2006年考研数学三真题及答案

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2006 年考研数学三真题 一、填空题（16 小题，每小题 4 分，共 24 分。 ） (1) (+1)(1)= 。 【答案】1。 【解析】 【方法一】记= (+1)(1), 因为2= 2k+12= 1, 且2+1= (2k+22+1)1= 1, 故= 1。 【方法二】(+1)(1)= (1)+1, 而+1= ln(1 +1) =0(无穷小量)，(1)为有界变量，则原式= 0= 1。 综上所述，本题正确答案是1。 【考点】高等数学函数、极限、连续极限的四则运算 (2) 设函数()在 = 2的某领域内可

2、导，且() = (),(2) = 1, 则(2) = 。 【答案】23。 【解析】本题主要考查复合函数求导。 由() = ()知 () = ()() = () ()= 2() () = 2() 2() = 23() (2) = 23(2)= 23。 综上所述，本题正确答案是23。 【考点】高等数学一元函数微分学复合函数的导数 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(3) 设函数()可微，且(0) =12, 则 = (42 2)在点(1,2)处的全微分|(1,2)= 。 【答案】4 2。 【解析】因为|(1,2)= (42 2) 8|(1,

3、2)= 4, |(1,2)= (42 2) (2)|(1,2)= 2, 所以|(1,2)=|(1,2) +|(1,2) = 4 2。 综上所述，本题正确答案是4 2。 【考点】高等数学多元函数微积分学偏导数、全微分 (4) 设矩阵 = 2112， 为二阶单位矩阵， 矩阵满足 = + 2，则| =_。 【答案】2。 【解析】 = + 2 ( ) = 2 |( )|= | | | = 22= 4 因为| | = |1111| = 2，所以| = 2。 综上所述，本题正确答案是2。 【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质 线性代数矩阵矩阵的线性运算 (5) 设随机变量与相互独立，且均服从区间0

4、,3上的均匀分布，则, 1 =_。 【答案】19。 【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！单函数的分布。 事件, 1 = 1, 1 = 1 1, 又根据X,Y相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出 P 1 =1313=19。 综上所述，本题正确答案是19。 【考点】概率论多维随机变量的分布二维随机变量的分布 (6) 设总体的概率密度为() =12 |( 0,() 0， 为自变量在点0处的增量，与分别为()在点0处对应的增量与微分，若 0，则 (A)0 (B)0 (C) 0 (C) 0

5、 【答案】A。 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【解析】 【方法一】由函数 = ()单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图 由图可得0 (0) + (0), 0， 于是(0+ ) (0) (0) 0, 0，即0 综上所述，本题正确答案是 A。 【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义 (8) 设函数()在 = 0处连续，且0(2)2= 1, 则 (A)(0) = 0且(0)存在 (B)(0) = 1且(0)存在 (C)(0) = 0且+(0)存在 (D)(0) = 1且+(0)存在 【答案】C

6、。 【解析】由0(2)2= 1, 且02= 0, 则0(2) = 0, 由于f(x)在 = 0处连续，且0(2) = (0) = 0, 从而 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！0(2)2= 0(2) (0)2= 1 由于上式中2 0+(只有从大于零一边趋于零)，则由上式可得 +(0) = 1。 综上所述，本题正确答案是 C。 【考点】高等数学函数、极限、连续函数连续的概念 高等数学一元函数微分学导数的概念 (9) 若级数=1收敛，则级数 (A) |=1收敛 (B) (1)=1收敛 (A) +1=1收敛 (A) +12=1收敛 【答案】

7、D。 【解析】由=1收敛知+1=1收敛，所以级数+12=1收敛。 综上所述，本题正确答案是 D。 【考点】高等数学无穷级数收敛级数的和的概念 (10)非 齐 次 线 性 微 分 方 程 +() = () 有 两 个 不 同 的 解1(),2(),为任意常数，则该方程的通解是 (A)1() 2() (B)1() +1() 2() (C)1() +2() (D)1() +1() +2() 【答案】B。 【解析】 由于1() 2()是对应其次线性微分方程+() =()的非零解，所以它的通解是 = 1() 2(), 故原方程的通解为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们

8、将竭诚为您提供优质的文档！ = 1()+ = 1() + 1() 2()。 综上所述，本题正确答案是 B。 【考点】高等数学常微分方程与差分方程非齐次线性微分方程性质及解的结构 (11)设(,)与(,)均为可微函数， 且(,) 0。 已知(0,0)是(,)在约束条件(,) = 0下的一个极值点，下列选项正确的是 (A)若(0,0) = 0，则(0,0) = 0 (B)若(0,0) = 0，则(0,0) 0 (C)若(0,0) 0，则(0,0) = 0 (D)若(0,0) 0，则(0,0) 0 【答案】D。 【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。 作拉格朗日函数(,) =

9、 (,) + (,), 并记对应0,0的参数的值为0, 则(0,0,0) = 0(0,0,0) = 0, 即 (0,0)+0(0,0) = 0(0,0) + 0(0,0) = 0, 消去0得： (0,0)(0,0) (0,0)(0,0) = 0, 整理得： (0,0) =1(0,0)(0,0)(0,0) (因为(,) 0), 若(0,0) 0, 则(0,0) 0。 综上所述，本题正确答案是 D 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【考点】高等数学多元函数微积分学二元函数的极限 (12)设1,2,均为维列向量， 是 矩阵， 下列选项正确的

10、是 (A)若1,2,线性相关，则1,2,线性相关 (B)若1,2,线性相关，则1,2,线性无关 (C)若1,2,线性无关，则1,2,线性相关 (D)若1,2,线性无关，则1,2,线性无关 【答案】A。 【解析】 【方法一】因为1,2,线性相关，故存在不全为零的数1,2,使得11+ 22+ + = 0 从而有(11+ 22+ + ) = 0 = 0 即11+22+ + = 0, 由于1,2,不全为 0 而是上式成立，说明1,2,线性相关。 【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有 (1,2,) = (1,2,) 那么(1,2,) (1,2,) 因为1,2,线性相关，有(1,2,) s 从而(1,2

11、,) , 故1,2,线性相关。 综上所述，本题正确答案是 A 【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关、向量组的秩 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(13)设为三阶矩阵，将的第 2 行加到第 1 行的，再将的第 1 列的1倍加到第 2 列得，记 = 110010001 ，则 (A) = 1 (B) = 1 (C) = T (D) = T 【答案】B。 【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有 = 110010001 , = 110010001 所以 = 110010001 110010001 = 。 综上所述，本题正确答案是 B

12、【考点】线性代数矩阵矩阵的线性运算 (14)设随机变量服从正态分布(1,12),服从正态分布(2,22), 且| 1| | 2| 1, 则必有 (A)1 2 (C)1 2 【答案】A。 【解析】由于与的分布不同，不能直接判断| 1| 1和| 2| 1的大小与参数的关系， 将其标准化， 就可以方便比较。 | 1| 1 = |11| 11, 随机变量11(0,1), 且其概率密度函数为偶函数，故 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！ |11| 11 = 20 1111 = 2(11) (0) = 2(11) 1, 同理| 2| 1 = 2(

13、12) 1, 因为(x)是单调增函数， 当| 1| | 2| 2(12) 1, 即(11) (12), 所以1112, 即1 0, 0, 求 (I)()= +(,); (II)0+() 【解析】本题主要考查洛必达法则和等价无穷小的替换。 (I)在求 +(,)时x为固定的正数，则 +1+=1, += + ,(等价无穷小的替换) = 则()= +(,) =11。 (II)0+()= 0+(11) + 0+ = 0+ 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！ = 0+2+(等价无穷小替换) = 0+11+212+(洛必达法则) = 0+21+22

14、+ = 。 【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的比较、洛必达法则 (16)（本题满分 7 分） 计算二重积分 2 , 其中是由直线 = , =1, = 0所围成的平面区域。 【解析】画出二重积分，将二重积分化为累次积分即可。 积分区域如左图， 因为根号下的函数为关于的一次函数，先后积分较容易，所以： 2 = 2010 =23(2)32|010 =23 2 =2910。 【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的计算 (17)（本题满分 10分） 证 明 ： 当 0 +2+. = 0 1 1 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【解

15、析】本题可构造函数，利用函数的单调性来证明。 设() = + 2 + 0, 则() = + 2 + = + () = = () = 0 (0,) 因此，()在0,上单调增，当0 a b () 即 + 2+ + 2 + 。 【考点】高等数学函数、极限、连续基本初等函数的性质 (18)（本题满分 8 分） 在0坐标平面上， 连续曲线过点(0,1), 其上任意点(,)( 0)处的切线斜率与直线的斜率之差等于(常数 0)。 (I)求的方程； (II)当与直线 = 所围成的平面图形的面积为83时， 确定的值。 【解析】本题需要利用导数的几何意义建立微分方程，用定积分计算图形的面积。 (I)设曲线的方程为

16、 = (), 则由题设可得= , 这是一阶线性微分方程，其中() = 1,() = , 代入通解公式得 = 1( 1+ ) = ( + ) = 2+ , 又(1) = 0, 所以 = , 故曲线L的方程为 = 2 ( 0)。 (II)与直线 = ( 0)所围成平面图形如下图所示，所以： 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！ = (2 )20 = (2 2)20 =43 =83, 故 = 2。 【考点】高等数学函数、极限、连续基本初等函数的性质 高等数学常微分方程与差分方程一阶线性微分方程 (19)求幂级数(1)12+1(21)=1的收敛

17、域及和函数()。 【解析】因为幂级数缺项，按函数项技术收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数。 记() =(1)12+1(21), 则 |+1()()| = |(1)2+3(+1)(2+1)(1)12+1(2 1)| = |2, 所以|2 1, 即| 1时,所给幂级数发散；当 = 1时，所给幂级数为(1)1(21),(1)(21)均收敛，故所给幂级数的收敛域1,1. 在(1,1)内， () = (1)12+1(21)=1= 2(1)12(2)(21)=1= 21(), 而1() = (1)12121=1, 1() = (1)122=11+2,=1 所以1()

18、 1(0) = 1()0 = 11+20 = , 又1(0) = 0, 于是1() = , 同理 1 0 2 = 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1() 1(0) = 1()0 = 0 = |0 1+ 20 = 12(1+ 2), 又1(0) = 0, 所以1() = 12(1+ 2), 故() = 22 (1+ 2), (1,1). 由于所给幂级数在 = 1处都收敛，且 () = 2x2 (1+ 2)在 = 1处连续，所以()在 = 1成立，即 () = 22 (1+ 2), 1,1。 【考点】高等数学无穷级数理幂级数及其收敛域、

19、幂级数的和函数 (20)（本题满分 13 分） 设四维向量组= (1+ ,1,1,1),= (2,2+ ,2,2),=(3,3,3 + ,3),= (4,4,4,4 + ), 问为何值时，,线性相关？当,线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。 【解析】本题考查求极大线性无关组并把其他向量用极大线性无关组线性表出的方法。 个维向量线性相关 |,| = 0,记 = (,) | = 1+ 23412+ 34123 + 41234 + = ( + 10)3, 于是当 = 0或 = 10时，,线性相关， 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除

20、！我们将竭诚为您提供优质的文档！当 = 0时，为,的一个极大线性无关组，且=2,= 3,= 4. 当 = 10时，对施以初等行变换，有 = 9234183412741236 9234101000100100100010 9234110012101201 0000110010101001 = (,), 由于,为,的一个极大线性无关组，且 = , 故,为,的一个极大线性无关组，且= 。 【考点】线性代数向量向量的线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组 (21)（本题满分 13 分） 设三阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 3，向量1=(1,2,1)T,2= (0,1,1)T是线

21、性方程组 = 的两个解。 (I)求的特征值与特征向量； (II)求正交矩阵和对角矩阵，使得 = ; (III)求及( 32)6, 其中为三阶单位矩阵。 【解析】本题中未知，故用定义法求解。 (I)因为矩阵的各行元素之和均为3, 即有111 = 333 = 3111, 所以3是矩阵的特征值， = (1,1,1)是属于3的特征向量。 又1= = 02, 故1,2是矩阵属于 = 0的两个线性无关的欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！特征向量。因此矩阵的特征值是3,0,0. = 3的特征向量为(1,1,1), 其中 0为常数； = 0的特征向量

22、为1(1,2,1)+ 2(0,1,1), 其中1,2是不全为 0 的常数。 (II)因为1,2不正交，故需要正交化， = 1= (1,2,1), = 2(,)(,)= 011 36121 =12101, 单位化=16121 ,=12101 ,=13111. 那么令 = (,) = 16121326013161213 , 得 = = 0 0 3 (III)由前面知1 = , 有 = 1= 即 = 16121326013161213 0 0 3 16261612012131313 = 111111111, 又1 = 1( 32) = 32 1( 32)6= ( 32)6= (32)6 所以( 32

23、)6= (32)6 1= (32)6。 【考点】线性代数矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！特征向量的概念、性质、计算 (22)（本题满分 13 分） 设随机变量的概率密度为() = 12 1 0,14 0 2,0 其他 . 令 = 2, (,)为二维随机变量(,)的分布函数，求： (I)的概率密度(); (II)(,); (III)(12,4). 【解析】 (I)设Y的分布函数为(), 则() = = 2 当 0时，() = 0,() = 0; 当0 1时， () = = 0 + 0 =12 +14

24、 =34, () = () =38; 当0 4时， () = 1 0 + 0 =12+14, () = () =18; 当y 4时，() = 1,() = 0, 故的概率密度为() = 38 0 1,18 1 4,0 其他 . (II) = () = 2 + 4 =2001+14, 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(2) = 2() = 22 + 24 =562001+, (3) = 3() = 32 + 34 =782001+, 故(,) = (,2) = (3) (2) =781456=23。 (III) (12,4) = 12

25、, 4 = 12,2 4 = 12,2 2, = 2 12 = 1 12 =14, 【考点】概率论与数理统计多维随机变量的分布二维连续型 随机变量的概率密度、分布函数 概率论与数理统计随机变量的数字特征 随机变量的数学期望(均值)、协方差 (23)（本题满分 13分） 设总体的概率密度为(;) = 0 0,1 1 2,0 其他 . 其中是未知参数(0 1),1,2,为来自总体X的简单随机样本，记为样本值12,中小于1的个数，求： (I)的矩估计； (II)的最大似然估计。 【解析】未知参数仅一个, 所以矩估计的关键在于找出总体的矩()，似然估计的关键在于写出似然函数。 (I)() = (;) = + (1)2110+ =12 +32(1) =32, 令32 = , 解得 =32, 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！所以参数的矩估计为=32 , 其中=1=1。 (II)似然函数为() = (;) = (1 ),=1 取对数，得() = + ( )(1 ), 两边对求导，得 =, 显然 =,()最大，所以的最大似然估计为=。 【考点】概率论与数理统计参数估计矩估计法最大似然估计法