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1、精 品 数 学 课 件2019 届 北 师 大 版 2数学归纳法数学归纳法3一、教学目标：一、教学目标：1、使学生了解归纳法、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。理解数学归纳的原理与实质。2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法数学归纳法”证证明简单的与自然数有关的命题。明简单的与自然数有关的命题。3、培养学生观察、培养学生观察, 分析分析, 论证的能力论证的能力, 进一步发展学生的抽象进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比体会类比的数学思想。的数学思想。4
2、、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想先猜想后证明后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。和科学精神。4二、教学重点：二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。教学难点：教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。明确数学归纳
3、法的两个步骤的必要性并正确使用。三、教学方法：三、教学方法：探析归纳，讲练结合探析归纳，讲练结合四、教学过程四、教学过程5数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）时结论正确；等）时结论正确； （2）假设时假设时 结论正确，证明结论正确，证明 时结论也正确时结论也正确 递推基础递推基础递推依据递推依据“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真用上假设，递推才真”注注注注 意：意：意：意：1、一定要用到归纳假设；、一定要用到归纳假设；2、看清从、看清从k到到k1中间的变化
4、。中间的变化。6(1)在第一步中的初始值不一定从在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据取起，证明时应根据具体情况而定具体情况而定.练习练习1:欲用数学归纳法证明欲用数学归纳法证明2nn2,试问试问n的第一个取的第一个取值应是多少值应是多少?答答:对对n=1,2,3,逐一尝试逐一尝试,可知初始值为可知初始值为n=5.证明中需要注意的问题证明中需要注意的问题练习练习2:用数学归纳法证明用数学归纳法证明3nn2.此题在第二步的证明过程中在假设此题在第二步的证明过程中在假设n=k时时,3kk2成立成立的基础上的基础上,当当n=k+1时时, 要说明此式大于零要说明此式大于零,则必须则必须k2.故
5、在故在证明的第一步中明的第一步中,初始值应取初始值应取1和和2两个值两个值.7(2)在第二步中在第二步中,证明证明n=k+1命题成立时命题成立时,必须用到必须用到n=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系间的逻辑递推关系,造成推理无效造成推理无效. 8练习练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程的过程.你认为他的证法正确吗你认为他的证法正确吗?为什么为什么 (1).当当n=1时时,左边左边= , 右边右边= (2).假设假设n=k时命题成立时命题成立 即即那么那么n=k+1时时, 左
6、边左边 =右边右边,即即n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由(1)(2)知知,对一切自然数对一切自然数,命题均正确命题均正确. 9(3)在证明在证明n=k+1命题成立用到命题成立用到n=k命题成立时命题成立时,要分要分析命题的结构特点析命题的结构特点,分析分析“n=k+1时时”命题是什么，并命题是什么，并找出与找出与“n=k”时命题形式的差别时命题形式的差别.弄清应增加的项弄清应增加的项.1 1. .已知已知: ,: ,则则 等于等于( )( ) A: B: A: B: C: D: C: D: C练习：练习：10例例1:已知数列已知数列 计算计算 ,根据计算的结果根据计算的结果,猜想猜想
7、 的表达式的表达式,并用数学归纳法进行证明并用数学归纳法进行证明.11例例2:2:是否存在常数是否存在常数a a、b,b,使得等式使得等式: : 对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立, ,并证明你的结论并证明你的结论. .点拨点拨: :对这种类型的题目对这种类型的题目, ,一般先利用一般先利用n n的的特殊值特殊值, ,探求出待定系数探求出待定系数, ,然后用数学归纳然后用数学归纳法证明它对一切正整数法证明它对一切正整数n n都成立都成立. .解解: :令令n=1,2,n=1,2,并整理得并整理得以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明: :12(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论
8、正确时结论正确, ,即即: :则当则当n=k+1n=k+1时时, ,故当故当n=k+1n=k+1时时, ,结论也正确结论也正确. .根据根据(1)(1)、(2)(2)知知, ,对一切正整数对一切正整数n,n,结论正确结论正确. .(1)(1)当当n=1n=1时时, ,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确. .13分析分析: :找到找到“递推关系递推关系”就等于把握住解决问题的就等于把握住解决问题的“灵魂灵魂”。有几项？有几项？ 是什么是什么, ,它比它比多出了多少，是首要问题。多出了多少，是首要问题。例例3对于对于n N*用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：事实上f(k+1)不但比f（k）
9、多一项，而且前k项中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4k f(k+1)=f(k)+1+2+3+k14证明：设证明：设f(n)=(1)当当n1时，左边时，左边1，右边，右边1，等式成立，等式成立 (2)设当设当nk,时等式成立，即时等式成立，即则则n=k+1时，时，f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)=f(k)+1+2+3+k+(k+1) 由（由（1）（）（2）可知当）可知当n N*时等式都成立。时等式都成立。15练习、求证练习、求证: :( (n+1)(n+2)n+1)(n+2)(n+n)=2(n+n)=2n n
10、1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)证明：证明： n=1n=1时：左边时：左边=1+1=2=1+1=2，右边，右边=2=21 11=21=2，左边，左边= =右边，等右边，等 式成立。式成立。 假设当假设当n=k(kN n=k(kN ）时有：）时有： (k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+k)=2(k+k)=2k k 1 1 3 3 (2n-1), (2n-1), 当当n=k+1n=k+1时：时： 左边左边=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)
11、(k+3)(k+k)(k+k) = 2 = 2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2 = 2 = 2k+1k+11 1 3 3 (2k-1) (2k-1) 2(k+1)-1=2(k+1)-1=右边，右边， 当当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。 由由 、可知，对一切可知，对一切nN ,nN ,原等式均成立。原等式均成立。 16归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；数学归纳法的科学性：基础正确；可传递； 数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；数学归纳
12、法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论； 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷由有限到无穷 课课堂堂小小结结17数学归纳法的基本思想：数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用运用“有限有限”的手段来解决的手段来解决“无限无限”的问题的问题数学归纳法的核心数学归纳法的核
13、心: 在验证命题在验证命题n=n0正确的基础上正确的基础上,证明命题具有传递性证明命题具有传递性,而而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。实现了有限到无限的飞跃。课课堂堂小小结结18用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确首取值明确首取值n n0 0并验证真假。（必不可少）并验证真假。（必不可少）“假设假设n=kn=k时命题正确时命题正确”并写出命题形式。并写
14、出命题形式。分析分析“n=k+1n=k+1时时”命题是什么，并找出与命题是什么，并找出与“n=kn=k”时时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。命题形式的差别。弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。假设。可明确为：可明确为：19重点：两个步骤、一个结论；重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。20: :平面内有平面内有n n条直线条直线, ,其中任何两条不平行其中任何两条不平行, ,任何三条任何三条不过同一点不过同一点, ,证明这证明这n n条直线把平面分成条直线把平面分成f(n)f(n)(n(n2 2+n+2)/2+n+2)/2个区域个区域. .作业作业 2.是否存在常数是否存在常数a、b、c使得等式使得等式对一切对一切 都成立，并证明你的结论。都成立，并证明你的结论。五、教后反思：五、教后反思：
