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1、2.3 变量间的相关变量间的相关关系关系2.3.1 变量之间的相关关系变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性关系两个变量的线性关系探究下面变量间的关系探究下面变量间的关系:1.球的体积与该球的半径;2.粮食的产量与施肥量;3.小麦的亩产量与光照;4.匀速行驶车辆的行驶距离与时间;相关关系相关关系两个两个变量的关系可能是确量的关系可能是确定的也可能是不确定的定的也可能是不确定的,当自当自变量取量取值一定一定,因因变量的取量的取值带有一定的随有一定的随机性机性时,两个两个变量之量之间的关系称的关系称为相相关关系关关系.(非确定性关系非确定性关系)函数关系函数关系-函数关系指的是自函数关系指的
2、是自变量和量和因因变量之量之间的关系是相互唯一确定的关系是相互唯一确定的的.(确定性关系确定性关系)探究探究：. 如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系吗？之间有怎样的关系吗？年龄年龄脂肪脂肪239.52717.83921.24125.9454927.5 26.35028.25329.6545631.45730.85833.530.26035.26134.6年龄年龄脂肪脂肪 从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一起，就体现出起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增
3、加人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律这一规律.而表中而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数.我们也可以我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断. 下面我下面我们以年以年龄为横横轴，脂肪含量，脂肪含量为纵轴建立直角坐建立直角坐标系，作出各个点，系，作出各个点，称称该图为散点散点图。如图：如图：O202530 35 4045 505560 65年龄脂肪含量510152025303540从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，从刚才的散点图发现：年龄越大，
4、体内脂肪含量越高，点的点的位置散布在从左下角到右上角的区域位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成。称它们成正相关正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示：但有的两个变量的相关，如下图所示：如高原含氧量与海拔高度如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越海拔高度越高，含氧量越少。少。作出散点作出散点图发现，它，它们散散布在从左上角到右下角的区布在从左上角到右下角的区域内。又如汽域内。又如汽车的的载重和汽重和汽车每消耗每消耗1升汽油所行使的升汽油所行使的平均路程，称它平均路程，称它们成成负相关相关.O正相关正相关: 散点图中的点散布在散点图中的
5、点散布在从左下角到右上角从左下角到右上角的区域的区域负相关负相关: 散点图中的点散布在散点图中的点散布在从左上角到右下角从左上角到右下角的区域的区域.线性相关线性相关: 散点图中的点散点图中的点均匀地分布在一条直线均匀地分布在一条直线的周围的周围.我们再观察它的图像发现我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附这些点大致分布在一条直线附 近近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系关关系,这条直线叫做这条直线叫做回归直线回归直线，该直线叫，
6、该直线叫回归方程回归方程。那么，我那么，我们该怎怎样来求出来求出这个回个回归方方程？程？同学同学们展开展开讨论，能得出哪些具体的能得出哪些具体的方案？方案？202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540.方案方案1、先画出一条直、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，量出各点与它的距离，再移再移动直直线，到达一个使距离的和最小，到达一个使距离的和最小时，测出它出它的斜率和截距，得回的斜率和截距，得回归方程。方程。202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540如图如图 ：.方案方案2、在、在图中中
7、选两点作直两点作直线，使直，使直线两两侧的点的个的点的个数基本相同。数基本相同。202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540方案方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而得回归方程。和截距。而得回归方程。 如图如图我我们还可以找到可以找到更多的方法，但更多的方法，但这些方法都可行些方法都可行吗?科学科学吗？准确准确吗？怎？怎样的的方法是最好的？方法是最好的？202530 35 4045 50 55 6
8、0 65年龄脂肪含量0510152025303540我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人们经过长期我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人们经过长期的实践与研究，已经找到了计算的实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距回归方程的斜率与截距的一的一般公式般公式:以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即单：即各点到该直线的距离的平方和最小各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫这一方法叫最最小二乘法小二乘法。（书本。（书本P8889）其中，b是回归方程的斜率，a是截距回归方程为回归方程为:例：例：假设某设备的使用年限
9、x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：使用年限使用年限x(年年)23456维修费用维修费用y(万元万元)2.23.85.56.57.0由资料知 y对 x呈线性关系，试求：(2)估计使用年限是10年时，维修费用估计是多少？解解：(1) 制表：制表：i12345合计合计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xi24916253690xi yi4.411.422.032.542.0 112.3(2) 回归直线方程是(2)估计使用年限是10年时，维修费用估计是多少？答：估计使用10年时，维修费用估计是12.4万元。1.230.08练习练习:2两变量中具有相关关系的是（两
10、变量中具有相关关系的是（ ）正方体的体积与边长正方体的体积与边长 人的身高与体重人的身高与体重匀速行驶车辆的行驶位移与时间匀速行驶车辆的行驶位移与时间 球的半径与体积球的半径与体积3线性回归方程表示的直线线性回归方程表示的直线 必定过（）必定过（）.4 4设有一个回归方程设有一个回归方程， 变量变量x 增加增加1 1个单位长度时，个单位长度时，变量变量y y增加增加（）（）平均增加平均增加2.5个单位长度个单位长度 平均增加平均增加0.5个单位长度个单位长度平均减少平均减少2.5个单位长度个单位长度 平均减少平均减少0.5个单位长度个单位长度5对于回归方程对于回归方程 当当x=28时时,y的估计值是的估计值是BDC390
