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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布学习目的要求学习目的要求 本章研究一维离散型和连续型随机变量及其分本章研究一维离散型和连续型随机变量及其分布。要求掌握离散型随机变量及其分布列的概布。要求掌握离散型随机变量及其分布列的概念，掌握连续型随机变量及其概率密度的概念，念，掌握连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握随机变量函数分布的基本概念和计算方法。掌握随机变量函数分布的基本概念和计算方法。 主要教学内容主要教学内容n随机变量随机变量n离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律n随机变量的分布函数随机变量的分布函数n连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度n随机变量的函
2、数的分布随机变量的函数的分布1 随机变量随机变量定义定义 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为S=e ，X=X(e)是是定义在样本空间上的实值单值函数，称定义在样本空间上的实值单值函数，称X=X(e)为随为随机变量。机变量。例如，用例如，用Y记某车间一天的缺勤人数，则记某车间一天的缺勤人数，则Y是随机变量。是随机变量。注注1 一般用大写字母表示随机变量，小写字母表示一般用大写字母表示随机变量，小写字母表示实数；实数；注注2随机变量的引入，使我们能用随机变量来描述各随机变量的引入，使我们能用随机变量来描述各种随机现象，可以用数学分析的方法对随机试验的种随机现象，可以用数学分析的方法对随机
3、试验的结果进行研究。结果进行研究。2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 若随机变量的全部可能取到的值是有限个或可列无限若随机变量的全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。多个，这种随机变量称为离散型随机变量。离散型随机变量的分布律：设离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设离散型随机变量X的所的所有可能的值为有可能的值为xk(k=1,2, )，X取各个可能值的概取各个可能值的概率，即事件率，即事件X=xk的概率的概率 P(X=xk)=pk, k=1,2, 称为离散型随机变量的分布律。分布律也可以用表格称为离散型随机变量的分布律。分布律也可以用表格
4、的形式来表示。的形式来表示。 X x1 x2 xn pk p1 p2 pn 例设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号例设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以的概率允许或禁止汽车通过，灯，每组信号灯以的概率允许或禁止汽车通过，以以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求各组信号灯的工作是相互独立的），求X的分布律的分布律解解 以以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知的分布律表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知的分布律为：为：或写成或写成 PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,
5、3, p(X=4=(1-p)4以以p=1/2代入得代入得 X0 1 2 3 4 pkp (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4X 0 1 2 3 4pk 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625三种重要的离散型随机变量三种重要的离散型随机变量1 （0-1）分布）分布设随机变量设随机变量X只可能取只可能取0与与1两个值，它的分布律是：两个值，它的分布律是：PX=k=pk(1-p) 1-k ,k=0,1 (0p1)则称则称X服从（服从（0-1）分布或两点分布。）分布或两点分布。（0-1）分布的分布律也可写成）分布的分布律也可写成注注1 对于一个随机试验，如果它的
6、样本空间只包含两对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们可以在上定义一个服从（个元素，即，我们可以在上定义一个服从（0-1）分）分布的随机变量布的随机变量注注2 应用：对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的应用：对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格，车间的电力消耗是否超过负荷，抛质量是否合格，车间的电力消耗是否超过负荷，抛硬币试验等都可以用（硬币试验等都可以用（0-1）分布的随机变量来描述。）分布的随机变量来描述。X 0 1pk 1-p p2 伯努利试验、二项分布伯努利试验、二项分布 设试验设试验E只有两个可能的结果只有两个可能的结果:A, , 则称则称E为伯努利为
7、伯努利(Bernoulli)试验。设试验。设P(A)=p(0p1)，此时，此时 将将E独立地重复进行独立地重复进行n次，称这一串重复的独立试验为次，称这一串重复的独立试验为n重重伯努利试验。伯努利试验。 n重伯努利试验是一种很重要的数学模型，它有广泛的重伯努利试验是一种很重要的数学模型，它有广泛的应用：例如，应用：例如，E是抛一枚硬币观察得到正面或方面，是抛一枚硬币观察得到正面或方面，A表示正面，这是一个伯努利试验，如将硬币抛表示正面，这是一个伯努利试验，如将硬币抛n次，次，就是就是n重伯努利试验。重伯努利试验。 以以X表示表示n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次数，发生的次数，X
8、是是一个随机变量，则在一个随机变量，则在n次试验中次试验中A发生发生k次的概率为：次的概率为：这里这里q=1-p，称随机变量，称随机变量X服从参数为服从参数为n,p的二项分布，的二项分布，记为记为Xb(n,p). 特别，当特别，当n=1时的二项分布化为时的二项分布化为 PX=k=pkq1-k, k=o,1 这就是（这就是（0-1）分布。）分布。例例2 按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的成为一等品。已知某一大批产品的一级品率小时的成为一等品。已知某一大批产品的一级品率为为0.2，现在从中随机地抽查，现在从中随机地抽查20只，问只，问20只元
9、件中恰有只元件中恰有k只（只（k=0，1，20）为一级品的概率是多少？）为一级品的概率是多少？解解 所求的概率为：所求的概率为：将计算结果列表如下：将计算结果列表如下：PX=0=0.012PX=1=0.058PX=2=0.137PX=3=0.205PX=4=0.218PX=5=0.175PX=6=0.109PX=7=0.055PX=8=0.022PX=9=0.007PX=10=0.002PX=k0.001,当k11时例例3 某人进行射击，设每次射击的命中率为某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击，独立射击400次，试求至少击中两次的概次，试求至少击中两次的概率。率。解解 将一次射
10、击看成是一次试验。设击中的次数为将一次射击看成是一次试验。设击中的次数为X，则，则Xb(400,0.02)。X的分布律为的分布律为:于是所求的概率为于是所求的概率为PX2=1-=PX0-PX=1 =1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399 =0.99723 泊松分布泊松分布设随机变量设随机变量X所有可能取的值为，所有可能取的值为，取各取各个值的概率为个值的概率为其中是常数，则称其中是常数，则称X服从参数为的泊松分布服从参数为的泊松分布应用：一本书一页中的印刷错误数、某地区在一天内邮件遗应用：一本书一页中的印刷错误数、某地区在一天内邮件遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人
11、数、某一地区失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数一个时间间隔内发生交通事故的次数.1 随机变量的分布函数随机变量的分布函数设设X是一个随机变量，是一个随机变量，x是任意实数，函数是任意实数，函数 F(x)= PXx 称为称为X的分布函数的分布函数注对于任意实数注对于任意实数x1,x2(x1x2)，有，有 Px1Xx2=PX x2- PX x1 =F(x2)- F(x1)注分布函数完整地描述了随机变量的统计规注分布函数完整地描述了随机变量的统计规 律律注如果将注如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数么，分布函
12、数F(x)在在x处的函数值就表示处的函数值就表示X落在区间落在区间(-, x上的概率上的概率分布函数分布函数F(x)的性质的性质 ） F(x)是一个不减函数；是一个不减函数；）0F(x) 1, 且且）F(x+0)=F(x)，即，即F(x)是右连续的是右连续的 一般，设离散型随机变量一般，设离散型随机变量X的分布律为的分布律为 PX=xk=pk, k=1,2, 则则X的分布函数为：的分布函数为：注注 分布函数分布函数F(x)在在x=xk(k=1,2, )处有跳跃处有跳跃,其跳其跳跃值为跃值为pk=PX=xk.例设随机变量的分布律为例设随机变量的分布律为X -1 2 3p1/4 1/2 1/4求求
13、X的分布函数，并求的分布函数，并求解解4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 如果对于随机变量如果对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x)，存在非负函数，存在非负函数f(x)，使对于任意实数，使对于任意实数x，有，有则称则称X为连续型随机变量，其中函数为连续型随机变量，其中函数f(x)称为称为X的概的概率密度函数，简称概率密度率密度函数，简称概率密度概率密度概率密度f(x)具有如下性质：具有如下性质： 1) f(x) 0 2) 3) 对任意实数对任意实数x1,x2(x1x2)4) 若在点处连续，则有若在点处连续，则有例设随机变量例设随机变量X具有概率密度具有概率密度()确定
14、常数确定常数k； ()求的分布函数求的分布函数F(x)； ()求求P10,有有 PXs+t|Xs)=P(Xt注意注意: 指数分布在可靠性理论和排队轮论中有广指数分布在可靠性理论和排队轮论中有广泛的应用泛的应用.3 正态分布正态分布 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中 为常数为常数,则称则称X 服从参数为服从参数为 的正态分布或高斯的正态分布或高斯(Gaoss)分布分布,记为记为正态分布具有如下性质正态分布具有如下性质:1)曲线关于曲线关于 对称对称.2)2) 标准正态分布标准正态分布 当当 时称时称X 服从标准正态分布服从标准正态分布,其概率密度和分布函数分别用
15、其概率密度和分布函数分别用 表示表示,即有即有注意注意: 在自然现象和社会现象中在自然现象和社会现象中, 大量随机变量都服从或近似服从正大量随机变量都服从或近似服从正态分布态分布.例如例如,一个地区的男性成年人的身高一个地区的男性成年人的身高,测量某零件长度的误差测量某零件长度的误差,海浪波浪的高度海浪波浪的高度,半导体器件中热燥声电流或电压等都服从正态分布半导体器件中热燥声电流或电压等都服从正态分布.例例3 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内.调节器整定在调节器整定在d0C,液液体的温度体的温度(以以C计计)是一个随机变量是一个随机变量,且且
16、XN(d,0.52). (1) 若若d=90,求求X小于小于89的概率的概率.(2) 若要求保持液体的温度至少为若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于的概率不低于0.99,问至少为多少问至少为多少?解解 (1) 所求概率为所求概率为(2) 按题义需求满足按题义需求满足5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 本节介绍本节介绍: 已知随机已知随机X变量的概率分布变量的概率分布,求它的函数求它的函数Y=g(X) (g(.)是已知的连续函数是已知的连续函数)的概率分布的概率分布,有定义法有定义法和公式法和公式法2种方法种方法.1) 定义法定义法 从分布函数的定义出发进行计算从分布函数的定义出
17、发进行计算 例例1 1 设随机变量设随机变量X X具有以下的分布律具有以下的分布律, ,试求试求Y=(X-1)Y=(X-1)2 2的分布律的分布律. .X-1 0 1 2pk0.2 0.3 0.1 0.4解解 X的所有可能取的值为的所有可能取的值为0,1,4PY=0=P(X-1)2=0=PX=1=0.1PY=1= P(X-1)2=1=PX=0+PX=2=0.7PY=4=P(X-1)2=2=PX=-1=0.2即得即得Y的分布律为的分布律为Y 0 1 3pk0.1 0.7 0.2 例例2 设随机变量设随机变量X具有密度函数具有密度函数求随机变量求随机变量Y=2X+8的概率密度的概率密度.解解 分别
18、记分别记X,Y的分布函数为的分布函数为FX(x), FY(y), 则有则有将将FY(y)关于关于y求导数求导数,得得Y=2X+8的概率密度为的概率密度为例例3 设随机变量设随机变量X具有密度函数具有密度函数fx(x),-x0,故当故当y0时时,有有将将Fy(y)关于关于y求导数求导数,即得即得Y的概率密度为的概率密度为2) 公式法公式法 只对连续性随机变量只对连续性随机变量 定理定理 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fx(x),-x0(或恒有或恒有g(x)0)则则Y=g(X)是连续型随机变量是连续型随机变量,其其概率密度为概率密度为其中其中 h(y)是是g(x)的反函数的反函数.例例4 设随机变量设随机变量 .试证明试证明X的的线性函数线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布也服从正态分布.解解 X的概率密度为的概率密度为现在现在y=g(x)=ax+b,由这一式子解得由这一式子解得由上述定理得由上述定理得Y=aX+b概率密度为概率密度为
