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1、数值分析绪论 高 云 参考资料参考资料n第三种科学方法：计算机时代的科学计算第三种科学方法：计算机时代的科学计算 石钟慈著，清华大学出版社，院士科普书系，石钟慈著，清华大学出版社，院士科普书系，2000n科学计算导论科学计算导论（第（第2版）（英文影印版）版）（英文影印版） M.T.Heath著，清华大学出版社：著，清华大学出版社：McBraw-Hill，2001n数值分析数值分析（第（第4版）版） 李庆扬等，清华大学出版社，李庆扬等，清华大学出版社，2001三个问题：三个问题：1.如何实现人机对弈？如何实现人机对弈？2.2. 如何求解方程组？如何求解方程组？3.3. 比较以上两者的不同？比较
2、以上两者的不同？1. 1. 计算机和人对弈计算机和人对弈数据关系算法数学模型首先：首先：如何表示棋盘和格局如何表示棋盘和格局其次：其次：如何表示规则如何表示规则最后：最后：博弈的过程博弈的过程2. 2. 求解方程组求解方程组首先：首先：如何表示系数如何表示系数其次：其次：如何表示方程如何表示方程最后：最后：求解方程求解方程数据关系算法数学模型研究数值分析的意义算法的研究和应用正是本课程的主题算法的研究和应用正是本课程的主题算法的研究和应用正是本课程的主题算法的研究和应用正是本课程的主题 ！现代科学研究的三大支柱理论研究科学实验科学计算数值分析解决问题的过程数学数学 模型模型 输入复杂问题或运算
3、输入复杂问题或运算数值数值 计算计算 方法方法计算机计算机近似解近似解数值分析的任务p 科学计算的任务是科学计算的任务是设计高效可靠的数值算法。设计高效可靠的数值算法。p对于同一问题，不同的算法在计算性能上可能相对于同一问题，不同的算法在计算性能上可能相 差百万倍或者更多。差百万倍或者更多。 例：求解一个例：求解一个n 阶线性方程组，如果使用克莱姆法阶线性方程组，如果使用克莱姆法则，需要计算则，需要计算n+1 个个n 阶行列式，在不计加减运算阶行列式，在不计加减运算情况下，至少需要情况下，至少需要n!(n2 -1) 次乘除运算。当次乘除运算。当n=20 时，时，20!(202 -1) 9.7
4、1020用每秒运算用每秒运算30亿次的计亿次的计算机求解时，大约需要算机求解时，大约需要10000年的时间。而如果使年的时间。而如果使用高斯（用高斯（Gauss）消元法，大约需要）消元法，大约需要3060次乘除运次乘除运算，不到一秒钟就能完成。算，不到一秒钟就能完成。数值分析的特点n面向计算机，要根据计算机特点提供切实面向计算机，要根据计算机特点提供切实可行的有效算法。可行的有效算法。n要有可靠的理论分析，能任意逼近并达到要有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和稳精度要求，对近似算法要保证收敛性和稳定性。定性。n要有好的计算复杂性（时间和空间）要有好的计算复杂性（
5、时间和空间）n要有数值试验。要有数值试验。 （检验理论的正确性和发现新的方法）（检验理论的正确性和发现新的方法）数值分析的主要研究内容n 函数的插值函数的插值n 函数的逼近函数的逼近n 数值积分和数值微分数值积分和数值微分n 线性方程组的直接解法和迭代解法线性方程组的直接解法和迭代解法n 非线性方程（组）的求解非线性方程（组）的求解n 微分方程的数值解法离散化方法微分方程的数值解法离散化方法数值分析算法的要求n构造性的数值方法，不仅要论证问题的可构造性的数值方法，不仅要论证问题的可解性，而且解的构造是通过数值演算过程解性，而且解的构造是通过数值演算过程来完成的。来完成的。n不仅仅是单纯的数学公
6、式，而是指解题方不仅仅是单纯的数学公式，而是指解题方案的准确和完整的描述。案的准确和完整的描述。n用框图来描述算法。用框图来描述算法。数值分析的发展历史n微积分的发展微积分的发展n极限论和泰勒展开式是理论依据极限论和泰勒展开式是理论依据n插值法则是实践指南插值法则是实践指南n计算机的出现和发展计算机的出现和发展n现在正是一个有利的时期现在正是一个有利的时期如何学习数值分析n注意掌握算法的基本原理和思想。注意掌握算法的基本原理和思想。n重视对误差、收敛性及稳定性的分析重视对误差、收敛性及稳定性的分析n通过例子，学习使用各种数值分析方法解决实通过例子，学习使用各种数值分析方法解决实际计算问题。际计
7、算问题。n完成必要的数值实验和计算练习。完成必要的数值实验和计算练习。机器数系 数基数基 Number Base 精度精度 Precision t 阶域阶域 Exponential Range 上界上界 U 下界下界 L x的尾数的尾数 di 尾数数字尾数数字 （整数整数) d1 0 e x的阶数的阶数 1.1.1Fn 中的浮点数的总数中的浮点数的总数 0 从从L到到U的阶次个数的阶次个数 从从2到到t,共共t-1位的位的di有有 种选择种选择 第第1位的位的d1可以有可以有( -1)种选择种选择 正数和负数有相同个数正数和负数有相同个数 1.1.11.1.1 示例浮点数集数值 -3 -2 -
8、1 0 1 2 3位置(1/2+0/4+0/8) 22=32/16(1/2+1/4+1/8) 22=56/16(1/2+0/4+1/8) 22=40/16(1/2+1/4+0/8) 22=48/16(1/2+1/4+1/8) 21=28/16(1/2+1/4+0/8) 21=24/16(1/2+0/4+1/8) 21=20/161/2+0/4+0/8) 21=16/16(1/2+1/4+1/8) 20=14/161/2+1/4+0/8) 20=12/16(1/2+0/4+1/8) 20=10/16(1/2+0/4+0/8) 20=8/16(1/2+1/4+1/8) 2-1=7/16(1/2+1
9、/4+0/8) 2-1=6/16(1/2+0/4+1/8) 2-1=5/16(1/2+0/4+0/8) 2-1=4/16多项式求值的秦九韶方法（递推化）自然法简单递推秦九韶算法加法nnn乘法n(n+1)/22nn秦九韶算法的特点 通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值。具体地说，他将一个的值。具体地说，他将一个n次多项式的求值问次多项式的求值问题，归结为重复计算题，归结为重复计算n个一次式来实现。个一次式来实现。方程求根的二分法（无穷递推过程的截断）问题，下面两个命题能否成立：问题，下面两个命题能否成立：（1）二分法可以求出区间内的所有实根。）二分法可以求出区间内的所有实根。（2）二分法可以求出区间中的复数根。）二分法可以求出区间中的复数根。 欢迎提出问题！
