解：解：设每次降价率为x, 根据题意，得 200(1x)2128 x1120%,符合题意，此时两次打折标示均为8折； x210.81不合题意，舍去.答：每次降价率均为20%，两次打折标示均为8折.例例9 小明将勤工俭学得到的小明将勤工俭学得到的500元钱按一年定期存入元钱按一年定期存入银行，到期后取出银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的元用来购买学习用品，剩下的450元连同应得税后利息又全部按一年定期存入银行，到元连同应得税后利息又全部按一年定期存入银行，到期后可得税后本息约期后可得税后本息约461元利
10、息税为利息的元利息税为利息的20%，如果这个期间银行存款的年利率保持不变，那么这种如果这个期间银行存款的年利率保持不变，那么这种存款的年利率大约是多少？精确到存款的年利率大约是多少？精确到0.01%假设本金为假设本金为a元，某种存款的年利率元，某种存款的年利率x，那么，那么一年到期应得税后利息为一年到期应得税后利息为ax(1 20%)元元,应得税后本息应得税后本息为为a1 x(1 20%)元；元；假设没取出再存一年自动转存，到期应得税后本假设没取出再存一年自动转存，到期应得税后本息为息为a1 x(1 20%)2元元.解：解：设这种存款的年利率为x，根据题意，得 450500 x(120%)1
11、x (120%)461整理，得 320x2760x110解得,符合题意; 不合题意，舍去.答：这种存款的年利率大约是1.44%.今天，我们主要通过分析几个例题，看到列一元二次方程解应用题的一般步骤及本卷须知。首先，要适当地假设未知数，这一步非常关键，往往影响后面解方程的计算量；再仔细分析题意，列出方程，解方程，得到方程的解；这时一定要注意检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的解要舍去；最后答题。对于带有单位的应用题，如面积问题，在假设、答题中要带着单位，中间过程不需要单位。)WMCrh7(WLBrg6(VLAqg5*VKAqf5&UKzpf4&UJzoe4%TJyod3%SIynd3$
12、SHxnc2$RHwmc1!RGwmb1#QGvlb0#QFvka0ZPFuk9+ZOEuj9+YODtj8-YNDti8)XNCsi7)WMCrh7(WMBrg6(VLBqg5*VKAqf5*UKzpf4&UJzpe4%TJyoe3%SIynd3$SIxnc2$RHxmc2!RGwmb1!QGvlb0#QFvla0ZPFuka+ZOEuj9+YOEtj8-YNDti8-XNCsi7)XMCrh7(WMBrh6(VLBqg6*VKAqf5*UKApf4&UJzpe4&TJyoe3%TIynd3$SIxnd2$RHxmc2!RHwmb1!QGwlb0#QFvla0#PFuka+ZPEuj9+YO
13、Etj9-YNDti8-XNDsi7)XMCsh7(WMBrh6(WLBqg6*VLAqg5*UKApf5&UJzpe4&TJzoe3%PFvka0ZPFuk9+ZOEuj9+YODtj8-YNDsi8)XNCsi7)WMCrh7(WLBrg6(VLBqg5*VKAqf5*UKzpf4&UJzoe4%TJyoe3%SIynd3$SHxnc2$RHxmc1!RGwmb1!QGvlb0#QFvka0ZPFuka+ZOEuj9+YOEtj8-YNDti8)XNCsi7)XMCrh7(WMBrg6(VLBqg6*VKAqf5*UKApf4&UJzpe4%TJyoe3%TIynd3$SIxnd2$RHx
14、mc2!RGwmb1!QGwlb0#QFvla0ZPFuka+ZPEuj9+YOEtj9-YNDti8-XNCsi7)XMCsh7(WMBrh6(VLBqg6*VLAqf5*UKApf5&UJzpe4&TJyoe3%TIyod3$SIxnd2$SHxmc2!RHwmb1!QGwlb1#QFvla0#PFuka+ZPEuk9+YOEtj9-YODti8-XNDsi7)XMCsh7)WMBrh6(WLBrg6*VLAqg5*UKApf5&UKzpe4&TJzoe3%TIyod3%SIxnd2$SHxnc2!RHwmc1!QGwlb1#QGvla0#PFvka0ZPEuk9+ZOEtj9-YODtj
15、8-XNDsi8)XMCsh7)WMCrh6(WLBrg6(VLAqg5*VKApf5&UKzpf4&TJzoe4%TIyod3%SIynd2$SHxnc2$RHwmc1!RGwlb1#QGvlb0#PFvka0ZPFuk9+ZOEuj9-YODtj8-YNDsi8)XNCsh7)WMCrh7(WLBrg6(VLBqg5*VKAqf5&UKzpf4&UJzoe4%TJyoe3%SIynd3$SHxnc2$RHxmc1!RGwmb1#QGvlb0#QFvka0ZPFuka+ZOEuj9+YODtj8-YNDti8)XNCsi7)WJzoe3%TIyod3%SIxnd2$SHxmc2!RHwmc1
16、!QGwlb1#QFvla0#PFvka+ZPEuk9+ZOEtj9-YODti8-XNDsi8)XMCsh7)WMCrh6(WLBrg6*VLAqg5*VKApf5&UKzpe4&TJzoe4%TIyod3%SIynd2$SHxnc2!RHwmc1!RGwlb1#QGvlb0#PFvka0ZPEuk9+ZOEuj9-YODtj8-XNDsi8)XNCsh7)WMCrh7(WLBrg6(VLAqg5*VKAqf5&UKzpf4&TJzoe4%TJyod3%SIynd3$SHxnc2$RHwmc1!RGwmb1#QGvlb0#QFvka0ZPFuk9+ZOEuj9+YODtj8-YNDsi8)X
17、NCsi7)WMCrh7(WMBrg6(VLBqg5*VKAqf5*UKzpf4&UJzpe4%TJyoe3%SIynd3$SIxnc2$RHxmc1!RGwmb1!QGvlb0#QFvla0ZPFuka+ZOEuj9+YOEtj8-YNDti8)XNCsi7)XMCrh7(WMBrh6(VLBqg6*VKAqf5*UKApf4&UJzpe4&TJyoe3%TIynd3$SIxnd2$RHxmc2!RGwmb1!QGwlb0#QFvla0#PFuka+ZPEuj9+YOEtj9-YNDti8-XNDsi7)XMCsh7(WMBrh6(WLBqg6*VLAqf5*UKApf5&UJzpe4&TJ
18、zoe3%TIyod3$SIxnd2$SHxmc2!RHwmb1!QGwlb1#QFvla0#PFvka+ZPEuk9+YOEtg5*VKAqf5&UKzpf4&UJzoe4%TJyoe3%SIynd3$SHxnc2$RHxmc1!RGwmb1!QGvlb0#QFvka0ZPFuka+ZOEuj9+YODtj8-YNDti8)XNCsi7)XMCrh7(WMBrg6(VLBqg6*VKAqf5*UKApf4&UJzpe4%TJyoe3%TIynd3$SIxnc2$RHxmc2!RGwmb1!QGwlb0#QFvla0ZPFuka+ZPEuj9+YOEtj8-YNDti8-XNCsi7)XMCs
19、h7(WMBrh6(VLBqg6*VLAqf5*UKApf5&UJzpe4&TJyoe3%TIyod3$SIxnd2$RHxmc2!RHwmb1!QGwlb1#QFvla0#PFuka+ZPEuk9+YOEtj9-YODti8-XNDsi7)XMCsh7)WMBrh6(WLBqg6*VLAqg5*UKApf5&UKzpe4&TJzoe3%TIyod3%SIxnd2$SHxmc2!RHwmc1!QGwlb1#QGvla0#PFvka+ZPEuk9+ZOEtj9-YODtj8-XNDsi8)XMCsh7)WMCrh6(WLBrg6*VLAqg5*VKApf5&UKzpf4&TJzoe4%TIyod
20、3%SIynd2$SHxnc2$RHwmc1!RGwlb1#QGvlb0#PFvka0ZPEuk9+ZOEuj9-YODtj8-YNDsi8)XNCsh7)WMCrh7(WLBrg6(VLBqg5*VKAqf5&UKzpf4&UJzoe4%TJyod3%SIynd3$SHxnc2$RHxmc1!RGwmb1#QGvlb0#QFvka0ZPFuk9+ZOEuj9+YODtj8-YNDti8)XNCsi7)WMCrh7(WMBrg6(VLBqg6*VKAqf5*UKzpf4&UJwlb1#QFvla0#PFvka+ZPEuk9+ZOEtj9-YODti8-XNDsi8)XMCsh7)WMBrh6(
21、WLBrg6*VLAqg5*VKApf5&UKzpe4&TJzoe4%TIyod3%SIxnd2$SHxnc2!RHwmc1!RGwlb1#QGvla0#PFvka0ZPEuk9+ZOEuj9-YODtj8-XNDsi8)XNCsh7)WMCrh6(WLBrg6(VLAqg5*VKAqf5&UKzpf4&TJzoe4%TJyod3%SIynd3$SHxnc2$RHwmc1!RGwmb1#QGvlb0#PFvka0ZPFuk9+ZOEuj9+YODtj8-YNDsi8)XNCsi7)WMCrh7(WMBrg6(VLBqg5*VKAqf5*UKzpf4&UJzob1#QFvla0#PFuka+ZP
22、Euk9+YOEtj9-YODti8-XNDsi7)XMCsh7)WMBrh6(WLBrg6*VLAqg5*UKApf5&UKzpe4&TJzoe3%TIyod3%SIxnd2$SHxnc2!RHwmc1!QGwlb1#QGvla0#PFvka0ZPEuk9+ZOEtj9-YODtj8-XNDsi8)XMCsh7)WMCrh6(WLBrg6(VLAqg5*VKApf5&UKzpf4&TJzoe4%TIyod3%SIynd2$SHxnc2$RHwmc1!RGwlb1#QGvlb0#PFvka0ZPFuk9+ZOEuj9-YODtj8-YNDsi8)XNCsh7)WMCrh7(WLBrg6(VLB
23、qg5*VKAqf5&UKzpf4!QGwlb0#QFvla0#PFuka+ZPEuk9+YOEtj9-YNDti8-XNDsi7)XMCsh7)WMBrh6(WLBqg6*VLAqg5*UKApf5&UJzpe4&TJzoe3%TIyod3%SIxnd2$SHxmc2!RHwmc1!QGwlb1#QFvla0#PFvka+ZPEuk9+ZOEtj9-YODti8-XNDsi8)XMCsh7)WMCrh6(WLBrg6*VLAqg5*VKApf5&UKzpe4&TJzoe4%TIyod3%SIynd2$SHxnc2!RHwmc1!RGwlb1#NCsi7)XMCrh7(WMBrh6(VLBqg
24、6*VKAqf5*UKApf4&UJzpe4&TJyoe3%TIynd3$SIxnd2$RHxmc2!RGwmb1!QGwlb0#QFvla0#PFuka+ZPEuj9+YOEtj9-YNDti8-XNCsi7)XMCsh7(WMBrh6(WLBqg6*VLAqf5*UKApf5&UJzpe4&TJzoe3%TIyod3$SIxnd2$SHxmc2!RHwmb1!QGwlb1#QFvla0#PFvka+ZPEuk9+YOEtj9-YODti8-XNDsi8)XMCsh7)WMBrh6(WLBrg6*VLAqg5*UKApf5&UKzpe4&TJzoe4%TIyod3%SIxnd2$SHxnc2
25、!RHwmc1!QGwlb1#QGvla0#PFvka0ZPEuk9+ZOEtj9-YODtj8-XNDsi8)XNCsh7)WMCrh6(WLBrg6(VLAqg5*VKApf5&UKzpf4&TJzoe4%TJyod3%SIynd2$SHxnc2$RHwmc1!RGwmb1#QGvlb0#PFvka0ZPFuk9+ZOEuj9-YODtj8-YNDsi8)XNCse4&TJyoe3%TIyod3$SIxnd2$RHxmc2!RHwmb1!QGwlb1#QFvla0#PFuka+ZPEuk9+YOEtj9-YNDti8-XNDsi7)XMCsh7)WMBrh6(WLBqg6*VLAqg5*U
26、KApf5&UKzpe4&TJzoe3%TIyod3%SIxnd2$SHxmc2!RHwmc1!QGwlb1#QGvla0#PFvka+ZPEuk9+ZOEtj9-YODtj8-XNDsi8)XMCsh7)WMCrh6(WLBrg6*VLAqg5*VKApf5&UKzpf4&TJzoe4%TIyod3%SIynd2$SHxnc2!RHwmc1!RGwlb1#QGvlb0#PFvka0ZPEuk9+ZOEuj9-YODtj5*UKApf4&UJzpe4&TJyoe3%TIynd3$SIxnd2$RHxmc2!RHwmb1!QGwlb0#QFvla0#PFuka+ZPEuj9+YOEtj9-YND
27、ti8-XNDsi7)XMCsh7(WMBrh6(WLBqg6*VLAqg5*UKApf5&UJzpe4&TJzoe3%TIyod3$SIxnd2$SHxmc2!RHwmc1!QGwlb1#QFvla0#PFvka+ZPEuk9+YOEtj9-YODti8-XNDsi8)XMCsh7)WMBrh6(WLBrg6*VLAqg5*VKApf5&UKzpe4&TJzoe4%TIyod3%SIxnd2$SHxnc2!RHwmc1!RGwlb1#QGvla0#PFvka0ZPEuk9+ZOEuj9-VKAqf5*UKApf4&UJzpe4%TJyoe3%TIynd3$SIxnd2$RHxmc2!RGwm
28、b1!QGwlb0#QFvla0ZPFuka+ZPEuj9+YOEtj9-YNDti8-XNCsi7)XMCsh7(WMBrh6(VLBqg6*VLAqf5*UKApf5&UJzpe4&TJyoe3%TIyod3$SIxnd2$SHxmc2!RHwmb1!QGwlb1#QFvla0#P$2cnxHS$3dnyIS%3doyJT%4eozJU&4fpzKU&5fqAKV*5gqBLV(6grBLW(7hrCMW)7hsCNX)8isDNY-8jtDOY-9juEOZ+9kuFPZ0akvFP#0blvGQ#1blwGR!1cmwHR$2cnxHS$2dnyIS%3doyIT%4eozJT&4fp
29、zKU&5fpAKV*5gqALV(6grBLW(6hrCMW)7hsCMX)8isDNX-8jtDOY-9jtEOZ+9kuEPZ+akvFP#0alvGQ#1blwGQ!1cmwHR!2cnxHS$2dnxIS%3doyIT%3eozJT&4epzKU&5fpAKU*5gqALV*6grBLW(6hrBMW)7hsCMX)7isDNX-8itDOY-9jtEOY+9kuEPZ+akuFP#0alvFQ#1blwGQ!1bmwHR!2cmxHS$2dnxIS$3doyIT%3eoyJT&4epzJU&5fpAKU*5fqALV*6gqBLV(6hrBMW(7hsCMX)7isCNX-8itD
30、NY-9jtEOY+9juEPZ+akuFPZ0alvFQ#0blwGQ!1bmwGR!2cmxHR$2dnxIS$3dnyIT%3eoyJT%4epzJU&4fpAKU*5fqAKV*6gqBLV(6grBMW(7hrCMX)7isCNX)8itDNY-8jtEOY+9juEOZ+akuFPZ0akvFQ#0blvGQ!1bmwGR!1cmxHR$2cnxHS$3dnyIS%3eoyJT%4eozJU&4fpzKU*5fqAKV*5gqBLV(6grBLW(7hrCMW)7isCNX)8isDNY-8jtDOY+9juEOZ+9kuFPZ0akvFP#0blvGQ#1bmwGR!1cmwHR
31、$2cnxHS$2dnyIS%3doyJT%4eozJT&4fpzKU&5fqAKV*5gqALV(6grBLW(6hrCMW)7hsCNX)8isDNX-8jtDOY-9jtEOZ+9kuEPZ0akvFP#0alvGQ#1blwGR!1cmwHR!2cnxHS$2dnxIS%3doyIT%4eozJT&4epzKU&5fpAKU*5gqALV*6grBLW(6hrBMW)7hsCMX)8isDNX-8itDOY-9jtEOY+9kuEPZ+akvFP#0alvFQ#1blwGQ!1cmwHR!2cmxHS$2dnxIS$3doyIT%3eozJT&4epzJU&5fpAKU*5fqALV*
32、6gqBLW(6hrBMW(7hsCMX)7isDNX-8itDNY-9jtEOY+9juEPZ+akuFP#0alvFQ#0blwGQ!1bmwGR!2cmxHR$2dnxIS$3dnyIT%3eoyJT&4epzJU&4fpAKU*5fqAKV*6gqBLV(6hrBMW(7hrCMX)7isCNX-8itDNY-8jtEOY+9jxHS$2dnyIS%3doyIT%4eozJT&4fpzKU&5fpAKV*5gqALV*6grBLW(6hrCMW)7hsCMX)8isDNX-8itDOY-9jtEOZ+9kuEPZ+akvFP#0alvGQ#1blwGQ!1cmwHR!2cmxHS$2d
33、nxIS%3doyIT%3eozJT&4epzJU&5fpAKU*5gqALV*6gqBLW(6hrBMW)7hsCMX)7isDNX-8itDNY-9jtEOY+9kuEPZ+akuFP#0alvFQ#1blwGQ!1bmwHR!2cmxHR$2dnxIS$3doyIT%3eoyJT&4epzJU&4fpAKU*5fqALV*6gqBLV(6hrBMW(7hsCMX)7isCNX-8itDNY-8jtEOY+9juEPZ+akuFPZ0alvFQ#0blvGQ!1bmwGR!2cmxHR$2cnxIS$3dnyIT%3eoyJT%4epzJU&4fpzKU*5fqAKV*6gqBLV(6gr
34、BMW(7hrCMX)7isCNX)8itDNY-8jtDOY+9juEOZ+akuFPZ0akvFQ#0blvGQ#1bmwGR!1cmxHR$2cnxHS$3dnyIS%3eoyJT%4eozJU&4fpzKU&5fqAKV*5gqBLV(6grBLW(7hrCMW)7hsCNX)8isDNY-8jtDOY-9juEOZ+9kuFPZ0akvFP#0eoyJT&4epzJU&5fpAKU*5fqALV*6gqBLW(6hrBMW(7hsCMX)7isCNX-8itDNY-9jtEOY+9juEPZ+akuFP#0alvFQ#0blwGQ!1bmwGR!2cmxHR$2dnxIS$3dnyI
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