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1、东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所机械系机械系统可靠性和可靠性灵敏度分析可靠性和可靠性灵敏度分析的的Monte Carlo 数数值模模拟法法授课教师：黄贤振授课教师：黄贤振东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所图1 机械系统的分类 机机械械系系统统是是指指由由多多个个机机械械基基本本要要素素（如如机机械械零零、部部件件，机机构构，机机器器等等）组组成成的的，可可以以完完成成所所需需动动作作( (或或动动作作过过程程) )，实实现现动动作作的的传传递递和和力力的的变变换换以以及及机机械械能能的的转转化化和和利用的装置。利用的装置。 1 机械系统机械系统东北
2、大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所2 机械可靠性机械可靠性应力分析应力分析应力分布参数应力分布参数强度分析强度分析 强度分布参数强度分布参数 载荷载荷分布参数分布参数机械系统机械系统构件分布参数构件分布参数机械系统机械系统性能分布参数性能分布参数机械系统机械系统构件分布参数构件分布参数 f(x)fR(xR) fS(xS) x机械可靠性模型机械可靠性模型应力是指对产品功能有影响的各种因素，比如机械应力、变形、磨损等。强度是指产品承受应力的能力，比如机械强度、刚度、抗裂度等。东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所假定机械系统的强度随机变量 xR，应力随机变量为
3、xS，机械系统极限状态函数（功能函数）为极极限限状状态态的定义为：整个机械系统的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态为该功能的极限状态。2 机械可靠性机械可靠性东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所 f(x)fR(xR) fS(xS) xxSdxS应力xS落在附近dxS小区间内的概率为在应力xS落在小区间dxS内的条件下，强度xR小于应力xS的概率为应力xS落在小区间dxS内，同时强度xR小于应力xS的概率为根据可靠度的定义，对于应力xS所有的可能值强度xR均小于应力xS的概率，及事件(xR0, 有上式表明样本均值 是依概率收敛于母体的均值 的。
4、3.1 Monte Carlo 模拟的理论基础模拟的理论基础东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析另外，设随机事件 A 发生的概率 P(A), 在n次独立试验中，事 件 A发 生 的 频 率 为 m， 则 随 机 事 件 A发 生 的 频 率W(A)=m/n, 对于任意0，有上式表明事件发生的频率是依概率收敛于事件发生的概率的。东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析3.2 Monte Carlo 可靠性分析的原理与计算公式可靠性分析的原理与计算公式1. Monte
5、 Carlo 方法求解失效概率估计值的计算公式方法求解失效概率估计值的计算公式失效概率可以改写成下式所示的失效域指示函数IF(x)的数学期望形式：式中， 为失效域指示函数；Rn为n维变量空间；E.为数学期望算子。东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析失效概率为失效域指示函数的数学期望，依据大数定律，失效域指示函数的数学期望可以有失效域指示函数的样本均值来近似。即随机变量的联合概率密度函数fX(x)抽取N个样本xj(j=1, 2, , N), 落入失效域F内样本点的个数Nf与总样本点的个数N之比即为失效概率的估计值。 (1)东北大
6、学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析2. Monte Carlo 失效概率估计值的方差分析失效概率估计值的方差分析由式(1)可以看出，失效概率估计值的随机样本xj (j=1, 2, , N)的函数，因此也是一个随机变量。为了对计算出的的收敛性有一个清楚的认识，有必要对的方差进行分析。 对式(1)两边求数学期望，可得失效概率估计值 的期望 如下所示：样本xj与母体x独立同分布东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析由上式可知， ，即为Pf的无偏估计在数值模拟的过程中，以指
7、示函数IF(x)的样本均值 近似代替EIF(x), 则失效概率估计值的期望可以近似表达为东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析失效概率估计值的方差可以通过对式(1)两边求方差得如下：由于样本方差依概率收敛于母体的方差，所以可以用IF(.)的样本方差(2)xj与母体x独立同分布东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析将上式代人式(2)，可得失效概率估计值的方差估计为进而得到估计值的变异系数为指示函数IF(x)方差的无偏估计可以进一步表达为？东北大学机械设计及理论研究所
8、东北大学机械设计及理论研究所3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析IF(xj)方差的无偏估计xj相互独立xj与母体x独立同分布依据随机变量的分布形式和参数，由随机样本的产生方法产生N组随机样本向量的样本xj=(xj1, xj2, , xjn) (j=1, 2, , N)。 将随机向量样本xj代人极限状态方程，并根据状态指示函数IF(xj)进行累加。 求得失效概率估计值 估计失效概率估计值 的方差及变异系数。 东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析常见分布随机数生成函数的调用格式常见分布随机数生成函数的调用格式东北大学机
9、械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析型极小值分布由均值和方差求型极小值分布的分布参数mu -mean parameter sigma -standard deviation parameter mu -location parametersigma -scale parameter东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析采用向量运算代替循环提高Matlab计算效率东北大学
10、机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所4 可靠性灵敏度可靠性灵敏度可靠性灵敏度定义为基本随机变量分布参数的变化引起失效概率变化的比率，在数学上可靠性灵敏度是由失效概率Pf对基本随机变量分布参数x的偏导数予以表达，即。可靠性灵敏度反应了基本变量分布参数对失效概率的影响程度，无量纲正则化的可靠性灵敏度可以给出基本变量分布参数对可靠度的重要排序。东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度为失效概率 Pf 对基本随机变量 xi 的分布参数 (i=1, 2, , n; k=1, 2, , mi)，其中mi为第
11、i个变量xi的分布参数的总数) 的偏导数，将失效概率的积分公式对分布参数 求导数，便可以得到可靠性灵敏度 如下所示：5.1 Monte Carlo 可靠性灵敏度估计的计算公式可靠性灵敏度估计的计算公式将可靠性灵敏度定义式做如下变换，可使可靠性灵敏度变成数学期望的形式，之后就可以采用 Monte Carlo 数值模拟来估计可靠性灵敏度。东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度分析采用样本均值代替总体均值xj是按联合概率密度函数fX(x)抽取N个样本中的第j个样本。东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 M
12、onte Carlo 可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度分析当 x为相互独立的n维正态随机变量时可靠性灵敏度为东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度分析2. Monte Carlo 可靠性灵敏度估计的方差分析可靠性灵敏度估计的方差分析对可靠性灵敏度估计值计算表达式两边求数学期望由于样本点xj与母体x独立同分布，所以可以用样本的均值近似代替总体的期望，于是可以得到Monte Carlo 可靠性灵敏度分析结果的数学期望为 故Monte Carlo 可靠性灵敏度估计值为无偏估计。东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究
13、所5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度分析用样本方差近似代替母体方差，可得Monte Carlo 可靠性灵敏度估计值得方差如下而估计值得变异系数为东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度分析东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度分析东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度分析东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度分析东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度分析东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度分析东北大学机械设计及理论研究所东北大学机械设计及理论研究所5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析可靠性灵敏度分析
