《中山大学信息光学习题课后答案--习题234章作业》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中山大学信息光学习题课后答案--习题234章作业（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、文档 习题 2 2.1 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。 (1) ( )rect(2 )nf xxn (2) ( )tri(2 )ng xxn 2.2 证明下列傅里叶变换关系式： (1) rect( )rect( )sinc( )sinc( )Fxy; (2) 22 ( ) ( )sinc ( )sinc ( )Fxy; (3) 1( , )F ; (4) 11sgn( )sgn( )iiFxy; (5) (sin)F nnx; (6) 222()/exyaF。 2.3 求x和(2 )xfx的傅里叶变换。 2.4 求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。 ( )tri
2、(1)tri(1)H ( )rect( /3)rect( )G 2.5 证明下列傅里叶变换定理： (1) 在所在( , )f x y连续的点上11 ( , ) ( , )(,)FF f x yF Ff x yfxy； (2) ( , ) ( , ) ( , )*( ( , )F f x y h x yF f x yF g x y。 2.6 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式： (1) 若0( )()rf rrr，则000( )2 J (2)rB f rrr; (2) 若1ar时( )1rfr ，而在其他地方为零，则11J (2 )J (2)( )raaB f r ; (3) 若( )( )rB
3、frF，则21( )rB f raa ; (4) 22eerB 2.7 设( , )g r在极坐标中可分离变量。证明若i( , )( )emrf rfr，则： i ( , )( i) eH ( )mmmrF f rfr 其中H m为m阶汉克尔变换：0( )2( )J (2)dmrrmHf rrf rrr。而( , ) 空间频率中的极坐标。(提示：i sinieJ ( )eaxkxkka) 文档 2.8 计算下列各式的一维卷积。 (1) 1rect* (23)2xx (2) 3rect* (4)* (1)2xxx (3) 1rect*comb( )2xx (4) sinrect( )2xx 2.
4、9 试用卷积定理计算下列各式。 (1) sinc( )*sinc( )xx (2) sinc( )sinc(2 )Fxx 2.10 用宽度为a的狭缝，对平面上强度分布 0( )2cos(2)f xx 扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。 2.11 利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N。 2.12 计算下面函数的相关。 (1) 1rect2x1rect2x (2) tri 21xtri 21x 2.13 应用傅里叶定理求下面积分。 (1) 2ecos(2)dxaxx (2) 2sinc ( )sin( )dxxx 2.14 求函数( )r
5、ect( )f xx和( )tri( )f xx的一阶和二阶导数。 2.15 试求下图所示函数的一维自相关。 2.16 试计算函数( )rect(3)f xx的一阶矩。 2.17 证明实函数( , )f x y的自相关是实的偶函数，即：( , )(,)ffffRx yRxy。 2.18 求下列广义函数的傅里叶变换。 (1) step( )x (2) sgn( ) x (3) 0sin(2)x 2.19 求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。 (1) ( )tri(1)tri(1)H xxx (2) ( )rect( /3)rect( )G xxx 2.20 表达式 文档 (
6、, )( , )* combcombxyp x yg x yXY 定义了一个周期函数，它在x方向上的周期为X，它在y方向上的周期为Y。 (a) 证明p的傅里叶变换可以写为： ( , ),nmnmnmPGXYXY 其中G是g的傅里叶变换。 (b) 当( , )rect 2rect 2xyg x yXY时，画出函数( , )p x y的图形，并求出对应的傅里叶变换( , )P 。 习题 3 3.1 设在一线性系统上加一个正弦输入：( , )cos2()g x yxy，在什么充分条件下，输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。 3.2 证明零阶贝塞尔函数
7、002J (2) r是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本征值是什么？ 3.3 傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试问： (a) 这个系统是线性的吗？ (b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？ 3.4 某一成像系统的输入是复数值的物场分布o( , )Ux y， 其空间频率含量是无限的， 而系统的输出是像场分布i( , )U x y。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间|xB，|yB之外恒等于零。 证明， 存在一个由点源的方形阵列所构成
8、的 “等效” 物体o( , )Ux y，它与真实物体oU产生完全一样的像iU，并且等产供效物体的场分布可写成： o0( , )( , )sinc(2)sinc(2)d d,22XYnmXYnmUx yUnBmBxyBB 3.5 定义： 1( , )d d(0,0)xyf x yx yf , 1( , )d d(0,0)FF 文档 分别为原函数( , )f x y及其频谱函数( , )F 的“等效面积”和“等效带宽” ，试证明： 1xy 上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。 3.6 已知线性不变系统的输入为：( )comb( )f xx。系统
9、的传递函数为rect( / )b。当1b 和3b 时，求系统的输出( )g x，并画出函数及其频谱。 3.7 对一个线性不变系统，脉冲响应为： ( )7sinc(7 )h xx 用频率域方法对下列的每一个输入( )if x，求其输出( )ig x(必要时，可取合理近似)： (1) 1( )cos4f xx (2) 2( )cos(4 )rect( /75)fxxx (3) 3( )1cos(8 )rect( /75)fxxx (4) 4( )comb( )*rect(2 )fxxx 3.8 给定正实常数0和实常数a和b，求证： (1) 若01|2b，则001sinc( / )*cos(2)co
10、s(2)|x bxxb (2) 若01|2b，则01sinc( / )*cos(2)0|x bxb (3) 若| |ba，则sinc( / )*sinc( / ) |sinc( / )x bx abx a (4) 若|2ab ，则22sinc( / )*sinc ( / ) |sinc ( / )x bx abx a 3.9 若限带函数( )f x的傅里叶变换在带宽w之外恒为零，(1) 如果1|aw，证明： 1sinc( / )*( )( )|x af xf xa (2) 如果1|aw，上面的等式还成立吗？ 3.10 给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波： 1( )comb( /3)rec
11、t( /100) *rect( )3g xxxx 若系统脉冲响应：( )rect(1)h xx。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的图形。 3.11 给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波 文档 1( )comb( /2)rect( /50) *tri( )2g xxxx 对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出： (1) ( )rect( /2)H (2) ( )rect( /4)rect( /2)H 3.12 若对函数：2( )sinc ()h xaax抽样，求允许的最大抽样间隔。 3.13 证明在频率平面上一个半径为B的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽
12、样定 理： 22122J 2(/ 2 )(/ 2 ) ( , ),22242(/ 2 )(/ 2 )nmBxnBymBnmg x ygBBBxnBymB 习 题 4 4.1 尺寸为a b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。 4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布： (1) 220000(,)circ()t xyxy (2) 2200001,1(,)0,axyt xy其它 4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： 00()cos(2/ )t xabxd 式中，d为光栅的周期，0ab。观察
13、平面与光栅相距z。当z分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 (1) 22rdzz (2) 22rzdz (3) 242rzdz 4.4 参看下图，用向P点会聚的单色球面波照明孔径。P点位于孔径后面距离为z的观察平面上，坐标为(0, )b。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。 文档 4.5 方向余弦为cos,cos，振幅为A的倾斜单色平面波照明一个半径为a的圆孔。 观察平面位于夫琅禾费区，也孔径相距为z。求衍射图样的强度分布。 4.6 环形孔径的外径为2a，内径为2 a(01)。其透射率可以表
14、示为： 001,( )0,arat r其他 用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强度分布。 4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a，中心距离为d()da。采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y方向截面图。 4.8 参看下图，边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在( , ) 点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z的观察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。画出0xy时，孔径频谱在x方向上的截面图。 文档 4.9 下图所示孔径由两个相同的矩
15、孔构成，它们的宽度为a，长度为b，中心相距d。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。假定4ba及1.5da，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。 4.10 下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即： 00()step()t xx 采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布。画出沿x方向的振幅分布曲线。 4.11 下图所示为宽度为a的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。画出沿x方向的截面图。
16、4.12 线光栅的缝宽为a，光栅常数为d，光栅整体孔径是边长L的正方形。试对下述条件，分别确定a和d之间的关系： (1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。 (2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。 4.13 衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为： 文档 000000(,)comb(/ )comb(/ )comb(0.1 )/ )comb(/ )t xyxaybxaayb 采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。画出沿x方向的截面图。 4.14 如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为n，齿宽为a，齿形角为，光栅的整体孔径为边长为L的正方形。 采用单位振幅的单色平面波垂直照明， 求相距光栅为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。 若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大，角应如何选择？ 4.15 衍射零是由mn个圆孔构成的方形列阵，它们的半径都为a，其中心在0x方向间距为xd，在0y方向间距为yd，采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。 4.16 在透明玻璃板上有大量(N)无规则分布的不透明小圆颗粒，它们的半径都是a。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
