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1、5.2 5.2 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化 5.2.1. 相似矩阵的基本概念相似矩阵的基本概念 5.2.2. 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化 5.2.3. 可相似对角化矩阵的应用可相似对角化矩阵的应用5.2.1 5.2.1 相似矩阵的基本概念相似矩阵的基本概念定义定义矩阵相似是一种矩阵相似是一种等价关系等价关系.定理定理相似矩阵有相似矩阵有相同的相同的特征多项式、特征多项式、相同相同特征特征值、值、相同相同的迹、的迹、相同相同的行列式、的行列式、相同相同的秩的秩.证明证明A与与B特征多项式相同特征多项式相同, 因而特征值相同因而特征值相同.相似矩阵的性质：相似矩阵的性质：例例因此，因此
2、，x=0，y=-2.解解通过计算，可知通过计算，可知 2 是是 A 的一个特征值的一个特征值(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.关于相似矩阵的一些其它性质：关于相似矩阵的一些其它性质：(2) 若若A与与B相似，则相似，则kA与与kB相似相似.与与单位矩阵相似单位矩阵相似的的n阶矩阵只有单位阵阶矩阵只有单位阵I本身本身.与与数量矩阵数量矩阵kI 相似的相似的n阶方阵只有数量阵阶方阵只有数量阵kI本身本身.怎样方便地计算方阵怎样方便地计算方阵 A 的幂次的幂次? ?容易容易得到得到问题：问题： (
3、1)(1) 什么样的矩阵可以与对角矩阵相似？什么样的矩阵可以与对角矩阵相似？(2)(2) 怎样求出对角矩阵？怎样求出对角矩阵？(3)(3) 怎样求可逆阵怎样求可逆阵 P P ？定理定理5.2.2 5.2.2 矩阵的矩阵的相似对角化相似对角化证证定理定理 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵相似的与对角矩阵相似的充分必要条件充分必要条件是是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.证证(1) 若若 A 可可相相似似对对角角化化，则则 的的主主对对角角元元是是 A 的的全部特征值全部特征值. (2) 若若 A 可可相似相似对角化，则对角化，则由由 A 的的 n 个线性无关的个线性无关的
4、特征向量特征向量 p1, p2, , pn 可构造可构造 P = (p1, p2, , pn )，使使 P 1AP = . 若不记特征值若不记特征值 的排列顺序，则的排列顺序，则 唯一，称唯一，称 为为 A 的的 相似标准形相似标准形.显然显然 P 不唯一不唯一.注意：注意：例例 设矩阵设矩阵解解定理定理 矩阵矩阵 A 不同特征值的特征向量线性无关不同特征值的特征向量线性无关 .证证推论推论 如果矩阵如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则的特征值都是单特征根，则 A 与对角矩阵相似与对角矩阵相似 .证证(逆命题不一定成立逆命题不一定成立)A可相似对角化可相似对角化. .A不可不可相似相似对角化
5、对角化.定理定理定理定理 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵相似与对角矩阵相似例例 下列矩阵能否与对角矩阵相似下列矩阵能否与对角矩阵相似 . A diag ( 1 , -1 , 3 ).解解B diag ( 0 , 1 , 1 ).例例解解设设 求求x与与y应应满足的条件满足的条件 .解解A能否对角化能否对角化？若能对角若能对角例例解解基础解系基础解系所以所以 可对角化可对角化.注意注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要要相互对应相互对应把把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义
6、化，而且在理论和应用上都有意义.1. 1. 由特征值、特征向量反求矩阵由特征值、特征向量反求矩阵例例 已知方阵已知方阵A的特征值是的特征值是相应的特征向量是相应的特征向量是求矩阵求矩阵A. .5.2.3 5.2.3 可可相似对角化矩阵的应用相似对角化矩阵的应用因为特征向量是因为特征向量是3维向量，所以矩阵维向量，所以矩阵A是是3阶方阵阶方阵.因为因为A有有3个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以A可以对角化可以对角化.解解即即存在可逆矩阵存在可逆矩阵P, 使得使得其中其中求得求得2.2.求方阵的幂求方阵的幂3. 3. 判断矩阵是否相似判断矩阵是否相似解解的的特征值为特征值为令令3阶阶矩阵矩阵B有有3个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以B可以对角化可以对角化.例例 已知已知3 3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1，2，3，设设问问矩阵矩阵B能否与对角阵相似？能否与对角阵相似？例例 设设 证证例例 设设 A 是是 3 阶矩阵且阶矩阵且 I + A , 3IA ,I3A 均不可均不可逆逆 .证明证明 ： 证证
