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1、结构力学第十三章矩阵位移法学习内容学习内容有限单元法的基本概念，结构离散化。有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。和结构整体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。矩阵位移法的计算步骤和应用举例。2第十三章矩阵位移法学习
2、目的和要求学习目的和要求 目的目的：矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结：矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。习目的。 矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式，以计算机为运算工具的综合分析方法。引入矩阵现形式，以计算机为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。运算的目的是使计算过程程序化
3、，便于计算机自动化处理。尽管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计尽管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用算机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算机算”代替代替“手算手算”。因此，学习本章是既要了解它与。因此，学习本章是既要了解它与位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。3第十三章矩阵位移法学习目的和要求学习目的和要求 要求要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。体分析。 在单元分析中，熟练掌握单元刚度
4、矩阵和单元等在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端效荷载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的计算方法。力的计算方法。 在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。过程。掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。 自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵
5、。其物理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。4第十三章矩阵位移法矩阵位移法矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础以传统的结构力学作为理论基础; ; 以矩阵作为数学表达形式以矩阵作为数学表达形式; ; 以电子计算机作为计算手段以电子计算机作为计算手段三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。第一节第一节 矩阵位移法概述矩阵位移法概述 采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一，便采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一，便于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子计于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子计算机进行自
6、动化计算的要求。算机进行自动化计算的要求。5第十三章矩阵位移法第一节第一节 矩阵位移法概述矩阵位移法概述 结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别： 在原理上同源，在作法上有别在原理上同源，在作法上有别前者在前者在“手算手算”的年代形成，后者则着眼于的年代形成，后者则着眼于“电算电算”，计算手，计算手段的不同，引起计算方法的差异。段的不同，引起计算方法的差异。 与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。矩阵位移法由于具有法和矩阵位移法
7、，或称柔度法与刚度法。矩阵位移法由于具有易于实现计算过程程序化的优点而广为流传。易于实现计算过程程序化的优点而广为流传。 矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称为矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称为杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些术语杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些术语和提法。和提法。6第十三章矩阵位移法1 1、矩阵位移法的基本思路、矩阵位移法的基本思路第一节第一节 矩阵位移法概述矩阵位移法概述 力力 法法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具体情况，不宜实现
8、计算机计算的自动化，但其优点是计算出体情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出的结果就是力。的结果就是力。位移法位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强，是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强，目前广为采用。目前广为采用。结构结点力结构结点力杆件杆端力杆件杆端力杆件端点位移杆件端点位移结构结点位移结构结点位移位移法位移法力力 法法位移法位移法与与力法力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同a、方法的选择、方法的选择7第十三章矩阵位移法1 1、矩阵位移法的基本思路、矩阵位移法的基本思路第一节第一节
9、 矩阵位移法概述矩阵位移法概述 b、基本假设和基本原理、基本假设和基本原理线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理c、正负号规定（采用右手法则）、正负号规定（采用右手法则）杆端内力杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正；规定当与坐标轴正方向一致时为正；杆端位移和结点位移杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。规定当与坐标轴正方向一致时为正。结点外力结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；规定当与坐标轴正方向一致时为正；8第十三章矩阵位移法1 1、矩阵位移法的基本思路、矩阵位移法的基本思路第一节第一节 矩阵位移法概述矩阵位移法概述 化整为零化整为零
10、（离散化、单元分析）（离散化、单元分析）集零为整集零为整 （结点力平衡、位移协调）（结点力平衡、位移协调） 先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中，先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中，一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化离散化。然后按单元力学性质对每个然后按单元力学性质对每个单元分析单元分析建立单元刚度方程，建立单元刚度方程，在满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成在满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体求解整体求解。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的
11、计算问题转化为简单单元分析和集合问题。的计算问题转化为简单单元分析和集合问题。 矩阵位移法的要点矩阵位移法的要点 ：9第十三章矩阵位移法2 2、单元划分、单元划分第一节第一节 矩阵位移法概述矩阵位移法概述 将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点）的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点）的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点）的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点）连
12、接而成的体系连接而成的体系连接而成的体系连接而成的体系化整为零化整为零在杆件结构矩阵分析中，一般在杆件结构矩阵分析中，一般是把杆件的转折点、汇交点、是把杆件的转折点、汇交点、边界点、突变点或集中荷载作边界点、突变点或集中荷载作用点等列为结点，结点之间的用点等列为结点，结点之间的杆件部分作为单元。杆件部分作为单元。10第十三章矩阵位移法2 2、单元划分、单元划分第一节第一节 矩阵位移法概述矩阵位移法概述 将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立的
13、单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点）的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点）的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点）的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点）连接而成的体系连接而成的体系连接而成的体系连接而成的体系化整为零化整为零为了减少基本未知量的数目，跨为了减少基本未知量的数目，跨间集中荷载作用点可不作为结点，间集中荷载作用点可不作为结点，但要计算跨间荷载的等效结点荷但要计算跨间荷载的等效结点荷载；跨间结点也可不作为结点，载；跨间结点也可不作为结点，但要推导相应的单元刚度矩阵，但要推导相应的单元刚度矩阵，编程序麻烦。编程序麻烦。11第十三章矩阵位移法
14、第二节第二节 单元分析（单元分析（局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析 ） 1 1、坐标系的选择、坐标系的选择: : 在矩阵位移法中采用两种坐标系：在矩阵位移法中采用两种坐标系： 局部坐标系局部坐标系和和整体坐标系整体坐标系。单元分析的目的是以结点位移为基本未知量，分析每个单元单元分析的目的是以结点位移为基本未知量，分析每个单元的结点力和结点位移及荷载之间的关系，即建立单元刚度方的结点力和结点位移及荷载之间的关系，即建立单元刚度方程，并用矩阵形式表示。程，并用矩阵形式表示。整体坐标整体坐标整体坐标整体坐标局部坐标局部坐标局部坐标局部坐标FPx
15、y12第十三章矩阵位移法第二节第二节 单元分析（单元分析（局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析 ） 2 2、局部坐标系中的单元刚度矩阵、局部坐标系中的单元刚度矩阵 采用局部坐标系（以杆的轴线作为采用局部坐标系（以杆的轴线作为x轴）时，杆端力及轴）时，杆端力及杆端位移的正方向以坐标轴正方向为正。杆端位移的正方向以坐标轴正方向为正。杆端杆端位移：位移：杆端内力：杆端内力：杆件方向：杆件方向： l13第十三章矩阵位移法第二节第二节 单元分析（单元分析（局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析 ） 2
16、2、局部坐标系中的单元刚度矩阵、局部坐标系中的单元刚度矩阵局部坐标局部坐标系下的单系下的单刚方程刚方程14第十三章矩阵位移法第二节第二节 单元分析（单元分析（局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析 ） 2 2、局部坐标系中的单元刚度矩阵、局部坐标系中的单元刚度矩阵刚度刚度系数的物理意义系数的物理意义：单元刚度矩阵是单元刚度矩阵是杆端杆端力与杆端位移之力与杆端位移之物理物理关系关系；矩阵的阶数与矩阵的阶数与杆杆端端位移分量数相等位移分量数相等； 表示表示 引起的杆端力引起的杆端力 的的大小。大小。15第十三章矩阵位移法第二节第二节 单元分析（单元
17、分析（局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析 ） 3 3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质单刚一般具有奇异性单刚一般具有奇异性：单刚具有对称性单刚具有对称性：由由反力反力互等定理可知互等定理可知受力角度受力角度：存在刚体位移，杆端位移无法唯一确定存在刚体位移，杆端位移无法唯一确定数学数学角度角度：向量相关向量相关，矩阵不可逆，行列式为零。，矩阵不可逆，行列式为零。16第十三章矩阵位移法第二节第二节 单元分析（单元分析（局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析局部坐标系下的单元分析 ） 3
18、3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质与单元刚度方程相应的正、反两类问题为不平衡力系时，为不平衡力系时， 无解；无解； 为平衡力系时，为平衡力系时， 有无穷多组解。有无穷多组解。为任何值时，为任何值时， 都都有对应的唯一解，且总有对应的唯一解，且总是平衡力系。是平衡力系。将单元视为两端自由的杆将单元视为两端自由的杆件，件， 直接加在自由端作直接加在自由端作为指定的杆端力。为指定的杆端力。将单元视为两端有人为将单元视为两端有人为约束控制的杆件。约束控制的杆件。 控制附加约束加以控制附加约束加以指定。指定。解的性质力学模型反问题正问题17第十三章矩阵位移法第三节第三节
19、单元分析（单元分析（整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析 ） 1 1、单元坐标转换矩阵、单元坐标转换矩阵 同类单元在局部坐标系中具有相同的简洁形式。但不同同类单元在局部坐标系中具有相同的简洁形式。但不同单元在复杂结构中方位不尽相同，在整体分析中，为使分量单元在复杂结构中方位不尽相同，在整体分析中，为使分量叠加方便，需选择一个统一公共坐标系叠加方便，需选择一个统一公共坐标系整体坐标系整体坐标系。按。按整体坐标系来建立各单元的刚度矩阵。整体坐标系来建立各单元的刚度矩阵。 局部坐标系局部坐标系整体坐标系整体坐标系变换变换变换变换18第十三章矩阵位移
20、法第三节第三节 单元分析（单元分析（整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析 ） 1 1、单元坐标转换矩阵、单元坐标转换矩阵整体坐标系下的分量整体坐标系下的分量局部坐标系下的分量局部坐标系下的分量xy两种坐标系中单元的两种坐标系中单元的杆端位移杆端位移转换关系为：转换关系为：用整体量表示局部量用整体量表示局部量？19第十三章矩阵位移法第三节第三节 单元分析（单元分析（整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析 ） 整体坐标系下的分量整体坐标系下的分量局部坐标系下的分量局部坐标系下的分量xy两种坐标系中
21、单元的两种坐标系中单元的杆端力杆端力转换关系为：转换关系为：1 1、单元坐标转换矩阵、单元坐标转换矩阵用局部量表示整体量用局部量表示整体量？20第十三章矩阵位移法第三节第三节 单元分析（单元分析（整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析 ） 整体坐标系下的单刚与局部坐标系下的单刚性质相同2 2、整体坐标系中的单元刚度矩阵、整体坐标系中的单元刚度矩阵21第十三章矩阵位移法第三节第三节 单元分析（单元分析（整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析整体坐标系下的单元分析 ） 3 3、整体坐标系中的单元刚度矩阵的特性、整体坐标系
22、中的单元刚度矩阵的特性整体坐标系中的单元刚度矩阵与局部坐标系中的整体坐标系中的单元刚度矩阵与局部坐标系中的单元刚度矩阵单元刚度矩阵有类似的特性有类似的特性（对称、奇异）。另外，（对称、奇异）。另外，局部坐标系中的单元刚度矩阵只与单元的几何形状、局部坐标系中的单元刚度矩阵只与单元的几何形状、物理常数有关；整体坐标系中的单元刚度矩阵不仅与物理常数有关；整体坐标系中的单元刚度矩阵不仅与单元的几何形状、物理常数有关，还与单元的位置和单元的几何形状、物理常数有关，还与单元的位置和方位有关。方位有关。 22第十三章矩阵位移法第四节第四节 整体分析整体分析 整体刚度方程是整体结构的结点力与结点位移之间的关系
23、整体刚度方程是整体结构的结点力与结点位移之间的关系式，是通过考虑结构的变形连续条件和平衡条件建立起来式，是通过考虑结构的变形连续条件和平衡条件建立起来的。无论何种结构，其整体刚度方程都具有统一的形式：的。无论何种结构，其整体刚度方程都具有统一的形式：K是整体刚度矩阵；是整体刚度矩阵；结构的结点位移列向量；结构的结点位移列向量；P结构的结点力列向量。结构的结点力列向量。利用结点位移协调和结点力平衡条件将各单元整合到一利用结点位移协调和结点力平衡条件将各单元整合到一利用结点位移协调和结点力平衡条件将各单元整合到一利用结点位移协调和结点力平衡条件将各单元整合到一起起起起, ,得到一个关于结点位移的线
24、性代数方程得到一个关于结点位移的线性代数方程得到一个关于结点位移的线性代数方程得到一个关于结点位移的线性代数方程集零为整集零为整1 1、整体刚度矩阵的集成、整体刚度矩阵的集成23第十三章矩阵位移法第四节第四节 整体分析整体分析 1 1、整体刚度矩阵的集成、整体刚度矩阵的集成 由变形连续条件知，结点发生单位位移，交于该结点的由变形连续条件知，结点发生单位位移，交于该结点的各单元的杆端也发生单位位移，由此产生的单元杆端力应是各单元的杆端也发生单位位移，由此产生的单元杆端力应是单元刚度矩阵中的元素。单元刚度矩阵中的元素。 结点单位位移产生的结点力是整体刚度矩阵中的元素。结点单位位移产生的结点力是整体
25、刚度矩阵中的元素。由平衡条件知交于某结点的各单元杆端力之和等于该结点的由平衡条件知交于某结点的各单元杆端力之和等于该结点的相应结点力。故整体刚度矩阵中的元素应是由对应的单元刚相应结点力。故整体刚度矩阵中的元素应是由对应的单元刚度矩阵中的元素叠加而成。度矩阵中的元素叠加而成。综上所述，整体刚度矩阵可以根据单元的结点位移综上所述，整体刚度矩阵可以根据单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对应关系，由单元刚度分量的局部码和总码之间的对应关系，由单元刚度矩阵集成结构整体刚度矩阵。矩阵集成结构整体刚度矩阵。24第十三章矩阵位移法第四节第四节 整体分析整体分析 FPxyFR1FR2FR3FR41(1,2)
26、2(3,4)213(5,6)FPFR1FR2FR3FR41 1、整体刚度矩阵的集成、整体刚度矩阵的集成离散25第十三章矩阵位移法第四节第四节 整体分析整体分析 分别写出整体坐标系下单元刚度方程分别写出整体坐标系下单元刚度方程1 1、整体刚度矩阵的集成、整体刚度矩阵的集成26第十三章矩阵位移法第四节第四节 整体分析整体分析 将离散单元集合时应满足位移协调和平衡条件将离散单元集合时应满足位移协调和平衡条件位移协调位移协调121(1,2)2(3,4)3(5,6)FP1 1、整体刚度矩阵的集成、整体刚度矩阵的集成27第十三章矩阵位移法第四节第四节 整体分析整体分析 将离散单元集合时应满足位移协调和平衡
27、条件将离散单元集合时应满足位移协调和平衡条件结点平衡结点平衡121(1,2)2(3,4)3(5,6)FPFR1FR2FR3FR41 1、整体刚度矩阵的集成、整体刚度矩阵的集成28第十三章矩阵位移法第四节第四节 整体分析整体分析 1 1、整体刚度矩阵的集成、整体刚度矩阵的集成集成整体刚度矩阵的关键，是确定单元刚度矩阵中的元素在整集成整体刚度矩阵的关键，是确定单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的位置。体刚度矩阵中的位置。 首先要知道单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对首先要知道单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对应关系，即应关系，即单元定位向量单元定位向量。它是单元结点位移总码按局部码顺
28、。它是单元结点位移总码按局部码顺序排列而成的向量记为序排列而成的向量记为 。单元结点分量按单元定位向量向整体刚度矩阵安装单元结点分量按单元定位向量向整体刚度矩阵安装12(5,6)(1,2)(3,4)1 12 23 3FPxy29第十三章矩阵位移法第四节第四节 整体分析整体分析 1 1、整体刚度矩阵的集成、整体刚度矩阵的集成将单元刚度矩阵按单元定位向量扩展为单元贡献矩阵将单元刚度矩阵按单元定位向量扩展为单元贡献矩阵（换码扩阵）（换码扩阵）30第十三章矩阵位移法第四节第四节 整体分析整体分析 1 1、整体刚度矩阵的集成、整体刚度矩阵的集成按位叠加得整体刚度矩阵按位叠加得整体刚度矩阵31第十三章矩阵
29、位移法第四节第四节 整体分析整体分析 1 1、整体刚度矩阵的集成、整体刚度矩阵的集成按位叠加得整体刚度矩阵按位叠加得整体刚度矩阵32第十三章矩阵位移法第四节第四节 整体分析整体分析 根据集成法原理，计算过程分步进行：根据集成法原理，计算过程分步进行：1 1、整体刚度矩阵的集成、整体刚度矩阵的集成33第十三章矩阵位移法第四节第四节 整体分析整体分析 1 1、整体刚度矩阵的集成、整体刚度矩阵的集成整体刚度矩阵集整体刚度矩阵集成的两步可以合成一步完成：成的两步可以合成一步完成：边换码，边叠加，对号入座边换码，边叠加，对号入座(1) (1) 将将 k e 中元素重新在中元素重新在 K e 中定位中定位
30、 结点量值的两种编码：总码、局码；结点量值的两种编码：总码、局码； 量值分量在两种编码中的对应关系，由量值分量在两种编码中的对应关系，由单元定单元定位向量位向量来表示；来表示；(2) 将所有将所有 ke 叠加生成叠加生成 K 单刚元素在单元刚阵中按局码顺序排列；而在单元单刚元素在单元刚阵中按局码顺序排列；而在单元贡献阵中按总码顺序排列，即需要贡献阵中按总码顺序排列，即需要“换码重排座换码重排座”34第十三章矩阵位移法第四节第四节 整体分析整体分析 2 2、整体刚度矩阵系数的物理意义、整体刚度矩阵系数的物理意义1. 1. 对称性对称性3. 3. 稀疏性稀疏性整体整体刚度矩阵是刚度矩阵是结点结点力
31、与力与结点结点位移之位移之间间的的物理物理关系关系；矩阵的阶数与矩阵的阶数与结点结点位移分量数相等；位移分量数相等；Kij表示表示第第j 个结点位移分量为个结点位移分量为1 1 时，第时，第i 个个结点力分量结点力分量的大小。的大小。3 3、整体刚度矩阵的性质、整体刚度矩阵的性质2. 2. 奇异性奇异性35第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 由前面的分析得到整体刚度矩阵和结点荷载列阵，形由前面的分析得到整体刚度矩阵和结点荷载列阵，形成关于结点位移的线性代数方程组；求解线性方程组成关于结点位移的线性代数方程组；求解线性方程组可以得到结点位移列阵；利用结点位移列阵计算杆端可以得到结点
32、位移列阵；利用结点位移列阵计算杆端内力。内力。计算结点位移计算结点位移由定位向量由定位向量由定位向量由定位向量 e e 提取单元杆端位移提取单元杆端位移提取单元杆端位移提取单元杆端位移36第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 FPxyl1l2EA EA = 750= 750l l1 1 = 4= 4l l2 2 = 3= 3F FP = 40= 40解解解解: 1.: 1.离散化离散化离散化离散化局码局码12总码总码位移码位移码单元编码单元编码(5,6)(1,2)(3,4)1 12 23 3FPxy例题：用矩阵位移法求结构内力。用矩阵位移法求结构内力。37第十三章矩阵位移法第五节第
33、五节 内力计算内力计算 FPxyl1l2例题：用矩阵位移法求结构内力。用矩阵位移法求结构内力。2. 2. 计算局部单刚计算局部单刚计算局部单刚计算局部单刚3. 3.求变换矩阵求变换矩阵求变换矩阵求变换矩阵解解解解: 1. : 1. 离散化离散化离散化离散化38第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 FPxyl1l2例题：用矩阵位移法求结构内力。用矩阵位移法求结构内力。2. 2. 计算局部单刚计算局部单刚计算局部单刚计算局部单刚3. 3.求变换矩阵求变换矩阵求变换矩阵求变换矩阵解解解解: 1. : 1. 离散化离散化离散化离散化1 12 25 56 61 2 5 61 2 5 61 1
34、2 23 34 45 56 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 64. 4.求单刚扩展矩阵求单刚扩展矩阵求单刚扩展矩阵求单刚扩展矩阵39第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 FPxyl1l2例题：用矩阵位移法求结构内力。用矩阵位移法求结构内力。2. 2. 计算局部单刚计算局部单刚计算局部单刚计算局部单刚3. 3.求变换矩阵求变换矩阵求变换矩阵求变换矩阵解解解解: 1. : 1. 离散化离散化离散化离散化3 34 45 56 63 4 5 63 4 5 61 12 23 34 45 56 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 64. 4.求单刚扩展矩阵求单刚扩展矩阵求单
35、刚扩展矩阵求单刚扩展矩阵40第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 FPxyl1l2例题：用矩阵位移法求结构内力。用矩阵位移法求结构内力。5. 5. 叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵41第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 FPxyl1l2例题：用矩阵位移法求结构内力。用矩阵位移法求结构内力。5. 5. 叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵42第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 FPxyl1l2例题：用矩阵位移法求结构内力。用矩阵位移法求结构内力。5. 5. 叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵
36、6. 6. 求结点荷载列阵求结点荷载列阵求结点荷载列阵求结点荷载列阵43第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 FPxyl1l2例题：用矩阵位移法求结构内力。用矩阵位移法求结构内力。5. 5. 叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵6. 6. 求结点荷载列阵求结点荷载列阵求结点荷载列阵求结点荷载列阵7. 7. 引入边界位移引入边界位移引入边界位移引入边界位移44第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 FPxyl1l2例题：用矩阵位移法求结构内力。用矩阵位移法求结构内力。5. 5. 叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵6. 6. 求结点荷
37、载列阵求结点荷载列阵求结点荷载列阵求结点荷载列阵7. 7. 引入边界位移引入边界位移引入边界位移引入边界位移8. 8. 结点位移计算结点位移计算结点位移计算结点位移计算45第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 FPxyl1l2例题：用矩阵位移法求结构内力。用矩阵位移法求结构内力。5. 5. 叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵6. 6. 求结点荷载列阵求结点荷载列阵求结点荷载列阵求结点荷载列阵7. 7. 引入边界位移引入边界位移引入边界位移引入边界位移8. 8. 结点位移计算结点位移计算结点位移计算结点位移计算9. 9. 杆件内力计算杆件内力计算杆件内力计算杆件
38、内力计算46第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 FPxyl1l2例题：用矩阵位移法求结构内力。用矩阵位移法求结构内力。5. 5. 叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵6. 6. 求结点荷载列阵求结点荷载列阵求结点荷载列阵求结点荷载列阵7. 7. 引入边界位移引入边界位移引入边界位移引入边界位移8. 8. 结点位移计算结点位移计算结点位移计算结点位移计算9. 9. 杆件内力计算杆件内力计算杆件内力计算杆件内力计算支座反力支座反力支座反力支座反力47第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 FPxyl1l2例题：用矩阵位移法求结构内力。用矩阵位移法求结构内
39、力。5. 5. 叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵6. 6. 求结点荷载列阵求结点荷载列阵求结点荷载列阵求结点荷载列阵7. 7. 引入边界位移引入边界位移引入边界位移引入边界位移8. 8. 结点位移计算结点位移计算结点位移计算结点位移计算9. 9. 杆件内力计算杆件内力计算杆件内力计算杆件内力计算10. 10. 绘内力图和反力绘内力图和反力绘内力图和反力绘内力图和反力FPxy-40-3003050-3048第十三章矩阵位移法第五节第五节 内力计算内力计算 运算步骤运算步骤运算步骤运算步骤a.a.离散化：划分单元、编码离散化：划分单元、编码d.d.求整体单刚及其贡献矩阵求整体单刚及其贡献矩阵b.b.计算局部单刚计算局部单刚c.c.求变换矩阵求变换矩阵e.e.叠加求整体刚阵叠加求整体刚阵g.g.引入边界条件引入边界条件h.h.结点位移计算结点位移计算j.j.绘制内力图和反力绘制内力图和反力i.i.求单元内力和支座反力求单元内力和支座反力f.f.叠加求结点荷载列阵叠加求结点荷载列阵49
