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1、西南交通大学研究生 20152016 学年第(1)学期考试试卷 西南交通大学研究生 20152016 学年第(1)学期考试试卷 课程代码 课程名称 数理统计与多元统计 考试时间 150 分钟分钟 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总成绩 得分 阅卷教师签字： 11设129,XXXL是来自正态总体X的简单随机样本，其中 1161()6YXX=+L，27891()3YXXX=+,922271()2iiSXY=，122()YYZS= 试推断统计量Z的分布。 （10 分） （10 分） 解解：因为129,XXXL相互独立且服从正态分布2( ,)N ，则有 26111( ,)66iiYXN=，292
2、71( ,)33iiYXN=-（2 分） 且相互独立， 22212(0,)(0,)632YYNN+=， 即12(0,1)/2YYN- （3 分） 又因2S为样本方差，所以由定理得 2222(2)S，-（2 分） 且2S与1Y与2Y相互独立，故与12YY也是相互独立的，于是由t分布定义知 1212222()/2 (2)2/2YYYYZtSS=-（3 分） 即统计量Z服从自由度为 2 的t分布。 2. 设某种元件的使用寿命X的概率密度为 2()2( ; )0xexf xx= 其中0为未知参数，又设12,nx xxL是X的一组样本观测值，(1)试求参数的极大似然估计量极；(2)求极大似然估计 极的方
3、差。 （15 分） （15 分） 解解：(1)由X的概率密度函数，得似然函数 112()112()22( )( ; )2=22(1,2, )inniiiinnxiiixxnnniLf xeeexin=+=L-（2 分） 取对数得： 1ln ( )ln222(1,2, )niiiLnxnxin=+=L-（2 分） 再对求导得：ln ( )20(1,2, )idLnxind=L- （1 分） 即( )L是单调增加的，虽然越大则( )L越大，但必须满足条件 (1,2, )ixin=L 所以当取为12,nx xxL中最小值(1)x时，( )L取得满足条件的最大值，所以的最大似然估计值为 (1)12mi
4、n ,nxx xx=L-（2 分） （2）2()1( )0xexF xx =-（1 分） 2 ()(1)1( )1 (1( )0n xnexFxF xx = =-（1 分） 2 ()(1)(1)( )2( )0n xdFxnexfxdxx=-（1 分） 2 ()(1)122n xEXx nedxn+=+-（2 分） 22 ()2(1)122n xE Xx nedxn+=+-（2 分） 22(1)(1)(1)2(21)114nD XE XEXnnn=+-（1 分） 3. 假设 0.50，1.25，0.80，2.00 是来自总体X的简单随机样本值，已知lnYX=服从正态分布( ,1)N。 （1）试
5、求的置信度为0.95的置信区间； （2）利用上述结果求X的数学期望()E X的置信度为0.95的置信区间。 （15 分）（15 分） 解解： （1）因为 ln( ,1)YXN=，则 YXe=，其数学期望()E X为： 22()()2211()()22yyyYybE XE eeedyedy+= 22()1(1)122221122yyyedyeedye+= （2）因为Y的方差为已知，即( )1D Y =，置信度为0.95时，样本均值1( ,)YNn，则有 0.05/21 0.050.951/YPzn= =，即 0.05/20.05/20.05/20.95zzzP YP YYnnn=+， 而由总体X
6、的简单随机样本值计算 0.50，1.25，0.80，2.00 得 11ln0.5ln1.25ln0.8ln2ln1044y =+=，又上分位点0.05/21.96z= 故得所求的置信度为0.95的置信区间为 0.05/2111()(01.96)(01.96)( 0.98,0.98)244yz= （3）由于函数ye的严格递增性质，可得 0.05/20.05/20.05/20.95zzzP YP YYnnn=+ 0.05/ 20.05/ 20.05/ 20.05/ 2111222zzzzYYYYnnnnP eeeP eee+= 即得()()YbE XE e=的置信度为0.95的置信区间为 0.05
7、/ 20.05/ 2110.481.4822(,)(,)zzyynneeee+= 4.4.设总体1216XN,XXX?（ ,4）,为来自总体的样本，考虑检验问题：01:0:0HuHu=。取0H的拒绝域分别为： (1)121.65WX= ； (2) 21.522.12WX= 计算这两种拒绝域下，此检验犯第一类错误的概率。 （10 分） （10 分） 解：(1) Xn由于服从标准正态分布，有由于 =2=16=02nX，所以?服从标准正态分布 第一类错误的概率=21.65|0PX =( 1.65)0.05= = (2) 第一类错误的概率 =1.522.12|0(2.12)(1.5)0.9830.93
8、319PX= = 5.5.一家公司产品销售在 30 地区设有销售分公司，为研究产品销售（y）与该公司的销售价格(x1)，各地区的年平均收入(x2)，广告费用(x3)之间的关系，收集到 30 个地区的有关数据，得到下列回归结果 方差来源 自由度 平方和 均方 F统计量 显著性 方差来源 自由度 平方和 均方 F统计量 显著性 回归 A B 4008924.7 C 显著 残差 D E F 总的 29 13458586.7 参数估计表 估计值 标准误差 t-统计量 显著性 参数估计表 估计值 标准误差 t-统计量 显著性 截距 7589.1025 2445.0213 3.1039 显著 x1 的系数
9、 -117.8861 31.8974 G 显著 x2的系数 80.6107 14.7676 H 显著 x3的系数 0.5021 0.1259 3.9814 显著 （1） 求出方差分析表和参数估计表中的各字母的值。 （2）计算样本复相关系数，和误差方差2的无偏估计。 （15 分） （15 分） （2） 212026774.1=0.893613458586.7R 样本复相关系数=R=0.8936 0.957 误差方差2的无偏估计=55069.7 7、已知两正态总体 G1和 G2，而且 121224116219 = = = = ， 其先验概率分别为 q1=q2=0.5,误判的代价为4(21), (1
10、2)Ce Ce= 试用 Bayes 判别法决定样本 3,5TX = （）属于哪一个总体？ （10 分） 1112122112123321( )( )exp()()exp(424)( )39124211(),()411624283(1|2),()exp(2)5(2|1)35TBayesf xW xxxxfxq Cde W xdeq CX=+ =+= = =%3、由判别知其中，2G 8表中给出了五个样本两两之间的欧氏距离，根据系统聚类法， （1）类间用最短距离,进行聚类分析，并画出聚类图。 （2）类间用最长距离,进行聚类分析，并画出聚类图。 （10 分） （10 分） （1）类间用最短距离,进行聚
11、类分析，并画出聚类图 Step1： （4）与（5）和并为类（6） Step2： （1）与（2）和并为类（7） 欧氏距离 欧氏距离 1 2 3 4 5 1 0 8.06 17.81 26.91 30.41 2 8.06 0 25.46 34.67 38.21 3 17.81 25.46 0 9.22 12.82 4 26.91 34.67 9.22 0 3.63 5 30.41 38.21 12.82 3.63 0 1 2 3 6 1 0 8.06 17.81 26.91 2 8.06 0 25.46 34.67 3 17.81 25.46 0 9.22 6 30.41 38.21 9.22 0 7 3 6 7 0 17.81 26.91 3 17.81 0 9.22 6 26.91 9.22 0 Step2： （3）与（7）和并为类（8） 8 6 8 0 9.22 6 9.22 0
