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1、观察三棱柱各条棱所在直线的位置关系观察三棱柱各条棱所在直线的位置关系: :定义：定义：不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内的两条直线为的两条直线为异面直线异面直线空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系（1）从公共点的数目来看可分为：）从公共点的数目来看可分为： 有且只有一个公共点有且只有一个公共点,则两直线则两直线相交相交 两两平行平行直线直线 没有公共点则没有公共点则 两直线为两直线为异面异面直线直线（2）从平面的性质）从平面的性质 来讲，可分为：来讲，可分为： 两直线相交两直线相交 在同一平面内在同一平面内 两直线平行两直线平行 不在同一平面内
2、则两直线为异面直线。不在同一平面内则两直线为异面直线。2.1.2 2.1.2 空间中直线与直空间中直线与直线之间的位置关系线之间的位置关系( (一一) )公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行一、平行直线一、平行直线变形变形1:1:若把平面四边形若把平面四边形ABCDABCD延延ACAC折起折起. .问四边形问四边形EFGHEFGH的形状的形状. .例例2. P是三角形是三角形ABC所在平面外的一点，所在平面外的一点，D，E分别是分别是三角形三角形PAB和三角形和三角形PBC的重心的重心.求证：求证：DEAC， DE=(1/3)AC.PACBMNDE证
3、明：连接PD,PE并延长交AB,BC与M,N.连接MND，E分别是三角形PAB和三角形PBC的重心，M,N分别是三角形PAB和三角形PBC的中点MNAC且MN=1/2AC 在三角形PMN中,PD/PM=PE/PN=2/3DEMN,且DE=2/3MN 由(1)(2),根据公理4得DEAC， DE=1/3AC二、相交直线二、相交直线(1)(2)作图时，通作图时，通常用一个或常用一个或两个平面衬两个平面衬托托1.定义定义:不同在不同在任何任何一个平面内的两条直线叫做一个平面内的两条直线叫做异面直线异面直线.2.2.异面直线的画法异面直线的画法三、异面直线三、异面直线练习练习:两条异面直线指的是两条异
4、面直线指的是 ( )A. 没有公共点的两条直线没有公共点的两条直线B. 分别位于两个不同平面的两条直线分别位于两个不同平面的两条直线C. 某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D. 不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线定理定理: :空间中如果两个角的两边分别对应平行空间中如果两个角的两边分别对应平行, ,那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补. . 在平面内，若两条直线相交，我们用在平面内，若两条直线相交，我们用“夹角夹角”这一概念定量地刻画它们的关系。在空间中，这一概念定量地刻画它们的关系。在空间中，我们应该怎样刻画
5、两条异面直线的关系呢？我们应该怎样刻画两条异面直线的关系呢？3.异面直线所成角异面直线所成角已知两条异面直线已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点，经过空间任意一点O，分分别作直线别作直线a1a，b1b，我们把直线，我们把直线a1和和b1所成的所成的锐角（或直角）叫做锐角（或直角）叫做异面直线异面直线a和和b所成的角。所成的角。说明说明:异面直线异面直线a和和b所成的角的范围：所成的角的范围：异面直线异面直线a和和b所成的角的大小与点所成的角的大小与点O的位置无关；的位置无关；异面直线异面直线a和和b所成的角的作法步骤所成的角的作法步骤. aa1b1Ob aOb例例4. 如图，正方体中，求如
6、图，正方体中，求(1)A1D与与AC所成的角所成的角;(2)A1C1与与D1B所成的角所成的角.ABCDA1B1C1D1解法步骤：作，证，算解法步骤：作，证，算 特别地，如果两条异面直线所成的角是直角，特别地，如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直就说这两条异面直线互相垂直。H相交垂直相交垂直(有垂足有垂足)异面垂直异面垂直(无垂足无垂足)例例5.5.如图，在三棱锥如图，在三棱锥A ABCDBCD中，中，E E、F F分别是分别是ABAB、CDCD的中点，的中点，且且EFEF6 6，ACAC6 6，BDBD8 8，则，则异面直线异面直线ACAC与与BDBD的所成角的余弦值为
7、多少？的所成角的余弦值为多少？ABCDEFG说明说明：异面直线所成角的范围是：异面直线所成角的范围是（0 0， ，在把异在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当用余弦定理求其大小，当余弦值为负值余弦值为负值时，其对应时，其对应角为钝角，这角为钝角，这不符合不符合两条异面直线所成角的定义，两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。故其补角为所求的角，这一点要注意。4.4.异面直线的证法异面直线的证法例例6.6.求证求证: :平面外一直线平面外一直线与平面相交与平面相交, ,则此直线与则此直线与平面内不经
8、过这一交点平面内不经过这一交点的直线异面的直线异面. .ab异面直线的判定定理异面直线的判定定理: :平面外一直线与平面相交平面外一直线与平面相交, ,则此直线与平面内不经过这一交点的直线异面则此直线与平面内不经过这一交点的直线异面. .练练: :如图如图, ,a,ba,b是异面直线，是异面直线，E,FE,F分别是线段分别是线段A Ac c,BD,BD的中点的中点. .判断直线判断直线EFEF与与a a的位置关系的位置关系. .(2)(2)异面直线在同一平面的射影可能有几种情况？异面直线在同一平面的射影可能有几种情况？四、直线与直线的位置关系四、直线与直线的位置关系 例例8.(1)一条直线与两
9、条异面直线中的一条相交一条直线与两条异面直线中的一条相交,那那么它与另一条之间的位置关系么它与另一条之间的位置关系( ) A. 平行平行 B. 相交相交 C. 异面异面 D. 可能平行可能平行,可能相交可能相交,可能异面可能异面5.异异面面直线的距离直线的距离思考思考:和两条异和两条异面面直线都垂直的直线有多少条直线都垂直的直线有多少条？与这两条异与这两条异面面直线都垂直相交的直线有多少条？直线都垂直相交的直线有多少条？定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线定义：两条异面直线的公垂线在两条异面直线间的线段，叫定义：两条异面直
10、线的公垂线在两条异面直线间的线段，叫 两异面直线的距离两异面直线的距离例例9.9.设图中的正方体的棱长为设图中的正方体的棱长为a a，A1ABB1CDC1D1求求异面异面直线直线A A1 1B B与与CCCC1 1的距离的距离求求异面异面直线直线A A1 1B B与与B B1 1C C1 1的距离的距离求求异面异面直线直线ABAB与与A A1 1C C的距离的距离提示提示:异面直线所成的角和异面直线的距离异面直线所成的角和异面直线的距离2.已知已知a,b是异面直线，是异面直线，ca，那么，那么c与与b( )A.一定是异面关系一定是异面关系B. 一定是相交直线一定是相交直线 C. 不可能是平行直
11、线不可能是平行直线D. 不可能是相交直线不可能是相交直线如果两条直线如果两条直线a和和b没有公共点没有公共点,那么那么a与与b ( )A.共面共面 B. 平行平行B.C. 异面异面 D. 可能平行可能平行,也可能是异也可能是异面面变形变形2:2:若把平面四边形若把平面四边形ABCDABCD延延ACAC折起折起. G,F. G,F分分别为别为CD,CBCD,CB的中点且的中点且 问四边形问四边形EFGHEFGH的形状的形状. .例例2 2 如图，在三棱锥如图，在三棱锥A ABCDBCD中，中，E E、F F分别是分别是ABAB、CDCD的中点，的中点，且且EFEF5 5，ACAC6 6，BDBD8 8，则异面直线，则异面直线ACAC与与BDBD的所成的角为多少？的所成的角为多少？ABCDEFG和的边例例1、已知：并且方向相同（即向量与与的方向相同）求证：补充训练例2、如图，以知F 、 E是正方体的棱AD、的中点，求证：
