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1、1 在静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达兰贝尔原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。210-1基本概念基本概念 一、约束及约束方程一、约束及约束方程约束：限制质点或质点系运动的条件。约束：限制质点或质点系运动的条件。约束方程：表示约束的限制条件的数学方程。约束方程：表示约束的限制条件的数学方程。 平面单摆例如例如
2、：曲柄连杆机构3 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：二、约束的分类二、约束的分类1、几何约束和运动约束、几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束几何约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。 不仅限制质点（系）的位置而且限制其速度，这种约束条件称为运动约束运动约束。例如：例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。4几何约束：运动约束： 当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束非定常约束。 约束条件不随时间改变的约束为定常约束定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。2、定常约束和非定常约
3、束、定常约束和非定常约束例如例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t 5 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且不能经过积分运算消除，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。 3、完整约束和非完整约束、完整约束和非完整约束 如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽含有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束完整约束。6 在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限
4、制的约束称为双面约束双面约束。只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束单面约束。 例如：例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程，但经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。 4、单面约束和双面约束、单面约束和双面约束 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。刚杆x2+y2=l2绳x2+y2 l27 双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质点系的质点个数）二、自由度和广义坐标二、自由度和广义
5、坐标1.自由度自由度 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立坐标（x，y，z），确定n 个自由质点在空间的位置需要3n个独立坐标；确定一个自由质点在平面的位置需要两个独立坐标（x，y）（约束方程z=0）。8 确定质点系位置的独立坐标数 约束方程 4 zA=0， zB=0 3 除前述外，还有： （xB-xA）2+（yB-yA）2=l2 1 除前述外，还有： xA2+ yA2=a2 (xB c)2+ yB2=b29定义定义：确定一个受完整约束的质点系在空间的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度自由度，用k表示，则： 由此可知：质点系受到约束，决定质点系位置的独立坐标
6、就减少，每增加一个约束，就增加一个约束方程，独立坐标就减少一个。 一般地，由n个质点组成的非自由质点系，受s个完整约束，其独立坐标数为k=3n-s 。只要给定k个坐标，质点系的位置就可完全确定，其余s个坐标由约束方程决定。因此：对空间：k=3n-s n质点数对平面： k=2n-s s约束方程数102.广义坐标广义坐标 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x, y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目=自由度数目。 通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k 个相互独立的参数，要比用3n个直角坐标和s个约束
7、方程方便得多。定义定义：确定质点系位置的独立参数， 称为广义坐标广义坐标。例如双锤摆用两个广义坐标 、表示。11例如例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则： 广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。广义坐标函数广义坐标函数12 例如例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。两个自由度 取广义坐标，13 一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、q2、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。14 1.定义：定义：质点或质点系为约束允许约束允许的任何的微小位移微小位移，称为质点或质点系的虚位移虚位移。 虚位移可以是线
8、位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示虚位移。三、三、虚位移虚位移一般地，若质点可能有的运动轨迹是一曲线，则虚位移与轨迹相切。15 虚位移与真正运动时发生的实位移不同虚位移与真正运动时发生的实位移不同。 实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。质点静止时没有实位移但有虚位移。 实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。 在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移
9、之一。16 质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系, 确定这些关系通常有两种方法： 几何法几何法。本章研究的是定常约束，在定常约束下微小实位移实虚位移中的一个。由运动学知，质点的位移与速度成正比，因此可以用运动学中分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。2.各点虚位移之间的关系各点虚位移之间的关系17 解析法解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（ q1,q2,qk），广义坐标分别有变分 ，各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为18例例1 分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l )解解：此为一个自由度系统，取OA杆与x 轴夹
10、角为广义坐标。1、几何法、几何法注意：几何法要在图上注意：几何法要在图上标出各点虚位移！标出各点虚位移！给OA杆一虚位移，则19取为广义坐标，将点的坐标表示成的函数，得2、解析法、解析法 (OC=BC= a， OA=l )对 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：注意：解析法要用固定坐标！注意：解析法要用固定坐标！20 如果约束反力在质点系的任何虚位移中的所有的元功之和等于零，则称这种约束为理想约束。理想约束。 质点系受有理想约束的条件：四、四、理想约束理想约束力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚元功虚元功，记为W ：21理想约束的典型例子如下：2、光滑铰链1、光滑支承面223、刚体在粗糙
11、面上的纯滚动4、无重刚杆5、不可伸长的柔索2310-2 虚位移原理虚位移原理 一、虚位移原理一、虚位移原理 具有定常理想约束的质点系在给定位置静止平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的元功之和等于零。即24 证明证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有 质点系处于平衡 任一质点Mi也平衡。对质点Mi 的任一虚位移 ，有由于是理想约束所以对整个质点系：25 (2) 充分性：即当质点系满足 ，质点系一定平衡。若 ，假设质点系不平衡，则至少有一个质点（设为第i个质点）不平衡，则有 在 方向上产生实位移 ，取 ，则对质点系：(理想约束下， )与前述条件矛盾故 时质点
12、系必处于平衡。26 二、虚位移原理的应用二、虚位移原理的应用1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置；3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；4、求平衡构架内二力杆的内力。解析式解析式虚位移原理还可写成：Firi cosi=0iFi与ri之间的夹角； Xi 、 Yi 、 Zi 及xi、 yi 、zi主动力Fi及ri在x、y、x轴上的投影。上三式均称为静力学普遍方程，实际应用时,用两式。27例例1 椭圆规机构，连杆AB长l，杆重及各处摩擦不计，求在图示位置平衡时，主动力P和Q之间的关系。解解：研究整个机构。系统受理想完整定常约束。281、几何法、
13、几何法：使A发生虚位移 ，B的虚位移 ，则由虚位移原理，得：由 的任意性，得29 2、解析法、解析法 系统为单自由度， 取为广义坐标。由于 任意，故 由虚位移原理：30解解：此系统具有两个自由度，取角及为广义坐标。 例例2 均质杆OA及AB在A点铰接，两杆各长2a和2b，各重P1及P2，B点作用有水平力 F ，求平衡时的角及 。（教材例10-4）y31应用虚位移原理：代入(a)式，得：解法一：解析法解法一：解析法32由于 是彼此独立的，所以：由此解得：33而代入上式，得解法二：几何法解法二：几何法 先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的一组虚位移，如图所示。34 再使 保持不变，而使 获
14、得变分 ，得到系统的另一组虚位移，如图所示。而代入上式后，得：图示中：35例例3 多跨静定梁，求支座B处反力。解解：将支座B 除去，代入相应的约束反力 。由虚位移原理：36注意：注意：用虚位移原理求约束反力，每次只能解除一个约束每次只能解除一个约束，代之以相应的约束反力，并视为主动力。要求多个约束反力，依次一个一个解除约束。由（*）得：37例例4 直杆AB通过滑套D带动杆CD在铅直滑道上滑动。已知=0o时，弹簧为原长，弹簧k=5(kN/m)，求在任意位置（ 角）平衡时，加在AB杆上的力偶矩M= ？解解：本题是已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系。一个自由度，以为广义坐标。38以系统为研究
15、对象：去掉弹簧代之以弹性力。由虚位移原理：方法一：几何法给AB一虚位移，则：由点的复合运动：39方法二：解析法由虚位移原理：注意：M dq的正负？F呢？40例例5 两均质杆A1B1与A2B2各长l1、l2，各重P1、P2，放在如图位置，接触处均光滑。求平衡时的1 、2关系。（教材习题10-7）解：系统为一自由度（1）解析法建立如图坐标，则41由虚位移原理：代入（*）得：42（2）几何法 给B点一虚位移rB，各点虚位移如图43由虚位移原理：将代入r1、 r2 （*）得.44教材习题10-12（b），习题集17-845教材习题10-13，习题集17-746作业答案：P=25N47 以不解除约束的理
16、想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。 若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：1、正确选取研究对象：、正确选取研究对象：48 2、正确进行受力分析、正确进行受力分析： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦 力和待求的约束反力。 3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系
17、、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。 4、应用虚位移原理建立方程。、应用虚位移原理建立方程。 5、解虚功方程求出未知数。、解虚功方程求出未知数。49 设质点系受理想约束，任取一质点：质点根据达兰贝尔原理，加上惯性力，则：10-3动力学普遍方程动力学普遍方程对整个质点系：给质点系任一虚位移，应用虚位移原理，有：对理想约束，有50 解析式： 即： 受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。动力学普遍方程，又称达兰贝尔拉格朗日方程。不考虑内力。解题时，解题时，一般不必按上式建立方程，只需画上主动力，再只需画上主动力，再虚加惯性力及惯性
18、力偶，然后同解静力学问题一样用虚位移虚加惯性力及惯性力偶，然后同解静力学问题一样用虚位移原理求解。原理求解。51动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。适用于具有理想约束或双面约束的系统。适用于具有理想约束或双面约束的系统。适用于具有理想约束或双面约束的系统。动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于既适用于具有定常约束的系统，也适用于既适用于具有定常约束的系统，也适用于既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。具有非定常约束的系统。具有非定常约束的系统。具有非定常约束的系
19、统。动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于既适用于具有完整约束的系统，也适用于既适用于具有完整约束的系统，也适用于既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。具有非完整约束的系统。具有非完整约束的系统。具有非完整约束的系统。动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有既适用于具有有势力的系统，也适用于具有既适用于具有有势力的系统，也适用于具有既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。无势力的系统。无势力的系统。无势力的系统。52 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学
20、普遍方程动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问主要应用于求解动力学第二类问主要应用于求解动力学第二类问主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。题，即：已知主动力求系统的运动规律。题，即：已知主动力求系统的运动规律。题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用应用应用应用 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重求解系统运动规律时，重求解系统运动规律时，重求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。要的是正确分析运动，并在系统
21、上施加惯性力。 由于由于由于由于 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，中不包含约束力，因此，中不包含约束力，因此，中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。不需要解除约束，也不需要将系统拆开。不需要解除约束，也不需要将系统拆开。不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 应用应用应用应用 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和，需要正确分析主动力和，需要正确分析主动力和，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。惯性力作用点的虚位移，
22、并正确计算相应的虚功。惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。动力学普遍方程的应用动力学普遍方程的应用53 例例6 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。试求三棱柱A的加速度。 解解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，具有两个自由度。给A向左的虚位移rA，B相对A的虚位移rBr54 由动力学普遍方程：因为 为互不相关的 独立虚位移，所以 解得：55例例例例 题题题题 7 7已知：已知：已知：已知： m m ，R, fR, f ， 。求：圆盘纯滚时质心的加速度。求：圆盘纯滚时质心的加速度。求：圆盘纯滚时质心的加速度。求：圆
23、盘纯滚时质心的加速度。CmgaCF FIRIR MMICIC x x解：解：解：解：1 1、分析运动，施加惯性力、分析运动，施加惯性力、分析运动，施加惯性力、分析运动，施加惯性力 2 2、本系统有一个自由度，、本系统有一个自由度，、本系统有一个自由度，、本系统有一个自由度，令其有一虚位移令其有一虚位移令其有一虚位移令其有一虚位移 x x。3 3、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程其中：其中：其中：其中：56例例例例 题题题题 8 8离心调速器离心调速器离心调速器离心调速器已知：已知：已知：已知：m m1 1球球球球A A、B B 的质量；的质量；的质
24、量；的质量；m m2 2重锤重锤重锤重锤C C 的质量；的质量；的质量；的质量；l l杆件的长度；杆件的长度；杆件的长度；杆件的长度； O O1 1 y y1 1轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。求：求：求：求： 的关系。的关系。的关系。的关系。 B BA AC Cl ll ll ll l O O1 1x x1 1y y1 1解：解：解：解： 不考虑摩擦力，这一系统不考虑摩擦力，这一系统不考虑摩擦力，这一系统不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一的约束为理想约束；系统具有一的约束为理想约束；系统具有一的约束为理想约束；系统具有一个自由度。取广义坐标个自
25、由度。取广义坐标个自由度。取广义坐标个自由度。取广义坐标 q q = = 1 1、分析运动、确定惯性力、分析运动、确定惯性力、分析运动、确定惯性力、分析运动、确定惯性力 球球球球A A、B B绕绕绕绕 y y轴等速转动；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。球球球球A A、B B的惯性力为的惯性力为的惯性力为的惯性力为F FI IB BF FI IA Am m1 1g gm m2 2g gm m1 1g g57 B BA AC Cl ll ll ll l O O1 1x x1 1y y1 1F FI IB BF FI IA Am m1 1g
26、 gm m2 2g gm m1 1g g r rC C r rB B r rA A2 2、令系统有一虚位移、令系统有一虚位移、令系统有一虚位移、令系统有一虚位移 。A A、B B、C C 三处的三处的三处的三处的虚位移分别为虚位移分别为虚位移分别为虚位移分别为 r rA A、 r rB B、 r rC C 。3 3、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程根据几何关系，有根据几何关系，有根据几何关系，有根据几何关系，有58 B BA AC Cl ll ll ll l O O1 1x x1 1y y1 1F FI IB BF FI IA Am m1 1g g
27、m m2 2g gm m1 1g g r rC C r rB B r rA A3 3、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程59x xO Oy yC C2 2D D求：求：求：求：1 1、三棱柱后退的加速度、三棱柱后退的加速度、三棱柱后退的加速度、三棱柱后退的加速度a a1 1； 2 2、圆轮质心圆轮质心圆轮质心圆轮质心C C2 2相对于相对于相对于相对于三棱三棱三棱三棱 柱加速度柱加速度柱加速度柱加速度a ar r。C C1 1A AC CB B 例题例题例题例题8 8 质量为质量为质量为质量为m m1 1的的的的三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱ABCABC通
28、过滚轮搁置在光滑的水平面上。通过滚轮搁置在光滑的水平面上。通过滚轮搁置在光滑的水平面上。通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为质量为质量为质量为m m2 2、半径为、半径为、半径为、半径为R R的均质圆轮沿的均质圆轮沿的均质圆轮沿的均质圆轮沿三棱柱的斜面三棱柱的斜面三棱柱的斜面三棱柱的斜面ABAB无滑动地滚下。无滑动地滚下。无滑动地滚下。无滑动地滚下。解：解：解：解：1 1、分析运动、分析运动、分析运动、分析运动三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为 a a1 1。 圆轮作平面运动，质心的牵连圆轮作平面运动，质心的牵连圆轮作平面运动，质心的牵连圆
29、轮作平面运动，质心的牵连加速度为加速度为加速度为加速度为a ae e= = a a1 1 ；质心的相对加质心的相对加质心的相对加质心的相对加速度为速度为速度为速度为a ar r；圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为 2 2。a a1 1a ae ea ar r2 260x xO Oy yC C2 2D DC C1 1A AC CB B a a1 12 2m m1 1g gm m2 2 g gF FI I1 1F FI I 2 e 2 eF FI I 2 r 2 rMMI2I2a ae ea ar r解：解：解：解：2 2、施加惯性力、施加惯性力、施加惯性力、施加惯性
30、力解：解：解：解：3 3、确定虚位移、确定虚位移、确定虚位移、确定虚位移 考察三棱柱和圆盘组成的考察三棱柱和圆盘组成的考察三棱柱和圆盘组成的考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。系统，系统具有两个自由度。系统，系统具有两个自由度。系统，系统具有两个自由度。 第一组第一组第一组第一组第二组第二组第二组第二组 二自由度系统具有两组虚二自由度系统具有两组虚二自由度系统具有两组虚二自由度系统具有两组虚位移：位移：位移：位移： x x 61x xO Oy yC C2 2D DC C1 1A AC CB B m m1 1g gm m2 2 g gF FI I1 1F FI I 2 e 2 eF FI I 2 r 2 rMMI2I2 解：解：解：解：4 4、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程令：令：令：令：62x xO Oy yC C2 2D DC C1 1A AC CB B m m1 1g gm m2 2 g gF FI I1 1F FI I 2 e 2 eF FI I 2 r 2 rMMI2I2解：解：解：解：4 4、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程令：令：令：令： x x63 解：解：解：解：5 5、求解联立方程、求解联立方程、求解联立方程、求解联立方程6465
