微积分中值定理详细课件

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1、中值定理研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三节)推广微积分中值定理详细 定理1 设函数 f (x)满足条件： 由上述的讨论，我们可以得到如下定理罗尔（Rolle）定理。 设 y= f (x)是一条连续光滑的曲线，并且在点A、B处的纵坐标相等，即f (a) = f (b) ，如图，那么我们容易看出，在弧 AB 上至小有一点C(, f ()，曲线在C点有水平切线。 （1）在闭区间a,b上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3） f (a) = f (b) .则在(a,b)内至少存在一点 ，使得 证 因 f (x)在闭区间a,b上

2、连续所以在a,b上一定取到最大值M和最小值m。 (1)若M = m则 f (x)在a,b上是常数； f (x) = M， x a,by o x ACBab3.1.1 罗 尔 定 理微积分中值定理详细 由于 f (x)在处取最大值，所以不论 x为正或为负，总有 当 x 0时, (2)若M m ，则M , m中至小有一个不等于 f (a) ，不妨设 f (a) M 。因此，函数 f (x)在内(a,b)某一点处取到最大值M 。我们来证 。同理，当 x 0时,从而 ，因此，任取 (a,b)都有因此必然有 微积分中值定理详细 3.1.2 拉 格 朗 日 中 值 定 理 设函数 f (x)在区间a,b上

3、的图形是一条连续光滑的曲线弧 ，显然 是连接点A(a, f (a)和点B(b, f (b)的弦 的斜率，如图 所示，容易看出，在(a,b)内至少存在一点使弧 上的点C(, f ()的切线与弦 平行。 ABAB图y o x ACBab 由上述的讨论，我们可以得到如下定理拉格朗日（Lagrange）中值定理。 微积分中值定理详细 定理2 设函数 f (x)满足条件： （1）在闭区间a,b上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； 则在(a,b)内至少存在一点 ，使得 分析：若 f (a) = f (b)即为罗尔定理，不妨设 f (a) f (b) ，证明的思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化为

4、已知的罗尔定理。 容易看出，弦 的方程为 微积分中值定理详细 证 作辅助函数 即 而曲线弧 与弦 的纵坐标之差为 AB它是 x 的函数，将其记为 ，显然函数满足罗尔定理的条件。 显然 在上a,b连续，在(a,b)可导，且 于是由罗尔定理，至少存在一点 (a,b) ，使得 微积分中值定理详细Made by Huilai Made by Huilai LiLiT 与 l 平行这样的x可能有好多微积分中值定理详细在区间上应用拉各朗日中值定理时，结论可以写成微积分中值定理详细 由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。 证 在(a,b)内任意取两点 x1，x2，不妨设 x1 x2，显然 f (x)在a,b

5、上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一点 (x1，x2) ，使得 推论2 若函数 f (x)， g(x)在(a,b)内可导，且 推论1 若函数 f (x)在(a,b)内任意点的导数 ，则 f (x)在(a,b)内是一个常数。 由条件知 ，从而f (x2) f (x1) = 0。即 f (x2) = f (x1)。由 x1，x2是(a,b)内的任意两点，于是我们就证明了 f (x)在(a,b)内恒为一个常数。 则在(a,b)内， f (x)与g(x)最多相差一个常数，即微积分中值定理详细其中c为常数。 事实上，因为 ，由推论1可知 应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等

6、式和不等式 。微积分中值定理详细例例1. 证明等式明等式证: 设由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得又故所证等式在定义域 上成立.自证:经验: 欲证时只需证在 I 上机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细 3.1.3 柯 西 中 值 定 理 定理3 设函数 f (x) 和 g(x) 满足条件： 作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理：则在(a,b)内至少存在一点，使得 证 先用反证法证明g(b) g(a)0，若不然，即有g(b) = g(a).则由罗尔定理知，至少存在一点x0 (a,b)，使得 ，此与条件(3)矛盾，故有g(b) g(a)0。 （1）在闭区间a,b上连续； （

7、2）在开区间(a,b)内可导；微积分中值定理详细 注 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当 g (x) = x时的一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。 即显然F (x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点，使得 ，即 为证明等式成立，我们作辅助函数 微积分中值定理详细三、其他未定式 二、 型未定式一、 型未定式第二节机动目录上页下页返回结束洛必达法则 第三章 微积分中值定理详细定理：设（1） （2）在点 的某邻域内（点 本身可以 除外）， 及 存在且 （3） 存在或为无穷大，则有一 两个无穷小量之比的极限 （ 型） 3.1.4 罗必达法则微积分中值

8、定理详细例例1.1.求求解: 原式注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细例例2.2.求求解: 原式 机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细例例3.3.求求解:原式例4. 求解: (1) n 为正整数的情形.原式机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细说明明: :例如,而用洛必达法则 1)1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细例如,极限不存在机动目录上页下页返回结束2)2)若若微积分中值定理详细其他未定式其他未定式: :解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例5. 求解: 原式机动

9、目录上页下页返回结束微积分中值定理详细解: 原式例6.求机动目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化微积分中值定理详细例7.求解: 利用 例5例5 目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化微积分中值定理详细内容小内容小结洛必达法则令取对数机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细思考与思考与练习1. 设是未定式极限 , 如果不存在 , 是否的极限也不存在 ? 举例说明 .极限说明目录上页下页返回结束微积分中值定理详细一、函数单调性和极值 机动目录上页下页返回结束二、曲线的凹凸与拐点3.2函数性态的研究 第三章 微积分中值定理详细3.2.13.2.1函数函数单调性和极性和极值1.

10、 1.函数的函数的单调性性若定理 1. 设函数则 在 (a,b)内单调递增 (递减) .证: 无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在(a,b) 内可导,机动目录上页下页返回结束证毕微积分中值定理详细例例1.1.确定函数确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细说明明: :1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细2 2函数的极函数的极值及其求法及其求法定义:在其中当时,(1) 则称 为

11、的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;(2) 则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .极大值点与极小值点统称为极值点 .机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细注意注意: :为极大点为极小点不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点 , 是极大值 是极小值 为极小点 , 机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细定理 2 若函数 f (x) 在点 处有极值，且 存在，则使的点称为函数f (x)的驻点微积分中值定理详细定理定理定理定理 1 11 1( ( ( (极极极极值值第一判第一判第一判第一判别别法法法法) )

12、 ) )且在空心邻域内有导数,(1) “由正变负” ,(2) “由负变正” ,机动目录上页下页返回结束(3) 符号不改变 ,则在处无极值微积分中值定理详细例例1.1.求函数求函数的极值 .解: 1) 求导数2) 求极值可疑点令得令得3) 列表判别是极大点， 其极大值为是极小点， 其极小值为机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细定理定理2 2( (极极值第二判第二判别法法) )二阶导数 , 且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .机动目录上页下页返回结束不确定微积分中值定理详细例例2.2.求函数求函数的极值 . 解: 1) 求导数2) 求驻点令得驻点3) 判别因故 为极小值 ;又故需用

13、第一判别法判别.机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细下列命题是否正确？为什么？ (1) 若 ，则 x0是 f (x)的极值点； (2) 若 f (x) 在 x0点取得极值，必有 ； 解 (1) 错误。如 f (x)x3 ，则 ，但f (x) 在 x00点无极值。 (2) 错误。反例为 ，易知 f (x) f (0) ，即x00 是 f (x)极值点，但 f (x)在x00不可导。微积分中值定理详细二、最大二、最大值与最小与最小值问题 则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1) 求在内的极值可疑点(2) 最大值最小值机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细特特别: : 当

14、 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细3.2.2 曲线的凹凸性与拐点 1 曲线的凹凸性 定义：如果一段曲线位于它上面任一点的切线上方， 我们就称这段曲线是凹曲线； 如果一段曲线位于它上面任一点的切线下方， 我们就称这段曲线是凸曲线； 微积分中值定理详细2曲线的拐点：如果一条曲线既有凹的部分也有凸的部分，3 那么这两部分的分界点叫拐点。微积分中值定理详细定理定理2.(2.(凹凸判定法凹

15、凸判定法) )(1) 在 I 内则 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内则 在 I 内图形是凸的 .设函数在区间I 上有二阶导数微积分中值定理详细例例1.1.判断曲判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在 两侧异号, 则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细例例2.2.求曲求曲线的拐点. 解:不存在因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线的拐点 .凹凸机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细例例3.3.求曲

16、求曲线的凹凸区间及拐点.解: 1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得对应3) 列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点.凹凹凸机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细特点:3.33.3函数展函数展为幂级数数以直代曲在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?x 的一次多项式3.3 .1 用多项式近似表示函数微积分中值定理详细1.1.求求 nn次近似多次近似多项式式要求:故机动目录上页下页返回结束令则微积分中值定理详细1.幂级数常用的几个函数的幂级数展开式定义1： 给定数列 则表达式 叫做无穷级数（简称为级数）， 记为或 或 。其中

17、第n 项 叫做无穷级数的通项或一般项。微积分中值定理详细如果级数的每一项都是常数，这级数称为常数项级数或数项级数；如果级数的每一项都是函数，这级数叫做函数项级数。微积分中值定理详细幂级数其中 是常数，叫做幂级数的系数 微积分中值定理详细2. f (x)的幂级数展开式函数 f (x)在点x=0处的幂级数展开式微积分中值定理详细二、几个初等函数的麦克二、几个初等函数的麦克劳林公式林公式其中机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细其中机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细类似可得其中机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细其中机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细已知其中类似可得机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细例例1. 1.计计算无理数算无理数 e e 的近似的近似值值解:令 x = 1 , 得当 n = 9 时机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细试问 为何值时,在时取得极值 ,还是极小.解: 由题意应有又取得极大值为备用用题 1. 1.求出该极值, 并指出它是极大机动目录上页下页返回结束微积分中值定理详细