线性空间和线性映射

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1、矩阵理论矩阵理论 *其中为维输入变量，维状态向量，为矩阵理论的简单应用一 矩阵在线性系统与多变量控制中的应用矩阵在线性系统与多变量控制中的应用线性系统状态空间的线性微分方程组为第一章第一章 线性空间和线性映射线性空间和线性映射北京理工大学高数教研室*分别为分别为m维输出向量，矩阵为型矩阵且均为时间型矩阵且均为时间的函数。定义：如果上述方程中的矩阵 都是常数矩阵，则称该系统是线性定常系统。其状态空间线性方程为 考虑一个线性定常系统 北京理工大学高数教研室*定义 对于上述系统，如果从状态空间中的任意一点开始，可以找到一个输入 ，在有限的时间内将状态变量驱动到原点，则称该系统是可控的；否则，称该系统

2、是不可控的。定义 对于上述系统，如果在任一时刻的状态可以由从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入为零的输出的观测来决定，则称该系统是可观测的 ;否则，称该系统是不可观测的。北京理工大学高数教研室*我们首先以单输入单输出系统为例我们首先以单输入单输出系统为例 。考虑下面的单输入单输出系统：考虑下面的单输入单输出系统：其中其中 和和 是是 维矢量，维矢量， 是是 矩阵，矩阵， 及及 是标量。是标量。定理定理1 上面的单输入单输出系统是可控的充分必要上面的单输入单输出系统是可控的充分必要条件是可控性判别矩阵条件是可控性判别矩阵是可逆（非奇异）矩阵。是可逆（非奇异）矩阵。北京理工大学高数教研室*由于

3、矩阵由于矩阵是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。例例 1 1 设设 北京理工大学高数教研室*由于矩阵由于矩阵例例 2 设设北京理工大学高数教研室* 是不可逆（奇异）矩阵，所以对应的系统是不可逆（奇异）矩阵，所以对应的系统 是不可控的。是不可控的。定理定理2 上面的单输入单输出系统是可观测的充分上面的单输入单输出系统是可观测的充分 必要必要条件是可观测性判别矩阵条件是可观测性判别矩阵 是可逆（非奇异）矩阵。是可逆（非奇异）矩阵。北京理工大学高数教研室*例例 3 3由于矩阵由于矩阵是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。例例

4、4 设设北京理工大学高数教研室*由于矩阵由于矩阵 是不可逆（奇异）矩阵，所以对应的系统是是不可逆（奇异）矩阵，所以对应的系统是 不可观测的。不可观测的。北京理工大学高数教研室* 我们再以多输入多输出系统为例我们再以多输入多输出系统为例 。 考虑下面的多输入多输出系统：考虑下面的多输入多输出系统：定理定理3 多输入多输出系统是多输入多输出系统是可控制可控制的充分必要条件的充分必要条件是可控制性判别矩阵是可控制性判别矩阵 是是行行满秩的。该系统是满秩的。该系统是可观测可观测的充分必要条件的充分必要条件 是可观测性判别矩阵是可观测性判别矩阵是是列列满秩的。满秩的。北京理工大学高数教研室*由于矩阵由于

5、矩阵是行满秩的，所以相应的系统是可控的。是行满秩的，所以相应的系统是可控的。例例 5 设设北京理工大学高数教研室*二二 矩阵理论在生物数学中的应用矩阵理论在生物数学中的应用 在花的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎在花的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如所有花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百百合花合花的花瓣有的花瓣有3瓣；瓣；毛茛属毛茛属的植物有的植物有5瓣花；许多瓣花；许多翠翠雀属雀属的植物花有的植物花有8瓣；瓣；万寿菊万寿菊的花有的花有13瓣；瓣；紫菀属紫菀属植植物的花有物的花有21瓣；大多数瓣；大多数雏菊雏菊的花有的花有34，55，89 瓣

6、。瓣。另外，在另外，在向日葵向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也可以发现类似的排列模式，同时植物的可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序叶序中也存中也存在此种现象。这就是著名的在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我级数模式。我们称下面的数列们称下面的数列为为Fibonacci级数。它满足下述递推公式：级数。它满足下述递推公式： 北京理工大学高数教研室*以及初始条件：以及初始条件： 试求该数列的通项试求该数列的通项公式，并且求出极限公式，并且求出极限 解解 设设因为因为 ，所以，所以 北京理工大学高数教研室*令令那么我们有那么我们有 于是我们为了求于

7、是我们为了求Fibonacci数列的通项公式只需求出数列的通项公式只需求出 即可，我们利用即可，我们利用 的相似标准形来化简的相似标准形来化简 的的计算。计算。 的特征多项式为的特征多项式为 ， 它的它的两个特征根为：两个特征根为：北京理工大学高数教研室*同理可得同理可得基础解系的一个向量为基础解系的一个向量为:由此可以看出由此可以看出 可以对角化。解齐次线性方程组可以对角化。解齐次线性方程组可以得到基础解系的一个向量为：可以得到基础解系的一个向量为：北京理工大学高数教研室*令令那么那么从而从而由递推公式以及初始条件可得由递推公式以及初始条件可得北京理工大学高数教研室*比较上式的第二个分量得比

8、较上式的第二个分量得这就是著名的这就是著名的Fibonacci数列通项公式，容数列通项公式，容易计算出：易计算出： 0.618 这个数在最优化中有重要的应用，在最优化这个数在最优化中有重要的应用，在最优化中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便找出最优点，这种方法经常称为找出最优点，这种方法经常称为黄金分割法黄金分割法。北京理工大学高数教研室*第一节第一节 线性空间的概念线性空间的概念一一 线性空间的定义与例子线性空间的定义与例子定义定义 设设 是一个非空的集合，是一个非空的集合， 是一个数域，是一个数域，在集合在集合 中定义两种代数运算中定义两

9、种代数运算, 一种是加法运算一种是加法运算, 用用 来表示来表示; 另一种是数乘运算另一种是数乘运算, 用用 来表示来表示, 并且并且这两种运算满足下列这两种运算满足下列八八条运算律：条运算律：（1） 加法交换律加法交换律（2） 加法结合律加法结合律 北京理工大学高数教研室*（3） 零元素零元素 在在 中存在一个元素中存在一个元素 ，使得对，使得对于任意的于任意的 都有都有（4） 负元素负元素 对于对于 中的任意元素中的任意元素 都存都存在一个元素在一个元素 使得使得 则称则称 是是 的的 负元素负元素. （5） 数数 1 北京理工大学高数教研室*（6） （7） （8） 称这样的集合称这样的集

10、合 为数域为数域 上的上的线性空间线性空间。例例 1 全体实函数集合全体实函数集合 构成实数域构成实数域 上的上的线性空间。线性空间。例例 2 复数域复数域 上的全体上的全体 型矩阵构成型矩阵构成的集合的集合 为为 上的线性空间。上的线性空间。北京理工大学高数教研室* 例例 3 实数域实数域 上全体次数小于或等于上全体次数小于或等于 的多项的多项式集合式集合 构成实数域构成实数域 上的线性空间上的线性空间.例例 4 全体正的实数全体正的实数 在下面的加法与数乘的在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：定义下构成实数域上的线性空间： 例例 5 5 表示实数域表示实数域 上的全体无限序列

11、组成的上的全体无限序列组成的的集合。即的集合。即北京理工大学高数教研室*在在 中定义加法与数乘：中定义加法与数乘： 则则 为实数域为实数域 上的一个线性空间。上的一个线性空间。例例 6 在在 中满足中满足Cauchy条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合也构成子集合也构成 上的线性空间。上的线性空间。Cauchy条件是：条件是： 使得对于使得对于 都有都有北京理工大学高数教研室*例例7 在在 中满足中满足Hilbert条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合子集合不不构成构成 上的线性空间。上的线性空间。Hilbert条件是：条件是：级数级数 收敛收敛例例8 在在 中有界的无限序

12、列组成的子集也构成中有界的无限序列组成的子集也构成 上的线性空间。一个无限序列上的线性空间。一个无限序列 称为有界的，如果存在一个实数称为有界的，如果存在一个实数 ， 使得使得二二 线性空间的基本概念及其性质线性空间的基本概念及其性质定义定义 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩向量组的极大线性无关组；向量组的秩.北京理工大学高数教研室*基本性质基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关）整体无关 部分无关；部分相关部分无关；部分相关 整体相关；整体相关；（3）

13、如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；不唯一；（5）如果向量组（）如果向量组（I）可以由向量组（）可以由向量组（II）线性表出，）线性表出，那么向量组（那么向量组（I）的秩小于等于向量组（）的秩小于等于向量组（II）的秩；）的秩；（6）等价的向量组秩相同。）等价的向量组秩相同。北京理工大学高数教研室*例例1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中

14、，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一组互不相同的实数。组互不相同的实数。例例2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一组互不相同的实数。组互不相同的实数。例例3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组也是线性无关的。也是线性无关的。北京理工大学高数教研室*例例4 实数域实数域 上的线性空间空间上的线性空间空间 中，函数组中，函数组与函数组与函数组都是线性相关的函数组。都是线性相关的函数组。线性空间的基底，维数与坐标变换线性空间的基底，维数与坐标变

15、换定义定义 设设 为数域为数域 上的一个线性空间。如果在上的一个线性空间。如果在 中存在中存在 个线性无关的向量个线性无关的向量 使得使得北京理工大学高数教研室*中的任意一个向量中的任意一个向量 都可以由都可以由 线性表出线性表出:则称则称 为为 的一个的一个基底基底；为向量为向量 在基底在基底 下的下的坐标坐标。此时我们。此时我们称称 为一个为一个 维线性空间，记为维线性空间，记为 例例1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中向量组中向量组与向量组与向量组 北京理工大学高数教研室* 都是都是 的基。的基。 是是3维线性空间。维线性空间。例例2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中

16、的向量组中的向量组与向量组与向量组 都是都是 的基。的基。 是是4维线性空间。维线性空间。例例3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组 北京理工大学高数教研室* 与向量组与向量组都是都是 的基底。的基底。 的维数为的维数为 注意：注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性线性空间可以分为空间可以分为有限维线性空间有限维线性空间和和无限维线性空间无限维线性空间。目。目前，我们主要讨论前，我们主要讨论有限维的线性空间有限维的线性空间。例例4

17、在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组北京理工大学高数教研室* 与向量组与向量组是其两组基，求向量是其两组基，求向量 在这两组基下的在这两组基下的坐标。坐标。解解：设向量：设向量 在第一组基下的坐标为在第一组基下的坐标为 北京理工大学高数教研室*于是可得于是可得 解得解得同样可解出在第二组基下的坐标为同样可解出在第二组基下的坐标为北京理工大学高数教研室*由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。同的。基变换与坐标变换基变换与坐标变换设设 （旧的旧的）与）与 （新的新的）是是 维线性空间维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为的两

18、组基底，它们之间的关系为 北京理工大学高数教研室*将上式将上式矩阵化矩阵化可以得到下面的关系式：可以得到下面的关系式：称称 阶方阵阶方阵北京理工大学高数教研室*是由旧的基底到新的基底的是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵过渡矩阵，那么上式可，那么上式可以写成以写成定理定理：过渡矩阵：过渡矩阵 是可逆的。是可逆的。北京理工大学高数教研室*任取任取 ，设，设 在两组基下的坐标分别为在两组基下的坐标分别为 与与 ，那么我们有：，那么我们有：称上式为称上式为坐标变换公式坐标变换公式。例例1 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组北京理工大学高数教研室*与向量组与向量组北京理工大学高数教研室*为其

19、两组基，求从基为其两组基，求从基 到基到基 的的过渡矩阵，过渡矩阵，并求向量并求向量 在这两组基下的坐标。在这两组基下的坐标。解解：容易计算出下面的矩阵表达式：容易计算出下面的矩阵表达式北京理工大学高数教研室*向量向量 第一组基下的坐标为第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为在第二组基下的坐标为北京理工大学高数教研室* 线性空间的子空间线性空间的子空间定义定义 设设 为数域为数域 上的一个上的一个 维线性空间，维线性空间， 为为 的一个非空子集合，如果对于任意的的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的以及任意的 都有都有那么我们称那么我们称

20、 为为 的一个的一个子空间子空间。例例1 对于任意一个有限维线性空间对于任意一个有限维线性空间 ，它必有，它必有两个两个平凡的子空间平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间，即由单个零向量构成的子空间 以及线性空间以及线性空间 本身本身.北京理工大学高数教研室*例例2 设设 ，那么线性方程组，那么线性方程组 的的全部解为全部解为 维线性空间维线性空间 的一个子空间，我们称的一个子空间，我们称其为其为齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组。当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个

21、础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。数。例例3 设设 为为 维线性空间维线性空间 中的中的一组向量，那么非空子集合一组向量，那么非空子集合 北京理工大学高数教研室*构成线性空间构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称生成子空间，称 为该子空间的生成元。为该子空间的生成元。 的基底即为向量组的基底即为向量组 的维数即为向量组的维数即为向量组 的秩。的秩。例例4 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中全体中全体上三角上三角矩矩阵集合，全体阵集合，全体下三角下三角矩阵集合，全体矩阵集合，全体对称对称矩阵集合，矩阵集合，全体全体反对称反对

22、称矩阵集合分别都构成矩阵集合分别都构成 的子空间，的子空间，北京理工大学高数教研室*子空间的交与和子空间的交与和两个子空间的交: 两个子空间的和: 子空间交与和的性质 :1.若 和 都是 的子空间,则 和 也是 的子空间.2.3.4.两个子空间的直和: 如果 中的任一向量只能唯一表示为子空间 的一个向量与子空间 的一个向量的和, 则称 为 与 的直和.北京理工大学高数教研室* 矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量 定义定义 设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的一个线的一个线性变换，如果对于数域性变换，如果对于数域 中任一元素中任一元素 ， 中中都

23、存在一个非零向量都存在一个非零向量 ，使得，使得 那么称那么称 为为 的一个的一个特征值特征值，而，而 称为称为 的的属于特征值属于特征值 的一个的一个特征向量特征向量。 现在设现在设 是数域是数域 上的上的 维线性空间，维线性空间， 中取定一组基中取定一组基 ，设线性变换，设线性变换 在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 ，向量，向量 在这组基下的在这组基下的坐标是坐标是 ， 。那么我们有。那么我们有 北京理工大学高数教研室*由此可得定理由此可得定理： 是是 的特征值的特征值 是是 的特征值的特征值. 是是 的属于的属于 的特征向量的特征向量 是是 的的属于属于 的特征向量的特征向量. 因此

24、，只要将因此，只要将 的全部特征值求出来，它们的全部特征值求出来，它们就是线性变换就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵的全部特征值；只要将矩阵 的的属于属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是标的向量就是 的属于的属于 的全部特征向量。的全部特征向量。 北京理工大学高数教研室*例例1 设设 是数域是数域 上的上的3维维线性空间，线性空间， 是是 上上的一个线性变换，的一个线性变换， 在在 的一个基的一个基 下的下的矩阵是矩阵是求求 的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。解解： 的特征多项式为的特征多项式为北京理工大学高数教研室*所以

25、所以 的特征值是的特征值是 （二重）与（二重）与 。 对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：北京理工大学高数教研室*从而从而 的属于的属于 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是 属于属于 3的全部特征向量是的全部特征向量是 这里这里 为数域为数域 中不全为零的数对。中不全为零的数对。 对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系： 北京理工大学高数教研室*从而从而 的属于的属于 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是 的属于的属于 的全部特征向量

26、的全部特征向量这里这里 为数域为数域 中任意非零数。中任意非零数。 矩阵的相似与相似对角化矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征北京理工大学高数教研室*值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。有相同的谱。矩阵的特征值与特征向量的性质：矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） 阶矩阵阶矩阵 的属于特征值的属于特征值 的全部特征向量的全部特征向量再添上零向量，可以组成再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩的一个子空间，称之为矩阵阵 的

27、属于特征值的属于特征值 的的特征子空间特征子空间，记为，记为 ，不难，不难看出看出 正是特征方程组正是特征方程组 的解空间。的解空间。（2） 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 北京理工大学高数教研室*（3） 设设 是是 的的 个互不同的特征个互不同的特征值，值， 的几何重数为的几何重数为 ， 是对是对应于应于 的的 个线性无关的特征向量，则的所有这个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量些特征向量仍然是线性无关的。仍然是线性无关的。（4） 任意一个特征值的几何重数不大于它的代数任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。重数。北京理工大学高数教研室

28、*（5）一个特征向量不能属于不同的特征值。）一个特征向量不能属于不同的特征值。矩阵（线性变换）的相似对角化矩阵（线性变换）的相似对角化定义定义 数域数域 上的上的 维线性空间维线性空间 的一个线性的一个线性变换变换 称为称为可以对角化的可以对角化的，如果，如果 中存在一个基中存在一个基底，使得底，使得 在这个基底下的矩阵为对角矩阵。在这个基底下的矩阵为对角矩阵。 我们在我们在 中取定一个基底中取定一个基底 ，设，设线性变换线性变换 在这个基下的矩阵为在这个基下的矩阵为 ，那么可以得，那么可以得到下面的定理到下面的定理定理定理： 可以对角化可以对角化 可以对角化。可以对角化。定理定理： 阶矩阵阶

29、矩阵 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是 北京理工大学高数教研室* 有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。定理定理： 阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。每一个特征值的代数重数等于其几何重数。例例1 判断矩阵判断矩阵是否可以对角化？是否可以对角化？ 解解： 先求出先求出 的特征值的特征值北京理工大学高数教研室*于是的特征值为于是的特征值为 （二重）（二重） 由于由于 是单的特征值，它一定对应一个线性是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑无关的特征向量。下面我们考虑北京理工大学高数教研室*于是于是 从而从而不可以相似对角矩阵不可以相似对角矩阵。例例2 设设 是数域是数域 上的上的3维维线性空间，线性空间， 是是 上上的一个线性变换，的一个线性变换， 在在 的一个基的一个基 下下的矩阵是的矩阵是北京理工大学高数教研室*判断是判断是 否可以对角化？否可以对角化？解解： 根据前面例题的讨论可知根据前面例题的讨论可知 有有3个线性无关个线性无关的特征向量的特征向量:因此因此 可以对角化，可以对角化， 在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是北京理工大学高数教研室*由基由基 到基到基 的过渡矩阵是的过渡矩阵是于是有于是有北京理工大学高数教研室*