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1、 2.1自变量趋向有限(yuxin)值时函数的极限第1页/共52页第一页，共53页。1、定义、定义(dngy)：第2页/共52页第二页，共53页。2.几何几何(j h)解解释释:第3页/共52页第三页，共53页。例例2例例3第4页/共52页第四页，共53页。例例3证证第5页/共52页第五页，共53页。3.单侧极限单侧极限(jxin):例如例如(lr),第6页/共52页第六页，共53页。v单侧极限(jxin)e 0 d 0 当x0dxx0 有|f(x)A|0 d 0 当 0|xx0|d 有|f(x)A|e 若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫做函数f(x)当xx0时的左极限 记为
2、 或f(x0)=A . 第7页/共52页第七页，共53页。例例7第8页/共52页第八页，共53页。播放播放(b fn)2.2 自变量趋向(qxing)无穷大时函数的极限第9页/共52页第九页，共53页。1、定义、定义(dngy)：第10页/共52页第十页，共53页。2、另两种情形、另两种情形(qng xing):第11页/共52页第十一页，共53页。3、几何、几何(j h)解释解释:第12页/共52页第十二页，共53页。2.3 函数极限(jxin)的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性第13页/共52页第十三页，共53页。定理定理(dngl)1(dngl)1( (保号性保号性) )定理定理(d
3、ngl)23.不等式性质不等式性质(xngzh)第14页/共52页第十四页，共53页。推论推论(tuln)推论推论(tuln)(tuln)第15页/共52页第十五页，共53页。4.子列收敛性子列收敛性(函数极限函数极限(jxin)与数列极限与数列极限(jxin)的关系的关系)定义定义(dngy)定理定理(dngl)第16页/共52页第十六页，共53页。例如例如(lr),函数函数(hnsh)极限与数列极限极限与数列极限的关系的关系函数极限存在函数极限存在(cnzi)(cnzi)的充要条件是它的任何子的充要条件是它的任何子列的极限都存在列的极限都存在(cnzi),(cnzi),且相等且相等. .第
4、17页/共52页第十七页，共53页。例例7第18页/共52页第十八页，共53页。(1) 定义定义(dngy):极限极限(jxin)为零的变量称为无穷小为零的变量称为无穷小.2.4 无穷无穷(wqing)小量与无穷小量与无穷(wqing)大量大量1. 无穷小无穷小第19页/共52页第十九页，共53页。例如例如(lr),注意注意(zh (zh y)y)（1）无穷小是变量）无穷小是变量(binling),不能与不能与很小的数混淆很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.第20页/共52页第二十页，共53页。(2) 无穷小与函数无穷小与函数(hnsh)极限极限的关
5、系的关系:证证必要性必要性充分性充分性第21页/共52页第二十一页，共53页。(3) 无穷小的运算无穷小的运算(yn sun)性质性质:定理定理2 在同一在同一(tngy)过程中过程中,有限个无穷小的代有限个无穷小的代数和仍是无穷小数和仍是无穷小.注意无穷多个注意无穷多个(du )(du )无穷小的代数和未必是无无穷小的代数和未必是无穷小穷小. .定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推
6、论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.第22页/共52页第二十二页，共53页。(4) 无穷小的比较(bjio)例如例如(lr),极限极限(jxin)不同不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.不可比不可比.观观察察各各极极限限第23页/共52页第二十三页，共53页。定义定义(dngy):(dngy):两个重要两个重要(zhngyo)(zhngyo)极限式极限式第24页/共52页第二十四页，共53页。第25页/共52页第二十五页，共53页。例例1 1解解第26页/共52页第二十六页，共53页。例例解解第27页/共52页第二十七页，共53
7、页。(5) 等价(dngji)无穷小代换定理定理(dngl)(dngl)( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理(dngl)(dngl)第28页/共52页第二十八页，共53页。例例解解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换(di hun)，而不会改变原式的极限，而不会改变原式的极限第29页/共52页第二十九页，共53页。不能滥用不能滥用(lnyng)等价无穷小代换等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换切记，只可对函数的因子作等价无穷
8、小代换(di hun)(di hun)，对于代数和中各无穷小不能分别，对于代数和中各无穷小不能分别代换代换(di hun).(di hun).注意注意(zh y)例例第30页/共52页第三十页，共53页。例例解解解解错错第31页/共52页第三十一页，共53页。2. 无穷大绝对值无限增大绝对值无限增大(zn d)的变量称为无穷大的变量称为无穷大.第32页/共52页第三十二页，共53页。第33页/共52页第三十三页，共53页。3. 无穷小与无穷大的关系(gun x)定理定理4 4 在同一在同一(tngy)(tngy)过程中过程中, ,无穷大的倒数为无无穷大的倒数为无穷小穷小; ;恒不为零的无穷小的
9、倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .第34页/共52页第三十四页，共53页。2.5 极限运算(yn sun)法则定理定理(dngl)第35页/共52页第三十五页，共53页。推论推论(tuln)(tuln)1 1常数因子常数因子(ynz)可以提到极限记号外面可以提到极限记号外面.推论推论(tuln)(tuln)2 2第36页/共52页第三十六页，共53页。求极限(jxin)方法举例例例1 1第37页/共52页第三十七页，共53页。Ex:Ex:解解(无穷小因子无穷小因子(ynz)分分出法出法)第38页/共52页第三十八页，共53页。一、极限(jxin)存在准则1.夹逼准则夹逼准则(zh
10、nz)2.6 极限存在极限存在(cnzi)准则与两个准则与两个重要极限重要极限第39页/共52页第三十九页，共53页。准则准则(zhnz) 和准则和准则(zhnz) 称为夹逼准则称为夹逼准则(zhnz).第40页/共52页第四十页，共53页。2.单调单调(dndio)有界准则有界准则单调单调(dndio)增增加加单调单调(dndio)减少减少单调数列单调数列几何解释几何解释:第41页/共52页第四十一页，共53页。二、两个重要(zhngyo)极限(1)(2)定义定义(dngy)等价等价(dngji)无穷无穷小小第42页/共52页第四十二页，共53页。感谢您的观看(gunkn)！第52页/共52页第五十二页，共53页。内容(nirng)总结2.1自变量趋向有限值时函数的极限。2.2 自变量趋向无穷大时函数的极限。4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)。函数极限与数列极限的关系。2.4 无穷小量与无穷大量。（2）零是可以作为(zuwi)无穷小的唯一的数.。(3) 无穷小的运算性质:。注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.。极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.。定理(等价无穷小代换定理)。3. 无穷小与无穷大的关系。第51页/共52页第五十三页，共53页。
