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1、第六章第六章布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型第六章第六章 布莱克布莱克舒尔斯期权定价公式舒尔斯期权定价公式n n第一节 证券价格的变化过程n n第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型n n第三节 期权定价公式的实证研究和应用一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程 n n19651965年年，法法玛玛（FamaFama）提提出出了了著著名名的的效效率率市市场场假假说说。该该假假说说认认为为，投投资资者者都都力力图图利利用用可可获获得得的的信信息息获获得得更更高高的的报报酬酬；证证券券价价格格对对新新的的市市场场信信息息的的反反
2、应应是是迅迅速速而而准准确确的的，证证券券价价格格能能完完全全反反应应全全部部信信息息；市市场场竞竞争争使使证证券券价价格格从从一一个个均均衡衡水水平平过过渡渡到到另另一一个个均均衡衡水水平平，而而与与新新信信息息相相应应的的价价格格变变动动是相互独立的。是相互独立的。第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程n n效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 n n弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic ProcessMarkov Stochastic Process）来
3、表述。来表述。n n随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。可夫过程是一种特殊类型的随机过程。 n n如如果果证证券券价价格格遵遵循循马马尔尔可可夫夫过过程程，则则其其未未来来价价格格的的概率分布只取决于该证券现在的价格。概率分布只取决于该证券现在的价格。第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程二、布朗运动（一）标准布朗运动（一）标准布朗运动（一）标准布朗运动（一）标准布朗运动n n设设 代代表表一一个个小小的的时时
4、间间间间隔隔长长度度， 代代表表变变量量z z在在时时间间 内内的的变变化化，遵遵循循标标准准布布朗朗运运动动的的 具具有有两两种特征：种特征：n n特征特征1 1： 和和 的关系满足（的关系满足（6.16.1）：）： （6.16.1）n n其其中中， 代代表表从从标标准准正正态态分分布布（即即均均值值为为0 0、标标准准差差为为1.01.0的正态分布）中取的一个随机值。的正态分布）中取的一个随机值。第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程标准布朗运动标准布朗运动(2)(2)n n特征特征2 2：对于任何两个不同时间间隔，：对于任何两个不同时间间隔， 和和 的值相的值相互独立。互独立
5、。 n n考察变量考察变量z z在一段较长时间在一段较长时间T T中的变化情形，我们可中的变化情形，我们可得：得： （6.26.2）n n当当 t t 0 0时，我们就可以得到极限的标准布朗运时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：动： （6.36.3）第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程（二）普通布朗运动（二）普通布朗运动 n n我们先引入两个概念：漂移率和方差率。我们先引入两个概念：漂移率和方差率。n n标准布朗运动的漂移率为标准布朗运动的漂移率为0 0，方差率为，方差率为1.01.0。 n n我们令漂移率的期望值为我们令漂移率的期望值为a,a,方差率的期望值为方差率的期望值为
6、b b2 2，就可得到变量就可得到变量x x 的普通布朗运动：的普通布朗运动： （6.46.4）n n其中，其中，a a和和b b均为常数，均为常数，dzdz遵循标准布朗运动。遵循标准布朗运动。 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程三、伊藤过程 n n普普通通布布朗朗运运动动假假定定漂漂移移率率和和方方差差率率为为常常数数，若若把把变变量量x x的的漂漂移移率率和和方方差差率率当当作作变变量量x x和和时时间间t t的的函函数数，我我 们们 可可 以以 从从 公公 式式 (6.4)(6.4)得得 到到 伊伊 藤藤 过过 程程 （ Ito Ito ProcessProcess）：）
7、：）：）： (6.5(6.5）n n其其中中，dzdz是是一一个个标标准准布布朗朗运运动动，a a、b b是是变变量量x x和和t t的的函数，变量函数，变量x x的漂移率为的漂移率为a a，方差率为方差率为b b2 2。 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程n n证券价格的变化过程可以用漂移率为证券价格的变化过程可以用漂移率为SS、方差率方差率为为 的伊藤过程来表示：的伊藤过程来表示：n n两边同除以两边同除以S S得：得： （6.66.6） 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程n n从（从（6.66.6）可知，在短时间后，证券价格比率的变）
8、可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：化值为：n n可见，可见， 也具有正态分布特征也具有正态分布特征 (6.7)(6.7)第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程例6.1n n设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年为每年18%18%，预期收益率以连续复利计为每年，预期收益率以连续复利计为每年20%20%，其目前的市价为其目前的市价为100100元，求一周后该股票价格变化元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。值的概率分布。 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程五、伊藤引理n n若变量若变量x x遵循伊藤过程，
9、则变量遵循伊藤过程，则变量x x和和t t的函数的函数G G将遵循将遵循如下过程：如下过程： (6.8)(6.8)n n由于由于 (6.9)(6.9)n n根据伊藤引理，衍生证券的价格根据伊藤引理，衍生证券的价格G G应遵循如下过程：应遵循如下过程： (6.10)(6.10)第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程六、证券价格自然对数变化过程 n n令令 ，由于，由于n n代入式（代入式（6.106.10）: : （6.116.11）n n证券价格对数证券价格对数G G遵循普通布朗运动遵循普通布朗运动, ,且：且： 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程例例6.26.2n
10、 n设设A A股股票票价价格格的的当当前前值值为为5050元元, ,预预期期收收益益率率为为每每年年18%,18%,波波动动率率为为每每年年20%,20%,该该股股票票价价格格遵遵循循几几何何布布朗朗运运动动, ,且且该该股股票票在在6 6个个月月内内不不付付红红利利，请请问问该该股股票票6 6个个月后的价格月后的价格S ST T的概率分布。的概率分布。例例6.36.3n n请请问问在在例例6.26.2中中，A A股股票票在在6 6个个月月后后股股票票价价格格的的期期望望值和标准差等多少？值和标准差等多少？ 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程 一、布莱克一、布莱克舒尔斯微分方程
11、舒尔斯微分方程 （一）布莱克（一）布莱克（一）布莱克（一）布莱克舒尔斯微分方程的推导舒尔斯微分方程的推导舒尔斯微分方程的推导舒尔斯微分方程的推导 n n我们假设证券价格我们假设证券价格S S遵循几何布朗运动：遵循几何布朗运动：n n则：则： （6.126.12） 第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型n n假设假设f f是依赖于是依赖于S S的衍生证券的价格，则：的衍生证券的价格，则： （6.136.13） （6.146.14）n n为了消除为了消除 ，我们可以构建一个包括一单位衍生证，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和券空头和 单位标的证券多头的组合。令单位标的
12、证券多头的组合。令 代表该代表该投资组合的价值，则：投资组合的价值，则： (6.15)(6.15) 第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型n n在在 时间后：时间后： （6.166.16）n n将式（将式（6.126.12）和（）和（6.146.14）代入式（）代入式（6.166.16），可得：），可得： （6.176.17）n n在没有套利机会的条件下：在没有套利机会的条件下：n n把式（把式（6.156.15）和（）和（6.176.17）代入上式得：）代入上式得： 第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型布莱克舒尔斯微分分程n n化简为：化简为
13、： (6.18) (6.18) n n这就是著名的布莱克这就是著名的布莱克舒尔斯微分分程，它适用舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格于其价格取决于标的证券价格S S的所有衍生证券的的所有衍生证券的定价。定价。 第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型（二）风险中性定价原理（二）风险中性定价原理 n n假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。n n尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克舒尔舒尔斯微分方程
14、而作出的人为假定，但通过这种假定所斯微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。用于投资者厌恶风险的所有情况。第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型例子n n假设一种不支付红利股票目前的市价为假设一种不支付红利股票目前的市价为1010元，我们元，我们知道在知道在3 3个月后，该股票价格要么是个月后，该股票价格要么是1111元，要么是元，要么是9 9元。现在我们要找出一份元。现在我们要找出一份3 3个月期协议价格为个月期协议价格为10.510.5元的该股票欧
15、式看涨期权的价值。元的该股票欧式看涨期权的价值。n n该看涨期权的价值应为该看涨期权的价值应为0.310.31元元 第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型二、布莱克舒尔斯期权定价公式n n在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T T时时刻）的期望值为：刻）的期望值为：n n其现值为其现值为 （6.216.21）n n对数股票价格的分布为：对数股票价格的分布为： （6.226.22）n n对式（对式（6.216.21）求解：）求解： （6.236.23）第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型n n其中，其中
16、， n n我们可以从三个角度来理解这个公式的金融含义：我们可以从三个角度来理解这个公式的金融含义：n n首先，首先，N(dN(d2 2) )是在风险中性世界中是在风险中性世界中S ST T大于大于X X的概率，的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率， e e-r(T-t)-r(T-t)XNXN(d(d2 2) )是是X X的风险中性期望值的现值。的风险中性期望值的现值。 SN(dSN(d1 1)= e)= e-r(T-r(T-t)t)S ST T N(d N(d1 1) )是是S ST T的风险中性期望值的现值。的风险中性期望值的现值。第二节第二节 布莱克布
17、莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型n n其次，其次， 是复制交易策略中股票的数量，是复制交易策略中股票的数量，SNSN（d d1 1) )就是股票的市值就是股票的市值, -e, -e-r(T-t)-r(T-t)XN(dXN(d2 2) )则是复制交则是复制交易策略中负债的价值。易策略中负债的价值。 n n最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-noting Asset-or-noting call optioncall option）多头和现金或无价值看涨期权多头和现金
18、或无价值看涨期权（cash-cash-or-nothing optionor-nothing option）空头，空头，SN(dSN(d1 1) )是资产或无价值是资产或无价值看涨期权的价值，看涨期权的价值，-e-e-r(T-t)-r(T-t)XN(dXN(d2 2) )是是X X份现金或无价份现金或无价值看涨期权空头的价值。值看涨期权空头的价值。第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型n n在标的资产无收益情况下，由于在标的资产无收益情况下，由于C=cC=c，因此式因此式（6.236.23）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。n
19、n根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 ： （6.246.24）n n由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。分三种数值方法以及解析近似方法求出。第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型三、有收益资产的期权定价公式（一）有收益资产欧式期权的定价公式（一）有收益资产欧式期权的
20、定价公式（一）有收益资产欧式期权的定价公式（一）有收益资产欧式期权的定价公式n n当标的证券已知收益的现值为当标的证券已知收益的现值为I I时，我们只要用（时，我们只要用（S SI I）代替式（代替式（6.216.21）和（）和（6.226.22）中的）中的S S即可求出固即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 n n当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q q（单位为年）时，我们只要将单位为年）时，我们只要将 代替式代替式（6.216.21）和（）和（6.226.22）中的）中的S S就可求出支付连
21、续复利就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。 第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型n n对于欧式期货期权，其定价公式为：对于欧式期货期权，其定价公式为： （6.256.25） （6.266.26）n n其中：其中：第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型例6.4n n假设当前英镑的即期汇率为假设当前英镑的即期汇率为$1.5000$1.5000，美国的无风，美国的无风险连续复利年利率为险连续复利年利率为7%7%，英国的无风险连续复利年，英国的无风险连续复利年利率为利率为10%10%，英镑汇率
22、遵循几何布朗运动，其波动，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为率为10%10%，求，求6 6个月期协议价格为个月期协议价格为$1.5000$1.5000的英镑欧的英镑欧式看涨期权价格。式看涨期权价格。 n n3.053.05美分美分 。第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型（二）有收益资产美式期权的定价 1 1 1 1美式看涨期权美式看涨期权美式看涨期权美式看涨期权 n n当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，我们可用一种近似处理的方法。该方法是的可能，我们可用一种近似处理的方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期
23、权是否合理。若不合理，先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在则按欧式期权处理；若在t tn n提前执行有可能是合理提前执行有可能是合理的，则要分别计算在的，则要分别计算在T T时刻和时刻和t tn n时刻到期的欧式看时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。期权的价格。第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型例6.5 n n假设一种假设一种1 1年期的美式股票看涨期权，标的股票在年期的美式股票看涨期权，标的股票在5 5个月和个月和1111个月后各有一个除权日，每个除权日
24、的个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为红利期望值为1.01.0元，标的股票当前的市价为元，标的股票当前的市价为5050元，元，期权协议价格为期权协议价格为5050元，标的股票波动率为每年元，标的股票波动率为每年30%30%，无风险连续复利年利率为，无风险连续复利年利率为10%10%，求该期权的价值。，求该期权的价值。n n近似为近似为7.28247.2824元元 第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型 2 2美式看跌期权美式看跌期权 n n由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此
25、有收减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。它也只能通过较复杂的数值方法来求出。第二节第二节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型一、布莱克一、布莱克舒尔斯期权定价公式实证研究舒尔斯期权定价公式实证研究 n n布莱克布莱克舒尔斯期权定价公式倾向于高估方差高的期舒尔斯期权定价公式倾向于高估方差高的期权，低估方差低的期权；高估实值期权的价格，低估权，低估方差低的期权；高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格。虚值期权的价格。 第三节第三节 期权定价公式的实证研究和应用
26、期权定价公式的实证研究和应用n n造成用布莱克造成用布莱克舒尔斯期权定价公式估计的期舒尔斯期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异的原因主要有以下几权价格与市场价格存在差异的原因主要有以下几个：个： 1. 1. 1. 1. 计算错误；计算错误；计算错误；计算错误； 2. 2. 2. 2. 期权市场价格偏离均衡；期权市场价格偏离均衡；期权市场价格偏离均衡；期权市场价格偏离均衡； 3. 3. 3. 3. 使用的错误的参数；使用的错误的参数；使用的错误的参数；使用的错误的参数； 4. 4. 4. 4. 布莱克布莱克布莱克布莱克舒尔斯期权定价公式建立在众多假舒尔斯期权定价公式建立在众多假舒尔斯期权
27、定价公式建立在众多假舒尔斯期权定价公式建立在众多假 定的基础上。定的基础上。定的基础上。定的基础上。 第三节第三节 期权定价公式的实证研究和应用期权定价公式的实证研究和应用二、布莱克舒尔斯期权定价公式的应用 （一）评估组合保险成本（一）评估组合保险成本 （二）给可转换债券定价：可转换债券是一种可由（二）给可转换债券定价：可转换债券是一种可由债券持有者转换成股票的债券，因此可转换债券债券持有者转换成股票的债券，因此可转换债券相当于一份普通的公司债券和一份看涨期权的组相当于一份普通的公司债券和一份看涨期权的组合。合。（三）为认股权证估值：认股权证相当于一份看涨（三）为认股权证估值：认股权证相当于一份看涨期权期权 第三节第三节 期权定价公式的实证研究和应用期权定价公式的实证研究和应用
