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1、第第4 4讲讲 转化与化归思想转化与化归思想 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化, ,进进而得到解决的一种方法而得到解决的一种方法. .一般总是将复杂的问题通过一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题已解决的问题. .转化与化归思想在高考中占有十分重转化与化归思想在高考中占有十分重要的
2、地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问问题向简单问题的转化、不同数学问题题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等. .各种各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. .1.1.转化与化归的原则转化与化归的原则 （1 1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟
3、悉的问）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问 题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. . （2 2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题， 通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目 的，或获得某种解题的启示和依据的，或获得某种解题的启示和依据. . （3 3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直 观的问题来解决观的问题来解决. . （4 4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难 时，可考
4、虑问题的反面，设法从问题的反面去探时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探 讨，使问题获解讨，使问题获解. .2.2.常见的转化与化归的方法常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题 时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化 到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题 得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同 时也是成功的思维方式时也是成功的思维方式. .常见的转化方法有：常见的转化方法有： （1 1）
5、直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、 基本公式或基本图形问题基本公式或基本图形问题. .（2 2）换元法：运用）换元法：运用“换元换元”把式子转化为有理式把式子转化为有理式 或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等 式问题转化为易于解决的基本问题式问题转化为易于解决的基本问题. . （3 3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析 式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获 得转化途径得转化途径. . （4 4）等价转化法：
6、把原问题转化为一个易于解决）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决 的等价命题，达到化归的目的的等价命题，达到化归的目的. . （5 5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式 转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. . （6 6）构造法：）构造法：“构造构造”一个合适的数学模型，把一个合适的数学模型，把 问题变为易于解决的问题问题变为易于解决的问题. . （7 7）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决 几何问题是转化方法的一个重要途径几何问题是转化方法的一个重要途
7、径. . （8 8）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论， 易于确定易于确定. . （9 9）参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的）参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的 形式进行解决形式进行解决. . （1010）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把 原问题的结果看做集合原问题的结果看做集合A A，而把包含该问题的整体，而把包含该问题的整体 问题的结果类比为全集问题的结果类比为全集U U，通过解决全集，通过解决全集U U及补集及补集 U UA A获得原问题的解决，体现了正难则反的原则获得原问题的解决，体现了正
8、难则反的原则. .3.3.转化与化归的指导思想转化与化归的指导思想 （1 1）把什么问题进行转化，即化归对象）把什么问题进行转化，即化归对象. . （2 2）化归到何处去，即化归目标）化归到何处去，即化归目标. . （3 3）如何进行化归，即化归方法）如何进行化归，即化归方法. . 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心化归与转化思想是一切数学思想方法的核心. .一、一、 常量与变量的转化与化归常量与变量的转化与化归例例1 1 设设f f（x x）是定义在）是定义在R R上的单调增函数，若上的单调增函数，若 f f（1-1-axax- -x x2 2）f f（2-2-a a）对任意）对任意a
9、a-1-1，1 1恒成恒成 立，求立，求x x的取值范围的取值范围. . 思维启迪思维启迪 本题为抽象函数的单调性的应用问本题为抽象函数的单调性的应用问 题，应转化为大家熟悉的一元二次不等式（或一题，应转化为大家熟悉的一元二次不等式（或一 元一次不等式来解决）元一次不等式来解决）. . 解解 因为因为f f( (x x) )是是R R上的增函数，上的增函数， 所以所以1-1-axax- -x x2 22-2-a a，a a-1-1，1 1. . （* *） 方法一方法一 （* *）式可化为：）式可化为：a a(1-(1-x x)x x2 2+1. +1. （1 1）当）当1-1-x x00时，
10、时，式变为式变为 对任意对任意a a-1-1，1 1恒成立，只要恒成立，只要 00x x1 1或或x x-1.-1. （2 2）当）当1-1-x x0 0，式变为：式变为： 对任意对任意a a-1-1，1 1恒成立，恒成立， 只要只要 x x1.1. （3 3）当）当1-1-x x=0,=0,式显然成立式显然成立. . 综上所述，实数综上所述，实数x x的取值范围是：的取值范围是： x x-1-1或或x x0.0. 方法二方法二 （* *）式可化为：）式可化为：a a( (x x-1)+-1)+x x2 2+10,+10, 对对a a-1-1，1 1恒成立恒成立. . 令令g g( (a a)
11、=()=(x x-1)-1)a a+ +x x2 2+1.+1. 则当且仅当则当且仅当 解之，得解之，得x x00或或x x-1.-1. 即实数即实数x x的取值范围是的取值范围是x x-1-1或或x x0. 0. 探究提高探究提高 通过以上两种方法的比较可以看出，通过以上两种方法的比较可以看出， 若按常规方法求解，问题较麻烦；若将变量与参若按常规方法求解，问题较麻烦；若将变量与参 数变更关系，数变更关系，a a为主元，转换思考的角度，使解答为主元，转换思考的角度，使解答 变得容易变得容易. .这种处理问题的思想即为转化与化归的这种处理问题的思想即为转化与化归的 思想思想. . 变式训练变式训
12、练1 1 设设y y=(log=(log2 2x x) )2 2+(+(t t-2)log-2)log2 2x x- -t t+1,+1,若若t t在在 -2-2，2 2上变化时上变化时, ,y y恒取正值恒取正值, ,求求x x的取值范围的取值范围. . 解解 设设y y= =f f( (t t)=(log)=(log2 2x x-1)-1)t t+(log+(log2 2x x) )2 2-2log-2log2 2x x+1,+1, 则则f f( (t t) )是一次函数，当是一次函数，当t t-2-2，2 2时，时，f f( (t t)0)0恒恒 成立成立. . 则由则由 解得解得log
13、log2 2x x-1-1或或loglog2 2x x3,3, x x的取值范围是的取值范围是二、二、正难则反的转化与化归正难则反的转化与化归例例2 2 已知三条抛物线：已知三条抛物线：y y= =x x2 2+4+4axax-4-4a a+3,+3,y y= =x x2 2+(+(a a- - 1) 1)x x+ +a a2 2, ,y y= =x x2 2+2+2axax-2-2a a中至少有一条与中至少有一条与x x轴相交，求轴相交，求 实数实数a a的取值范围的取值范围. . 思维启迪思维启迪 三条抛物线中至少有一条与三条抛物线中至少有一条与x x轴相交轴相交 的情况比较多，反面为三条
14、抛物线与的情况比较多，反面为三条抛物线与x x轴都不相轴都不相 交，只有一种情况交，只有一种情况. . 解解 令令y y=0=0，由，由 解得解得 满足题意的满足题意的a a的取值范围是的取值范围是 探究提高探究提高 本题若从正面讨论则需分类讨论求本题若从正面讨论则需分类讨论求 解，繁不堪言，但从其反面解，繁不堪言，但从其反面“三条抛物线都不与三条抛物线都不与x x 轴相交轴相交”着手，求出着手，求出a a的取值范围，再求其补集，的取值范围，再求其补集， 则使问题简单得多了则使问题简单得多了. .一个题目若出现多种成立的一个题目若出现多种成立的 情况，则不成立的情况一般较少，易从反面考情况，则
15、不成立的情况一般较少，易从反面考 虑，在排列组合中有较多这样的问题虑，在排列组合中有较多这样的问题. . 变式训练变式训练2 2 一个自动报警器由雷达和计算机两部一个自动报警器由雷达和计算机两部 分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就 失灵失灵. .若使用若使用100100小时后，雷达部分失灵的概率为小时后，雷达部分失灵的概率为 0.10.1，计算机失灵的概率为，计算机失灵的概率为0.30.3，且两部分失灵与，且两部分失灵与 否是独立的，求这个报警器使用否是独立的，求这个报警器使用100100小时后失灵的小时后失灵的 概率概率. . 解解 先考虑报
16、警器不失灵的概率，即求雷达和计先考虑报警器不失灵的概率，即求雷达和计 算机均不失灵的概率算机均不失灵的概率. .记记“使用使用100100小时后雷达失小时后雷达失 灵灵”为为A A，记，记“使用使用100100小时后计算机失灵小时后计算机失灵”为为B B， 由于由于A A与与B B相互独立，则报警器使用相互独立，则报警器使用100100小时后失灵小时后失灵 的概率为的概率为三三、以换元为手段的转化与化归、以换元为手段的转化与化归例例3 3 已知已知a aR R，求函数，求函数y y= =（a a-sin -sin x x）（）（a a- - cos cos x x）的最小值）的最小值. . 思
17、维启迪思维启迪 本题考查函数的最值问题、化归思想本题考查函数的最值问题、化归思想 及运算能力及运算能力. .观察到等式右边是关于观察到等式右边是关于sin sin x xcoscos x x 与与sin sin x x+cos +cos x x的三角式的三角式, ,可设可设t t=sin =sin x x+cos +cos x, x,则则 原问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题原问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题. . 解解 函数可化为函数可化为y y=sin =sin x xcos cos x x- -a a(sin (sin x x+cos+cos x x)+)+a a2 2.
18、. 设t t=sin =sin x x+cos +cos x x， 则则 而而 于是于是, ,y y= =f f( (t t) ) 原问题化归为求二次函数原问题化归为求二次函数 在在 上的最值问题。上的最值问题。 （1 1）当）当 时，若时，若t t= =a a， （2 2）当）当 时，时，f f( (t t) )在在 上单调递减，上单调递减， （3 3）当）当 时，时，f f（x x）在）在 上单调递增上单调递增. . 探究提高探究提高 此类问题换元后将问题化为熟知的二此类问题换元后将问题化为熟知的二 次函数问题次函数问题, ,这种做法常被采用，在一个代数式中这种做法常被采用，在一个代数式中
19、 若若sin sin x xcos cos x x与与sin sin x+x+cos cos x x同时出现时，常设同时出现时，常设 t t=sin =sin x x+cos +cos x x进而表示出进而表示出sin sin x xcos cos x x，原式转，原式转 化为含有化为含有t t的代数式进行求解，使问题顺利解决的代数式进行求解，使问题顺利解决. . 变式训练变式训练3 3 已知奇函数已知奇函数f f( (x x) )的定义域为实数集的定义域为实数集 R R, ,且且f f( (x x) )在在0,+)0,+)上是增函数上是增函数, ,当当 时时, , 是否存在这样的实数是否存在
20、这样的实数m m, ,使使f f(cos 2 -3)+(cos 2 -3)+f f(4(4m m- - 2 2m mcos )cos )f f(0)(0)对所有的对所有的 均成立均成立? ?若存在若存在, , 求出所有适合条件的实数求出所有适合条件的实数m m; ;若不存在若不存在, ,则说明理由则说明理由. . 解解 因为因为f f( (x x) )在在R R上为奇函数上为奇函数, ,又在又在0,+)0,+)上是增上是增 函数函数, ,故故f f( (x x) )在在R R上为增函数上为增函数, ,且且f f(0)=0.(0)=0. 由题设条件可得由题设条件可得, , f f(cos 2 -
21、3)+(cos 2 -3)+f f(4(4m m-2-2m mcos )0.cos )0. 又由又由f f( (x x) )为奇函数为奇函数, ,可得可得 f f(cos 2 -3)(cos 2 -3)f f(2(2m mcos -4cos -4m m).). f f( (x x) )在在R R上为增函数上为增函数, , cos 2 -32 cos 2 -32m mcos -4cos -4m m, , 即即coscos2 2 - -m mcos +2cos +2m m-20.-20. 令令cos =cos =t t, 0, 0t t1.1. 于是问题转化为对一切于是问题转化为对一切00t t1
22、,1, 不等式不等式t t2 2- -mtmt+2+2m m-20-20恒成立恒成立. . t t2 2-2-2m m( (t t-2),-2),即即 恒成立恒成立. . 又又 存在实数存在实数m m满足题设的条件满足题设的条件, ,四、等与不等的转化与化归四、等与不等的转化与化归例例4 4 若若f f( (x x) )是定义在是定义在R R上的函数，对任意实数上的函数，对任意实数x x都都 有有f f( (x x+3)+3)f f( (x x)+3)+3和和f f( (x x+2)+2)f f( (x x)+2)+2，且，且f f(1)=1(1)=1，则，则 f f(2 010)=(2 01
23、0)= . . 思维启迪思维启迪 通过两个不等关系通过两个不等关系, ,转化为转化为f f( (x x+1)=+1)= f f ( (x x)+1)+1这个等量关系这个等量关系. . 解析解析 f f( (x x+1)+1)f f( (x x+3)-2+3)-2f f( (x x)+3-2=)+3-2=f f( (x x)+1,)+1, f f( (x x+1)+1)f f( (x x+4)-3+4)-3f f( (x x+2)+2-3+2)+2-3 f f( (x x)+4-3=)+4-3=f f( (x x)+1,)+1, f f( (x x)+1)+1f f( (x x+1)+1)f f
24、( (x x)+1.)+1. f f( (x x+1)=+1)=f f( (x x)+1.)+1. 数列数列 f f( (n n)为等差数列为等差数列. . f f(2 010)=(2 010)=f f(1)+2 009(1)+2 0091=2 010.1=2 010.2 0102 010 探究提高探究提高 恰当运用题设，由函数的性质推得恰当运用题设，由函数的性质推得 f f( (x x)+1)+1f f( (x x+1)+1)f f( (x x)+1)+1，即，即f f( (x x+1)=+1)=f f( (x x)+1)+1，从而，从而 实现了由实现了由“不等不等”向向“等等”的转化的转化
25、. .在不等式中存在不等式中存 在着相等的可能；反之，相等关系也必然是不等在着相等的可能；反之，相等关系也必然是不等 关系的临界情况关系的临界情况. .这也正是我们利用不等条件求值这也正是我们利用不等条件求值 和利用相等条件求范围的出发点和利用相等条件求范围的出发点. . 变式训练变式训练4 4 若若a a、b b是正数，且满足是正数，且满足abab= =a a+ +b b+3+3，求求 abab的取值范围的取值范围. . 解解 方法一方法一 （看成函数的值域）（看成函数的值域）abab= =a a+ +b b+3+3， 即即a a11或或a a-3,0,0, a a1,1,故故a a-10.
26、-10. 当且仅当当且仅当 即即a a=3=3时取等号时取等号. . 又又a a33时，时， 是关于是关于a a的单调增函数的单调增函数. . abab的取值范围是的取值范围是9 9，+）. . 方法二方法二 （看成不等式的解集）（看成不等式的解集）a a，b b为正数，为正数， 方法三方法三 若设若设abab= =t t, ,则则a a+ +b b= =t t-3,-3, a a，b b可看成方程可看成方程x x2 2-(-(t t-3)-3)x x+ +t t=0=0的两个正根的两个正根. . 从而有：从而有： 解得解得t t9,9,即即abab9.9. abab的取值范围是的取值范围是9
27、 9，+）. .规律方法总结规律方法总结 在将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种在将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：原则：（1 1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的）熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题问题. .（2 2）简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为）简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为 简单的问题简单的问题. .（3 3）直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直）直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直 观的问题（如数形结合思想，立体几何问题向平观的问题（如数形结合思想，立体几何问题向平 面几何问题转化）面几何问题转化）. .（4 4）正难则反原则
28、：若问题直接求解困难时，可）正难则反原则：若问题直接求解困难时，可 考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题决问题. .一、选择题一、选择题1.1.方程方程sinsin2 2x x+cos +cos x x+ +k k=0=0有解有解, ,则则k k的取值范围是的取值范围是( ( ) )A. B. A. B. C. D.C. D. 解析解析 求求k k=-sin=-sin2 2x x-cos-cosx x的值域的值域 k k=cos=cos2 2x x-cos-cosx x-1-1 当当 时，时， 当当cos cos x x=-1=-1时，时，
29、kmaxmax=1=1， 故选故选D.D.D D2.2.已知数列已知数列 a an n 对任意的对任意的p p, ,q qNN* *满足满足a ap p+ +q q= =a ap p+ +a aq q且且 a a2 2=-6,=-6,那么那么a a1010等于等于 （ ） A.-165 A.-165 B.-33 B.-33C.-30 D.-21C.-30 D.-21 解析解析 由由a ap p+ +q q= =a ap p+ +a aq q, ,a a2 2=-6,=-6,得得a a4 4= =a a2 2+ +a a2 2=-12,=-12,同理同理 a a8 8= =a a4 4+ +a
30、a4 4=-24,=-24,所以所以a a1010= =a a8 8+ +a a2 2=-24-6=-30.=-24-6=-30.3. 3. 设设a a1,1,若对于任意的若对于任意的x xa a，2 2a a，都有，都有y y a a，a a2 2满足方程满足方程logloga ax x+log+loga ay y=3=3，这时，这时a a的取值的取值 的集合为的集合为 （ ） A.A.a a|1|1(1+cossin (1+cos2 2 )cos )cos ，且，且 (0,2 )(0,2 )，那么角，那么角 的取值范围是的取值范围是 （ ）A. A. B. B. C.C. D. D. 解析
31、解析 注意到不等式注意到不等式(1+sin(1+sin2 2 )sin )sin (1+cos(1+cos2 2 )cos )cos , ,等价于等价于sinsin3 3 +sin cos+sin cos3 3 +cos , +cos , 而而f f( (x x)=)=x x3 3+ +x x在在R R上是增函数上是增函数, ,于是于是f f(sin )(sin )f f(cos ) (cos ) sin cos , sin cos , 再结合再结合 (0,2 ),(0,2 ),得到得到C C二、填空题二、填空题6. 6. 函数函数 的值域为的值域为 . . 解析解析 f f( (x x) )
32、的定义域为的定义域为x x0,10,1, , 设设 则则7.7.若若x x, ,y yR R, ,集合集合A A=(=(x x, ,y y)|)|x x2 2+ +y y2 2=1,=1,B B=(=(x x, ,y y) ) a a0,0,b b00，当，当A AB B有且只有一个元素时，有且只有一个元素时，a a、b b满满 足的关系式是足的关系式是 . . 解析解析 A AB B有且只有一个元素可转化为直线有且只有一个元素可转化为直线 与圆与圆x x2 2+ +y y2 2=1=1相切，故相切，故 a a0,0,b b00，8.8.如果函数如果函数f f( (x x)=)=x x2 2+
33、 +bxbx+ +c c对任意实数对任意实数t t都有都有f f(2+(2+t t)=)=f f (2- (2- t t) )，那么，那么f f(2),(2),f f(1),(1),f f(4)(4)的大小关系是的大小关系是 . . 解析解析 转化为在同一个单调区间上比较大小问题转化为在同一个单调区间上比较大小问题. .由由f f(2+(2+t t)=)=f f(2-(2-t t) )知知f f( (x x) )的对称轴为的对称轴为x x=2.=2. f f( (x x) )在在2 2，+）上为单调增函数）上为单调增函数. . f f(1)=(1)=f f(2(22-1)=2-1)=f f(3
34、)(3) f f(2)(2)f f(3)(3)f f(4)(4) f f(2)(2)f f(1)(1)f f(4).(4).f f(2)(2)f f(1)(1) 00 在（在（0,0,）上恒成立，）上恒成立， 令令cos cos x x= =t t，则，则-1-1t t1,00在（在（-1-1，1 1） 上恒成立，上恒成立， 若若 则则 在（在（-1-1，1 1）上恒成立，）上恒成立， 则只需则只需 当当 时，则时，则 在（在（-1-1，1 1）上显然成立；）上显然成立； 若若 则则 在（在（-1-1，1 1）上恒成立，）上恒成立，则只需则只需 综上所述，所求实数综上所述，所求实数m m的取值范围是的取值范围是返回
