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1、一、最值定理一、最值定理(dngl)(dngl)1、定义(dngy)：设 f ( x )在 I 上有定义(dngy)，若都有，则称为 f(x)在 I 上的最大（小）值 M (m) .注意：1）f(x) 在 I 上的最值可能(knng)存在也可能(knng)不存在。例：f(x)=x 在 a,b 上有最大值b, 最小值a; 但在(a,b) 上没有最大值和最小值。2）最大值与最小值也可能相等。例:常值函数。3）最值是整体概念。4）最值的可能点：端点、极值点、不可导点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共20页第一页，共21页。2、a,b上的连续函数的最值定理上的连续函数的最值定理(dngl)
2、定理1.1.在闭区间上连续(linx)(linx)的函数即: 设则使值和最小值. .在该区间(q jin)(q jin)上一定有最大(证明略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：1）定理的条件充分不必要。第2页/共20页第二页，共21页。例如(lr),无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 2） 若函数(hnsh)在开区间上连续,结论不一定成立 .或在闭区间内有间断 点 ,第3页/共20页第三页，共21页。推论推论(tuln).二、零点(ln din)定理及介值定理2、定理(dngl) ( 零点定理(dngl) )至少有一点且使机动
3、目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 1、函数f(x)的零点：设f(x)在I上有定义，若使得则称为f(x)的零点。注意：1）即f(x)的零点为f(x)=0 的根。2）函数的零点即为y=f(x)与x轴的交点。（条件充分不必要！）第4页/共20页第四页，共21页。分析： 3、定理、定理(dngl)(介值定理介值定理(dngl)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点(y din)证: 作辅助(fzh)函数则且故由零点定理知, 至少有一点使即推论:使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、 第5页/共20页第五页，共21页。注意注意(zhy)：1）定理的条件(tiojin)充分不必要。2）证明的过程(guchng)实际上就给出了含有中间值的等式的方法。应用：1）证明含有中间值的等式。2）证明方程的根。例1、设证明：证明：分析：即求零点。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共20页第六页，共21页。故由零点(ln din)定理知：例2、设证明(zhngmng)：分析(fnx)：即求零点。证明：令易知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共20页第七页，共21页。且故由零点(ln din)定理知：例3、证明(zhngmng)：（证明(zhngmng)略.提示：令F(x
5、)=f(x)-g(x) ）例4、证明方程的根：1）证明：至少有一个根。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共20页第八页，共21页。证: 显然(xinrn)又故据零点定理(dngl), 至少存在一点使即至少(zhsho)有一个根2）证明：至少有一个根。证: 显然又故据零点定理, 至少存在一点即至少有一个根机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共20页第九页，共21页。3）.证明证明(zhngmng)方程方程一个(y )根 .证: 显然(xinrn)又故据零点定理, 至少存在一点使即说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有机动 目录
6、上页 下页 返回 结束 则则第10页/共20页第十页，共21页。内容内容(nirng)小结小结在上达到(d do)最大值与最小值;上可取(kq)最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共20页第十一页，共21页。练习练习(linx)1、设判断(pndun)f(x)的连续性。若有间断点，并确定类型。解：机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第12页/共20页第十二页，共21页。x =0为跳跃(tioyu)间断点。x 0, or x 0 时，f(x)为初等函数(hnsh)，连续。2、讨论(toln)函数的连续性：机动 目录
7、上页 下页 返回 结束 第13页/共20页第十三页，共21页。解：为无穷(wqing)间断点。为可去间断(jindun)点。为可去间断(jindun)点。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共20页第十四页，共21页。所以 x=0 为跳跃(tioyu)间断点。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第15页/共20页第十五页，共21页。3、设求 1）f(x) 2）讨论(toln) f(x) 的连续性。解：1）2）机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第16页/共20页第十六页，共21页。f(x) 在 x=1点连续(linx)，x=1为跳跃(tioyu)间断点。f(x
8、) 在 x=-1点连续(linx)，否则，x=-1为跳跃间断点。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共20页第十七页，共21页。1. 任给一张面积(min j)为 A 的纸片(如图),证明(zhngmng)必可将它思考思考(sko)与与练习练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共20页第十八页，共21页。备用备用(biyng)题题至少有一个(y )不超过 4 的 证：证明(zhngmng)令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共20页第十九页，共21页。感谢您的观看(gunkn)！第20页/共20页第二十页，共21页。内容(nirng)总结一、最值定理。2） 若函数在开区间上连续,。二、零点定理及介值定理。( 证明略 )。证: 作辅助函数。故由零点定理知, 至少(zhsho)有一点。大值之间的任何值 .。（证明略.提示：令F(x)=f(x)-g(x) ）。4. 当。所以 x=0 为跳跃间断点。f(x) 在 x=1点连续，。f(x) 在 x=-1点连续，。1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),。至少(zhsho)有一个不超过 4 的。第19页/共20页。感谢您的观看第二十一页，共21页。
