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1、专题七十大解题方法专题七十大解题方法数学的解题方法数学的解题方法, ,最具普遍性的是分析法与综合法最具普遍性的是分析法与综合法, ,其次为反证法、数其次为反证法、数学归纳法等学归纳法等, ,在这些方法之外在这些方法之外, ,还有一些虽然不具备普遍性还有一些虽然不具备普遍性, ,但在某个但在某个范围内应用广泛的方法范围内应用广泛的方法, ,这些方法对提高解题能力也是具有不可或缺这些方法对提高解题能力也是具有不可或缺的作用的作用, ,下面作简要阐述下面作简要阐述. .方法一方法一特值法特值法思路点拨思路点拨: :选取不同的自变量值计算函数值选取不同的自变量值计算函数值, ,结合图象逐个排除结合图象
2、逐个排除. .方法总结方法总结 特值法在解选择题、一般的探索性问题中具有广泛的作用特值法在解选择题、一般的探索性问题中具有广泛的作用. .选择题中可以利用特值法排除选项选择题中可以利用特值法排除选项, ,一般的探索性问题中可以利用特一般的探索性问题中可以利用特值法发现一般规律值法发现一般规律, ,指明解题方向指明解题方向. .方法二方法二方程法方程法思路点拨思路点拨: :(1)(1)已知与已知与sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1联立联立, ,求出求出sin ,cossin ,cos 的值的值; ;思路点拨思路点拨: :(2)(2)根据已知列出方程求出根据已知列出方程求出a,ba,
3、b. .方法总结方法总结 方程法在数学中的应用是最为广泛的方法之一方程法在数学中的应用是最为广泛的方法之一, ,只要是涉只要是涉及未知元素求解的问题及未知元素求解的问题, ,大多都可以使用方程法加以解决大多都可以使用方程法加以解决. .方法三方法三常值代换法常值代换法【例【例3 3】 已知已知tan =3,tan =3,则则sin cossin cos +cos +cos2 2=. .方法总结方法总结 把已知的整体等于常数的式子代入求解目标把已知的整体等于常数的式子代入求解目标, ,达到沟通已达到沟通已知和求解的目的知和求解的目的. .在使用基本不等式求最值、三角函数求值等问题中在使用基本不等
4、式求最值、三角函数求值等问题中很有用处很有用处. .方法四方法四待定系数法待定系数法思路点拨思路点拨: :(1)(1)确定确定a,ba,b满足的方程解之满足的方程解之; ;答案答案: :(1)C (1)C (2)(2)若二次函数的图象过点若二次函数的图象过点(4,-3),(4,-3),且且x=3x=3时二次函数有最大值时二次函数有最大值-1,-1,则此则此函数的解析式为函数的解析式为y=y=. .思路点拨思路点拨: :(2)(2)设出函数解析式设出函数解析式, ,利用已知条件确定解析式中系数利用已知条件确定解析式中系数. .解析解析: :(2)(2)设函数的解析式为设函数的解析式为y=a(x-
5、3)y=a(x-3)2 2-1,-1,把点把点(4,-3)(4,-3)代入得代入得-3=a-1,-3=a-1,解得解得a=-2,a=-2,故所求的二次函数的解析式是故所求的二次函数的解析式是y=-2xy=-2x2 2+12x-19.+12x-19.答案答案: :(2)-2x(2)-2x2 2+12x-19+12x-19方法总结方法总结 在已知求解目标具有固定形式时在已知求解目标具有固定形式时( (如椭圆方程的形式如椭圆方程的形式),),可可以使用字母设出其形式以使用字母设出其形式, ,根据已知条件根据已知条件, ,得出关于系数的方程求得系数得出关于系数的方程求得系数, ,待定系数法也可以认为是
6、方程待定系数法也可以认为是方程. .方法五方法五换元法换元法思路点拨思路点拨: :(1)(1)令令t=cost=cos x, x,把求解的函数化为关于把求解的函数化为关于t t的二次函数的二次函数; ;【例【例5 5】(1)(2015(1)(2015内蒙古包头二模内蒙古包头二模) )函数函数y=cosy=cos 2x+2cos x 2x+2cos x的最小值是的最小值是. .思路点拨思路点拨: :(2)(2)变换已知为平方和的形式后进行三角换元变换已知为平方和的形式后进行三角换元. .(2)(2015(2)(2015河北唐山一模河北唐山一模) )已知已知x,yx,yR R, ,满足满足x x2
7、 2+2xy+4y+2xy+4y2 2=6,=6,则则z=xz=x2 2+4y+4y2 2的取值范围为的取值范围为. .答案答案: :(2)4,12(2)4,12方法总结方法总结 换元法有很多种换元法有很多种, ,常用的有一般换元常用的有一般换元( (即用一个简单的量代即用一个简单的量代换一个复杂的量换一个复杂的量) )和三角换元和三角换元( (即把变量代换为三角函数即把变量代换为三角函数).).使用换元法使用换元法要注意新元的取值范围要注意新元的取值范围. .方法六方法六坐标法坐标法思路点拨思路点拨: :把已知的平面图形放在坐标系中把已知的平面图形放在坐标系中, ,使用坐标方法表达已知和求使
8、用坐标方法表达已知和求解目标解目标. .方法总结方法总结 坐标法是解决平面图形坐标法是解决平面图形( (立体几何中也有坐标方法的应用立体几何中也有坐标方法的应用) )问题的有力工具问题的有力工具, ,把平面图形放在坐标系中把平面图形放在坐标系中, ,可以使用平面解析几何、可以使用平面解析几何、平面向量的方法等解决问题平面向量的方法等解决问题. .方法七方法七向量法向量法答案答案: :(1)B(1)B(2)(2)已知已知a a2 2+b+b2 2=1,m=1,m2 2+n+n2 2=1,=1,则则am+bnam+bn的取值范围是的取值范围是. .思路点拨思路点拨: :(2)(2)构造向量构造向量
9、, ,使用向量数量积的知识求解使用向量数量积的知识求解. .解析解析: :(2)(2)设设u u=(a,b),v=(m,n=(a,b),v=(m,n),),则则| |u u|=|v|=1|=|v|=1且且u uv v=ma+nb=ma+nb, ,根据平面向量数量积的根据平面向量数量积的定义定义u uv v=|=|u u| | |v v|cos =cos|cos =cos , ,其中其中为向为向量量u,vu,v的夹角的夹角, ,由于由于0,0,所以所以-1cos 1,-1cos 1,所以所以-1am+bn1,-1am+bn1,即所求即所求am+bnam+bn的取值范围是的取值范围是-1,1.-1
10、,1.答案答案: :(2)-1,1(2)-1,1方法总结方法总结 向量方法在解决几何问题、三角问题、代数问题中具有广向量方法在解决几何问题、三角问题、代数问题中具有广泛的应用泛的应用. .解题的关键是把已知和目标向量化解题的关键是把已知和目标向量化, ,使用向量知识加以解决使用向量知识加以解决. .方法八方法八割补法割补法思路点拨思路点拨: :(1)(1)把已知的四边形分割为两个三角形把已知的四边形分割为两个三角形; ;答案答案: :(1)D(1)D思路点拨思路点拨: :(2)(2)把折叠后的几何体补充为一个与其具有相同外接球的正方体把折叠后的几何体补充为一个与其具有相同外接球的正方体; ;答
11、案答案: :(2)A(2)A(3)(3)如图如图, ,在半径为在半径为1 1的圆内有四段以的圆内有四段以1 1为半径相等的弧为半径相等的弧, ,现向圆内投掷一颗豆现向圆内投掷一颗豆子子( (假设豆子不落在线上假设豆子不落在线上),),则豆子恰好落在阴影部分的概率为则豆子恰好落在阴影部分的概率为. .思路点拨思路点拨: :(3)(3)分割阴影外的图形分割阴影外的图形. .方法总结方法总结 把不规则图形分割或者补充为规则的几何图形把不规则图形分割或者补充为规则的几何图形, ,通过规则通过规则几何图形求解不规则几何图形是割补法的基本思想几何图形求解不规则几何图形是割补法的基本思想. .“割割”与与“
12、补补”的目的都是实现问题的转化的目的都是实现问题的转化. .方法九方法九构造法构造法思路点拨思路点拨: :根据已知构造函数根据已知构造函数, ,利用构造的函数的单调性解题利用构造的函数的单调性解题. .方法总结方法总结 构造法是广泛使用的一种数学方法构造法是广泛使用的一种数学方法, ,本题是构造函数本题是构造函数, ,还可还可以构造数列、构造几何图形、构造向量等以构造数列、构造几何图形、构造向量等. .方法十方法十数形结合法数形结合法思路点拨思路点拨: :转化为两个函数图象交点的个数转化为两个函数图象交点的个数, ,画出两个函数的图象画出两个函数的图象, ,利用图利用图象的相对位置找出象的相对位置找出k k满足的条件满足的条件. .方法总结方法总结 数形结合方法是数学中应用最为广泛的数学方法之一数形结合方法是数学中应用最为广泛的数学方法之一, ,即即基本思想是考虑数式的几何意义基本思想是考虑数式的几何意义, ,根据几何图形提供的直观根据几何图形提供的直观, ,找到求解找到求解目标所需的结论目标所需的结论. .
