《最新单变量微分学PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新单变量微分学PPT课件（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、单变量微分学单变量微分学基本内容0 微积分的创立1 导数和微分的定义2 求导规则3 函数一点行为的导数刻划4 区间上的可导函数(中值定理)5 不定式6 Taylor公式7 用导数研究函数8 割线法和切线法(Newton方法)21.导数和微分的定义微分和导数概念的意义函数增量与微分和导数连续与导数和导数的解释9微分和导数概念的意义 (I)微分的概念源自试图刻划在一个“小”时间间隔或空间上的变化量。导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的范
2、围和对其意义的理解是不断演化的。由时间到空间，由一维到高维，由有限维到无穷维。由近似到线性映射。10微分和导数概念的意义 (II)导数的物理背景: 随时间或空间的变化率(rates of change), 包括各种瞬时速度、 各种密度、浓度或强度等等。导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函数和由函数图像确定图像切线。由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。11函数增量与微分和导数设在a的一个邻域上有定义.增量定义: 称Dx=x-a为自变量x在a处的增量, D(x)=(x)-(a)为在a处的增量.微分定义: 若cR使得D(
3、x)cDx (Dx0),就称线性函数g(Dx)=cDx为D(x)(也叫在a处)的微分,记做d(x)或d. Dx也记做dx.此时称在a处可微.导数定义: 若cR使得D(x)/Dxc (Dx0), 称c为在a处的导数,记做c=(a)或d/dx(a)=D(a).小结: 若在a处可微, D(x)=d(x)+g(Dx)Dx (a(0)=0), d(x) (a)dx. d(x)也叫做函数增量D(x)的线性部分.12连续与导数和导数的解释可微与连续: 若在a处可微,则在a处连续.左导数和右导数: 右导数(a+),左导数(a-).导数与左右导数: 在a处有导数当且仅当在a处左右导数存在且相等.切线定义: 曲线
4、y=(x)在(a,(a)的切线定义为直线: y=(a)+(a)(x-a).导数(a)的几何解释: 曲线y=(x)在(a,(a)的切线的斜率.导数(a)的物理解释: 若(x)为物体在时间间隔t0,a内运动的路程, (a)为在时刻a的瞬时速度. 13习题十八 (I)1. 用定义计算下列函数在x=0点的导数: (1) (0)=0, 若x0, (x)=x2 sin 1/x; (2) (0)=0, 若x0, (x)=exp(-1/x2); (3) Dirichlet函数D(x); (4) xD(x); (5) x2D(x).2. 证明: 若(0)存在, 则n(1/n)- (0)(0) (n). 反过来成
5、立吗？3. 设(0)=0且(0)存在.计算数列: xn=(1/n2)+ (2/n2)+(n/n2)的极限.计算数列极限:(1) xn=sin(1/n2) + sin(2/n2)+sin(n/n2);(2) yn=(1+1/n2)(1+2/n2) (1+n/n2).14习题十八 (II)4. 设函数在x=0的一个邻域上有定义并且满足: xI, (x)(0). 证明: 如果 (0)存在, 则(0)=0. 若 152 求导规则复合函数求导的链式法则反函数求导公式一阶微分形式的不变性求导运算的算术性质初等函数求导公式双曲函数及其求导公式16复合函数求导的链式法则定理定理: 设在a点可微,g在(a)点可
6、微,则h=g在a点可微, 并且h(a)= g(a)(a).证明证明: 记a=(a), b= g(a). 则(1) D(x)=a Dx + a1(Dx) Dx (a1(0)=0),(2) Dg(y)=b Dy + b1(Dy) Dy (b1(0)=0).因此, Dh(x)= bD(x)+b1(D(x)D(x)=baDx + ba1(Dx)Dx + b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(aDx+a1(Dx) Dx)= baDx + g(Dx)Dx, 其中g(Dx)=ba1(Dx)+ b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(a+a1(Dx)满足g(0)=0.所以, h(a)= ba = g(a)(a).
7、#17反函数求导公式定理定理: 设C(I), g是在(I)上的反函数,这里I是区间. 若在a点可微且(a)0, 则g在b=(a)可微,并且g(b)=1/(a)=1/(g(b).证明证明: 由在(I)上有反函数,在I上严格单调,因此, gC(I). 只要证明g(b)存在就够了.而这由(g(y)-g(b)/(y-b)= (g(y)-g(b)/(g(y)-(g(b)和复合函数的极限性质就得到结论.#18一阶微分形式的不变性这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法: 设的微分是d(x). 若x=g(t)有微分dx=dg(t), 则d(g(t)=(g(t)dg(t)=(x)dx=d(x).这看似空洞的公
8、式,许多时候有意想不到作用,同类的公式在高阶导数时不再成立.19求导运算的算术性质设何g在a点可微, cR. 则+g, c, g在a点可微, 若g(a)0, /g在a点也可微. 并且(+g)(a)= (a)+g(a);(c)(a)= c (a);(g)(a)= (a)g(a)+(a)g(a);(/g)(a)= (a)g(a)-(a)g(a)/g(a)2.证明: 极限性质和导数定义的应用.#20初等函数求导公式基本初等函数求导公式:(c)=0;(x)=1; 由归纳法： (xn)=nxn-1;(exp x)=exp x;由链式法则,(ax)= ax ln a;反函数求导规则:(ln x)=1/x;
9、(loga x)=(ln a)/x;(xa)=axa-1;以及(uv)=uv (vln u +vu/u).(sin x)=cos x; 由求导运算的算术性质得到: (cos x)= -sin x; (tan x)=sec2 x; (cot x)=-csc2 x; (sec x)=tan x sec x; (csc x)=-cot x csc x. 由反函数求导规则: (arcsin x)=1/sqrt1- x2; (arccos x)=-1/sqrt1- x2; (arctan x)=1/(1+x2);(arccot x)=-1/(1+x2);(arcsec x) =1/(|x|sqrtx2-
10、1); (arccsc x)=-1/(|x|sqrtx2-1).21双曲函数及其求导公式双曲函数定义: sinh x,cosh x,tanh x,coth x,sech x, csch x. 双曲函数求导公式: (sinh x)=cosh x; (cosh x)= sinh x; (tanh x)=sech2 x; (coth x)=-csch2 x; (sec x)=-tanh x sech x; (csch x)=-coth x csch x. 反双曲函数求导公式:(arcsinh x)=1/sqrt1+x2; (arccosh x)=1/sqrtx2-1; (arctanh x)=1/(1-x2); (arccoth x)=1/(1-x2); (arcsech x) =1/(xsqrt1-x2); (arccsch x)= -1/(|x|sqrtx2+1).22 若 23 若 243 函数一点行为的导数刻划25 若 26 若 274 区间上的可导函数(中值定理)28 若 29 若 305 不定式31 若 32 若 336 Taylor公式34 若 35 若 367 用导数研究函数37 若 38 若 398 割线法和切线法(Newton方法)40 若 41 若 42习题十八1. 计算下列极限 若 43 若 44 若 45 若 46
