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1、*第九节一、二元函数泰勒公式一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 二元函数的泰勒公式 1一、二元函数的泰勒公式一、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式 2记号记号 (设下面涉及的偏导数连续): 一般地, 表示表示3定理定理1 1.的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数 ,为此邻域内任 一点, 则有其中 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项 .4证证: 令则 利用多元复合函数求导法则可得: 5一般地, 由 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. 6说明说明
2、:(1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭邻域其绝对值必有上界 M , 则有7(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:(3) 若函数在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零, 由中值公式可知在该区域上 8例例1. 求函数解解: 的三阶泰勒公式. 因此,9其中10时, 具有极值二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A 0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数定理定理2 (充分条件)11证证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意则有所以12其中其中 ,
3、, 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 ,于是(1) 当 ACB2 0 时, 必有 A0 , 且 A 与C 同号, 可见 ,从而z0 , 因此13从而 z0,(2) 当 ACB2 0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A0, 则 时, 有异号;同号.可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 14+若 AC 0 , 则必有 B0 ,不妨设 B0 , 此时 可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, (3) 当ACB2 0 时, 若 A0, 则若 A0 , 则 B0 ,为零或非零15此时因此 作业作业P67 1 , 3 , 4 , 5不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 . 16
