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1、医用高等数学知识概要医用高等数学知识概要高等数学复习1 1）函数的极限）函数的极限2 2）无穷小）无穷小3 3）函数的连续性）函数的连续性一、极限与连续一、极限与连续高等数学复习左右极限左右极限求极限的常用方法求极限的常用方法极限存在的极限存在的充要条件充要条件无穷小的比较无穷小的比较数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质无穷小无穷小高等数学复习左极限左极限右极限右极限高等数学复习定义定义: :无穷小的比较无穷小的比较高等数学复习定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)等价无穷小的性质等价无穷小的性质高等数学复习(1)(2)两个重要极限两个重要极限高
2、等数学复习洛必达法则洛必达法则高等数学复习1)1)2)2)高等数学复习3)3)4)4)高等数学复习5)5)6)6)高等数学复习左右连续左右连续间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类高等数学复习7)7)讨论讨论在在x x0 0和和x x1 1处的连续性。处的连续性。高等数学复习8)8)设设要使要使f(x)f(x)在在x x0 0处连续，求处连续，求a a的值。的值。高等数学复习求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系二阶导数
3、二阶导数函数的导数高等数学复习1 1、导数的定义、导数的定义高等数学复习2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:高等数学复习2 2、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）高等数学复习3 3、求导法则、求导法则(1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则反函数的求导法则高等数学复习(3) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则(4) 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围: :高等数学复
4、习5 5、导数与微分的关系、导数与微分的关系定理定理6 6、 微分的求法微分的求法求法求法: :计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.高等数学复习基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式高等数学复习 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则7 7、 微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性高等数学复习典型例题例例1 1已知，求，存在，则在处可导 ？例例2 2已知高等数学复习例例3 3高等数学复习高等数学复习LagrangeLagrange中值中值定理定理单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点,
5、,函数函数图形的描绘图形的描绘. .导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用高等数学复习拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理高等数学复习导数的应用导数的应用定理定理(1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法高等数学复习定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .高等数学复习定理定理( (第
6、一充分条件第一充分条件) )定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )高等数学复习求极值的步骤求极值的步骤: :高等数学复习步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个那个小那个就是最小值就是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题高等数学复习实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :1)建立目标函
7、数建立目标函数;2)求最值求最值;(4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义高等数学复习高等数学复习定理定理1 1高等数学复习利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步(5) 函数图形的描绘函数图形的描绘高等数学复习第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步高等数学复习例例7 7解解奇函数奇函数高等数学复习高等数学复习列表如下列表如下:高等数学复习极大值极大值拐点拐点极小值极小值高等数学复习作图作图高等数学复习积分法积分法原原 函函 数数基基本本积积分分表表第一换元法
8、第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分不定积分不定积分高等数学复习1 1、原函数、原函数定义定义原函数存在定理原函数存在定理即：即：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数高等数学复习不定积分不定积分(1) 定定义义高等数学复习(2) 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.(3) 不定积分的性质不定积分的性质高等数学复习3 3、基本积分表、基本积分表是常数是常数)高等数学复习高等数学复习5 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法第一类换元
9、公式（第一类换元公式（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.高等数学复习常见类型常见类型:高等数学复习6 6、第二类换元法、第二类换元法第二类换元公式第二类换元公式高等数学复习常用代换常用代换:高等数学复习7 7、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式8.8.选择选择u u的有效方法的有效方法: :LIATELIATE选择法选择法L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数；A-代数函数；代数函数；T-三角函数；三角函数；E-指数函数；指数函数； 哪个在前哪个选作哪个在前哪个选作
10、u.高等数学复习9 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法高等数学复习典型例题典型例题例例1 1例例2 2例例3 3例例4 4高等数学复习例例5 5例例8 8例例7 7例例6 6高等数学复习高等数学复习存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式定积分定积分高等数学复习变上限函数导数公式变上限函数导数公式定理定理1高等数学复习
11、定积分的计算法定积分的计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式高等数学复习定积分应用的常用公式定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形高等数学复习广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分高等数学复习例例1 1典型例题典型例题例例2 2已知已知求求f（0）高等数学复习例例3 3例例4 4设F(x)= ，其中是连续函数，则 高等数学复习例例5 5求由曲线和所围平面图形的面积. 高等数学复习微分方程微分方程; ; 微分方程的阶微分方程的阶; ; 微分方程的解微分方程的解; ;通解通解; ; 初
12、始条件初始条件; ;特解特解; ; 初值问题初值问题. .微分方程微分方程高等数学复习的方程的方程, ,称为可分离变量的微称为可分离变量的微分方程分方程. .1）可分离变量的微分方程）可分离变量的微分方程高等数学复习例例1. 1. 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分高等数学复习一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的上方程称为齐次的. .上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的. .2）一阶线性微分方程）一阶线性微分方程高等数学复习齐次方程的通解为齐次方程的通解为1. 1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法
13、( (使用分离变量法使用分离变量法) )高等数学复习解：解：1）先分离变量）先分离变量例例2 22）两边积分）两边积分高等数学复习解：解：1）先求）先求 的通解的通解例例3 32）常数变异法，令）常数变异法，令3）代入原方程，得）代入原方程，得高等数学复习概率的基本公式概率的基本公式一、加法公式一、加法公式定理定理1. 1. 设设A; B A; B 为任意两个事件为任意两个事件, ,则则: : P(A+B) = P(A) +P(B) P(AB) P(A+B) = P(A) +P(B) P(AB) ABAB高等数学复习二、乘法公式二、乘法公式1.1.条件概率条件概率定义定义: :事件事件A A和
14、和B,B,若若P(A)0,P(A)0,则下式称为在则下式称为在事件事件A A 发生的条件下发生的条件下B B发生的概率发生的概率或或B BA A高等数学复习三、全概率公式及三、全概率公式及BayesBayes公式公式完备事件组完备事件组: :事件事件A A1 1 , , A A2 2 , , , , , A An n两两互不相容两两互不相容, ,且且全概率公式全概率公式设事件设事件A A1 1 , , A A2 2 , , , , , A An n为一完备事件组为一完备事件组, ,则则对任一事件对任一事件B,B,都有都有: :高等数学复习BayesBayes公式（逆概率公式）公式（逆概率公式）
15、另：另：高等数学复习 患结核病的人胸透被诊断为结核病的概率患结核病的人胸透被诊断为结核病的概率为为0.950.95，而未患病的人误诊的概率为，而未患病的人误诊的概率为0.0020.002，又知某城镇居民的结核病患病率为又知某城镇居民的结核病患病率为0.0010.001，现，现有一人经胸透被诊断为结核病，问确实患有有一人经胸透被诊断为结核病，问确实患有结核病的概率？结核病的概率？解：解：设设A A：被诊断为结核病；：被诊断为结核病；B B：确实患有结核病：确实患有结核病 P(B|A)P(B|A)例例1 1已知已知P(A|B)=0.95, P(A|B)=0.95, =0.002,P(B)=0.00
16、1.=0.002,P(B)=0.001.求求高等数学复习 某医院采用某医院采用A A、B B、C C、D D四种方法医四种方法医治某种癌症，在该癌症患者中采用这四治某种癌症，在该癌症患者中采用这四种方案的百分比分别为种方案的百分比分别为0.10.1、0.20.2、0.250.25、0.450.45，其有效率分别为，其有效率分别为0.850.85、0.800.80、0.700.70、0.6.0.6.问问:(1):(1)到该医院接受治疗的患者到该医院接受治疗的患者, , 治疗治疗有效的概率为多少？有效的概率为多少？（2 2）如果一患者经治疗而收效，最有可）如果一患者经治疗而收效，最有可能接受了哪种
17、方案的治疗？能接受了哪种方案的治疗？ 例例2 2高等数学复习为为 X 的的分布函数分布函数. 设设 X 为为 r.v., x 是任意实数是任意实数,称函数称函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义定义高等数学复习连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数概率密度函数概率密度函数: : 或者或者 高等数学复习 已知分布函数已知分布函数求求:p(4); p(1):p(4); p(1)及密度函数及密度函数f(x)f(x) 例3高等数学复习 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)高等数学复习标准正态分布标准正态分布 XN(0,1)0x-x高等数学复习某医院每周一次从血液中心补充其血液设某医院每周一次从血液中心补充其血液设备备. 假设每周消耗假设每周消耗X单位单位, X的概率密度是的概率密度是 医院的储备规模应该有多大医院的储备规模应该有多大, 才能保证一才能保证一周内血液被用完的可能性小于周内血液被用完的可能性小于0.01?例4高等数学复习
