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1、向量及其线性运算向量及其线性运算ok2. 求曲线图形的公共部分的面积 .解解：与所围成得所围区域的面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 qcos1ar =)sin(cos2qq+= ar4) 1(2-=pa因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 零向量与任何向量都平行零向量与任何向量都平行.1. 1. 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则或平行四边形法则或平行四边形法则运算规律运算规律 :交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可
2、推广到多个向量相加 .二、向量的线性运算二、向量的线性运算BACABCD多个向量相加的情况多个向量相加的情况三角不等式三角不等式2. 2. 向量的减法向量的减法规定规定 : :总之总之, ,3. 3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 ( ( 数乘数乘 ) )向量与数的乘积的运算规律向量与数的乘积的运算规律向量的加减法及数乘统称为向量的加减法及数乘统称为向量的线性运算向量的线性运算. .换言之，换言之， 任一非零向量总可以写成它自身的模与一个任一非零向量总可以写成它自身的模与一个与它同方向的单位向量的数乘与它同方向的单位向量的数乘. . 由于平行四边形的对角线互相平分由于平行四边形的对角线互相平分
3、, , 所以所以例例1 1解：解：例例2 2 化简化简解：解：定理定理1 1则则已知已知 b a ,b0a , b 同向同向ab a , b 反向反向充分性充分性证明：证明：必要性必要性例例3 3 试用向量方法证明：对角线互相平分试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形的四边形必是平行四边形. .证证与与 平行且相等平行且相等, , 结论得证结论得证.数轴与向量数轴与向量数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴。给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴。Ox如图，点如图，点O O 及单位向量及单位
4、向量确定了数轴确定了数轴 Ox .P在轴上任取一点在轴上任取一点P P, , 则有则有 ，从而存在唯一从而存在唯一的的 x R 使得使得 且有且有三个坐标轴的正方三个坐标轴的正方向符合向符合右手法则右手法则. .三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系面面面面面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限.各卦限中点的坐标的特点各卦限中点的坐标的特点一一对应一一对应向量的坐标表示向量的坐标表示向径向径坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , R 坐标面上的点坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 : :有序数组有序数组( (称为点称为点 M 的的坐标坐标)原点原点
5、 O ( 0, 0, 0) ;在直角坐标系下点的坐标在直角坐标系下点的坐标ABC坐标轴坐标轴 : 坐标面坐标面 :设设则则平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例: :四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算解解： 例例2 2. .2 3 , 得得代入代入得得如图所示如图所示, , 由于由于这就是这就是M点的坐标点的坐标.例例3 3解：解： 得得定比分点公式定比分点公式: :点点 M 为为 AB 的中点的中点 , ,于是得于是得中点公式中点公式说明说明: :1.1.向量的模向量的模五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影两点间的距离公式两点间的距离公式空间两点间距离公式空间两点间距离公式例例4 4证明：证明： 解：解：所求点为所求点为因为因为例例6 6解：解： 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！41
