电子测量技术西电版第2章 测量误差理论与数据处理

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1、第2章测量误差理论与数据处理第第2章测量误差理论与数据处理章测量误差理论与数据处理2.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念2.2 测量误差的来源与分类测量误差的来源与分类2.3 测量误差的分析与处理测量误差的分析与处理2.4 测量误差的合成与分配测量误差的合成与分配2.5 测量数据处理测量数据处理思考与练习思考与练习第2章测量误差理论与数据处理2.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念2.1.1 有关误差的基本概念有关误差的基本概念1. 真值真值一个量在被观测时， 该量本身所具有的真实大小称为真值(记为A0)。 在不同的时间和空间， 被测量的真值往往是不同的。 在一定的时间和空间环境条件

2、下， 某被测量的真值是一个客观存在的确定数值。 要想得到真值， 必须利用理想的测量仪器或量具进行无误差的测量， 由此可以推断， 真值实际上是无法得到的。第2章测量误差理论与数据处理 这是因为理想的测量仪器或量具, 即测量过程的参考比较标准(或叫计量标准)只是一个纯理论值。 尽管随着科技水平的提高， 可供实际使用的测量参考标准可以越来越接近理想的理论定义值， 但误差总是存在的， 而且在测量过程中还会受到各种主观和客观因素的影响， 所以， 做到无误差的测量是不可能的。 第2章测量误差理论与数据处理2. 实际值实际值满足规定准确度要求， 用来代替真值使用的量值称为实际值(记为A)或叫约定真值。 由于

3、真值是无法绝对得到的， 在误差计算中， 常常用一定等级的计量标准作为实际值来代替真值。 实际测量中， 不可能都与国家计量标准相比对， 所以国家通过一系列的各级实物计量标准构成量值传递网， 把国家标准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具上去。第2章测量误差理论与数据处理在每一级的比较中， 都把上一级计量标准所测量的值当作准确无误的值， 一般要求高一等级测量器具的误差为本级测量器具误差的1/31/10。 在实际值中， 把由国家设立的尽可能维持不变的各种实物标准作为指定值(或称约定真值)， 例如， 指定国家计量局保存的铂铱合金圆柱体质量原器的质量为1 kg， 指定国家天文台保存的铯钟组所

4、产生的， 在特定条件下铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应辐射的9192631770个周期的持续时间为1 s等。 第2章测量误差理论与数据处理3. 标称值标称值测量器具上标定的数值称为标称值， 如标准电阻上标出的1 ， 标准电池上标出来的电动势1.0186 V， 标准砝码上标出的1 kg等。 标称值并不一定等于它的真值或实际值， 由于制造和测量水平的局限及环境因素的影响， 它们之间存在一定的误差， 因此， 在标出测量器具的标称值时， 通常还要标出它的误差范围或准确度等级。 例如某电阻的标称值为1 k， 误差为1%， 即意味着该电阻的实际值在990 到1010 之间；某信号发生器频率

5、刻度的工作误差小于且等于1%1 Hz， 如果在额定条件下该仪器频率刻度是100 Hz，这就是它的标称值， 而实际值是1001001%1 Hz， 即实际值在98到102之间。 第2章测量误差理论与数据处理4. 示值示值由测量器具指示的被测量的量值称为测量器具的示值， 也称测量仪器的测量值或测得值。 一般来说， 测量仪器的示值和读数是有区别的， 读数是仪器刻度盘上直接读到的数字， 对于数字显示仪表， 通常示值和读数是一致的， 但对于模拟指示仪器， 示值需要根据读数值和所用的量程进行换算。 例如以100分度表示量程为50 mA的电流表， 当指针在刻度盘上的50位值时， 读数是50， 而示值应是25

6、mA。 第2章测量误差理论与数据处理5. 测量误差测量误差在实际测量中， 由于测量器具的不准确， 测量手段的不完善， 测量环境的影响， 对客观规律认识的局限性以及工作中的疏忽或错误等因素， 都会导致测量结果与被测量真值不同。 测量仪器与被测量真值之间的差别称为测量误差。 测量误差的存在具有必然性和普遍性， 人们只能根据需要和可能， 将其限制在一定的范围内而不可能完全加以消除。 不同的测量， 对其测量误差的大小， 也就是测量准确度的要求往往是不同的。 第2章测量误差理论与数据处理人们进行测量的目的， 通常是为了获得尽可能接近真值的测量结果， 如果测量误差超过一定的限度， 测量工作及由此产生的测量

7、结果将失去意义。 在科学研究及现代化生产中， 错误的测量结果有时还会使研究工作误入歧途甚至带来灾难性的后果。 我们研究误差理论的目的， 就是要分析误差产生的原因及其发生规律， 正确认识误差的性质， 寻找减小或消除测量误差的方法， 学会测量数据的处理方法， 使测量结果更接近于真值。 在测量中， 研究误差理论还可以指导我们合理地设计测量方案， 正确地选用测量仪器和测量方法， 确保产品和研究课题的质量。 第2章测量误差理论与数据处理2.1.2 测量误差的表示方法测量误差的表示方法1. 绝对误差绝对误差(1) 定义： 由测量所得到的被测量值x与其真值A0之差， 称为绝对误差， 即x=x-A0 (2-1

8、) 式中，x为绝对误差。 前面已提到， 真值A0一般无法得到， 所以用实际值A代替A0， 因而绝对误差更有实际意义的定义是:x=x-A (2-2) 第2章测量误差理论与数据处理绝对误差表明了被测量的测量值与被测量的实际值之间的偏离程度和方向。 对于绝对误差， 应注意以下两点： 第一， 绝对误差是有单位的量， 其单位与测得值和实际值相同；第二， 绝对误差是有符号的量， 其符号表示出了测量值与实际值的大小关系， 若测量值大于实际值， 则绝对误差为正值， 反之为负值。 在一般测量工作中， 只要按规定的要求， 达到误差可以忽略不计， 就可以认为该值接近于真值， 并用它来代替真值。 除了实际值以外， 还

9、可以用已修正过的多次测量值的算术平均值来代替真值使用。 第2章测量误差理论与数据处理(2) 修正值： 与绝对误差的绝对值大小相等， 但符号相反的量值， 称为修正值， 用C表示， 即 C=-x=A-x (2-3) 测量仪器的修正值可以通过上一级标准给出， 修正值可以是数值表格、 曲线或函数表达式等形式。 在日常测量中， 利用其仪器的修正值C和该已检仪器的示值x， 可以求得被测量的实际值 A=x+C (2-4) 第2章测量误差理论与数据处理例如用某电流表测电流， 电流表的示值为10 mA， 该表在检定时， 10 mA刻度处的修正值是+0.04 mA， 则被测电流的实际值为10.04 mA。 在自动

10、测量仪器中， 修正值还可以先编成程序储存在仪器中， 测量时仪器可以对测量结果自动进行修正。 第2章测量误差理论与数据处理2. 相对误差相对误差绝对误差虽然可以说明测量结果偏离实际值的情况， 但不能完全科学地说明测量的质量(测量结果的准确程度)。 因为一个量的准确程度， 不仅与它的绝对误差的大小有关， 而且与这个量本身的大小有关。 当绝对误差相同时， 这个量本身的绝对值越大， 测量准确程度相对越高；这个量本身的绝对值越小， 测量准确程度相对越低。第2章测量误差理论与数据处理例如测量两个电压量， 其中一个电压为V1=10 V， 其绝对误差V1=0.1V；另一个电压为V2=1 V，其绝对误差V2=0

11、.1 V。尽管两次测量的绝对误差皆为0.1 V， 但是我们不能说两次测量的准确度是相同的， 显然， 前者测量的准确度高于后者测量的准确度。 因此， 为了说明测量的准确程度， 又提出了相对误差的概念。 第2章测量误差理论与数据处理绝对误差与被测量的真值之比， 称为相对误差(或称为相对真误差)， 用表示为 =100 (2-5)相对误差是两个有相同量纲的量的比值， 只有大小和符号， 没有单位。 第2章测量误差理论与数据处理1) 实际相对误差由于真值是不能确切得到的， 通常用实际值A代替真值A0来表示相对误差， 用A表示为 A=100% (2-6)式中， A为实际相对误差。 第2章测量误差理论与数据处

12、理2) 示值相对误差在误差较小、 要求不太严格的场合， 用测量值x代替实际值A来表示相对误差, 用x表示为 x=100 (2-7)式中， x称为示值相对误差或测得值相对误差。 它在误差合成中具有重要意义。 当x很小时， xA， 此时， xA。 第2章测量误差理论与数据处理3) 分贝误差相对误差的对数表示在电子学及声学测量中， 常用分贝来表示相对误差， 称为分贝误差。 分贝误差是用对数形式(分贝数)表示的一种相对误差， 单位为分贝(dB)， 用dB表示。 下面以有源网络电压增益为例， 引出分贝误差的表示形式。 第2章测量误差理论与数据处理设双口网络(如放大器或衰减器)的电压增益实际值为A， 其分

13、贝值G=20 lgA。 电压增益的测量值为Ax， 其误差为A=Ax-A，即Ax=A+A, 则增益测得值的分贝值为第2章测量误差理论与数据处理由此得到分贝误差为dB=Gx-G=20 lg (1+ ) =20 lg(1+A) (2-8)式(2-8)为相对误差的对数表现形式， 式中，dB只与增益的相对误差有关， 由于A是带有正负符号的， 因而dB也是有符号的。 若xA， 则式(2-8)可写成:dB=20 lg(1+x) (2-9)第2章测量误差理论与数据处理式(2-9)即分贝误差的一般定义式。 若测量的是功率增益， 分贝误差定义为dB=10 lg(1+x) (210) 【例例2-1】某电流表测出的电

14、流值为96 A， 标准表测出的电流值为100 A，求测量的相对误差和分贝误差。 第2章测量误差理论与数据处理解解： 测量的绝对误差为x=96-100= -4 A 测量的实际相对误差为 A=100%=-4% 分贝误差为 dB=20 lg1+(-0.04)=-0.355 dB 从上面分贝误差的公式和例子可以看出， 当相对误差为正值时， 分贝误差也为正值；反之亦然。 第2章测量误差理论与数据处理3. 满度相对误差满度相对误差(引用相对误差引用相对误差)前面介绍的相对误差较好地反映了某次测量的准确程度， 但是， 在连续刻度的仪表中， 用相对误差来表示整个量程内仪表的准确程度就有些不便。 因为使用这种仪

15、表时， 在某一测量量程内， 被测量有不同的数值， 若用式(2-5)计算相对误差， 随着被测量的不同， 式中的分母相应变化， 求得的相对误差也将随着改变。第2章测量误差理论与数据处理 在用式(2-5)求相对误差时， 用电表的量程作为分母， 从而引出了满度相对误差(引用相对误差)的概念。 实际中常用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差xm与该量程的满刻度值(该量程的上限值与下限值之差)xm之比来表示， 即m=100% (2-11)第2章测量误差理论与数据处理式中, m为满度相对误差(或称引用相对误差)。 对于某一确定的仪器仪表， 它的最大引用相对误差是确定的。 满度相对误差在实际测量中具有重

16、要意义。 第2章测量误差理论与数据处理(1) 用满度相对误差来标定仪表的准确度等级。 我国电工仪表就是按引用相对误差m之值进行分级的， m是仪表在工作条件下不应超过的最大引用相对误差， 它反映了该仪表的综合误差大小。 我国电工仪表共分七级： 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5及5.0。 其中， 准确度等级在0.2级以上的仪表属于精密仪表, 使用时要求较高的工作环境及严格的操作步骤， 一般作为标准仪表使用。 如果仪表准确度等级为s级， 则说明该仪表的最大满度相对误差不超过s，即|m|s。 第2章测量误差理论与数据处理【例例2-2】某电流表的量程为100 mA， 在量程内用待

17、定表和标准表测量几个电流的读数如表2-1所示。 试根据表中测量数据大致标定该仪表的准确度等级。 第2章测量误差理论与数据处理表表2-1 例例 2-2的电流表读数的电流表读数 第2章测量误差理论与数据处理解解： 由x=x-A计算出各点xi如表2-1所示。 因为xm=80-78=2 mA且xm=100 mA， 由式(2-11)求得该表的最大满度相对误差为 m=100%=100%=2%第2章测量误差理论与数据处理所以该表大致为2.5级表。 当然， 在实际中， 标定一个仪表的准确度等级是要通过大量的测量数据并经过一定的计算和分析后才能完成的。 (2) 用满度相对误差来检定仪表是否合格。 第2章测量误差

18、理论与数据处理【例例2-3】检定一个1.5级100 mA的电流表，发现在50 mA处的误差最大， 为1.4 mA， 其它刻度处的误差均小于1.4 mA，问这块电流表是否合格？解解： 由式(2-11)求得该表的最大满度相对误差为m=100%=100%=1.4%1.5%所以这块表是合格的。 实际中， 要判断该电流表是否合格， 应在整个量程内取足够多的点进行检定。 第2章测量误差理论与数据处理(3) 指导我们在使用多量程仪表时， 合理地选择仪表的量程。 由式(2-11)可知， 满度相对误差实际上给出了仪表各量程内绝对误差的最大值xm=mxm (2-12)若某仪表的等级是s级， 被测量的真值为A0，

19、那么测量的最大绝对误差xmxms% (2-13)通常取xm=xms% (2-14)第2章测量误差理论与数据处理一般讲， 测量仪器在同一量程不同示值处的绝对误差实际上未必处处相等， 但对使用者来讲， 在没有修正值可以利用的情况下， 只能按最坏的情况来处理， 即认为仪器在同一量程各处的绝对误差是个常数且等于xm，把这种处理叫做误差的整量化。 由式(2-13)可知， 测量的最大相对误差s%第2章测量误差理论与数据处理即maxs% (2-15)通常取 max=s% (2-16)由式(2-14)可知， 当一个仪表的等级s确定后， 测量中的最大绝对误差与所选仪表的上限xm成正比， 所以在测量中， 所选仪表

20、的满刻度值不应比真实值A0大太多。 第2章测量误差理论与数据处理同样， 在式(2-16)中， 因A0xm，可见当仪表等级s选定后, A0越接近xm时， 测量中相对误差的最大值越小， 测量越准确。 因此， 在用多量程仪表测量时， 应合理地选择量程， 一般情况下应尽量使被测量的示值在仪表满刻度的三分之二以上。 第2章测量误差理论与数据处理在实际测量时， 一般应先在大量程下， 测得被测量的大致数值， 然后选择合适的量程再进行测量， 以尽可能减小相对误差。 【例例2-4】某1.0级电流表， 满度值xm=100A，求测量值分别为x1=100 A，x2=80 A，x3=20A时的绝对误差和示值相对误差。

21、第2章测量误差理论与数据处理解解： 由式(2-14)得最大绝对误差为xm=xms%=100(1.0%)=1 A 前面说过， 绝对误差是不随测量值改变而变化的。 而测得值分别为100 A、80 A、 20 A时的示值相对误差是各不相同的， 分别为x1=100%=100%=100%=1%x2=100%=100%=100%=1.25%x3=100%=100%=100%=5%第2章测量误差理论与数据处理可见， 在同一量程内， 测得值越小， 示值相对误差越大。 由此可知， 在测量中， 测量结果的准确度并不等于所用仪器的准确度。 只有在示值与满度值相同时， 二者才相等(仅考虑仪器误差而不考虑其它因素造成的

22、误差)。 通常， 测得值的准确度低于所用仪表的准确度。 第2章测量误差理论与数据处理(4) 在一定量的测量中， 满度相对误差可指导我们合理选择仪表的准确度等级。 【例例2-5】欲测量一个10V左右的电压， 现有两块电压表， 其中一块量称为100 V，1.5级；另一块量程为15 V， 2.5级， 问选用哪一块表好？解解： 用1.5级量程为100 V的电压表测量10 V电压时， 最大相对误差为 1=s1%=1.5%=15% 第2章测量误差理论与数据处理用2.5级量程为15V的电压表测量10 V电压时， 最大相对误差为 2=s2%=2.5=3.75 通过计算得知， 用2.5级量程为15 V电压表测量

23、10 V电压的准确度高于用1.5级量程为100 V电压表测量10 V电压的准确度， 且2.5级量程为15 V电压表经济实用， 所以应选择2.5级量程为15 V的电压表。 上例说明， 如果选择合适的量程， 即使使用较低等级的仪表进行测量， 也可以取得比高等级仪表还高的准确度。 因此， 在选用仪表时， 不要单纯追求仪表的级别， 而应根据被测量的大小， 兼顾仪表的级别和测量上限， 合理地选择仪表。 第2章测量误差理论与数据处理2.2 测量误差的来源与分类测量误差的来源与分类2.2.1 测量误差的来源测量误差的来源为了减小测量误差， 提高测量结果的准确度， 必须明确测量误差的主要来源， 并采取相应的措

24、施减小测量误差。 测量误差的主要来源有以下五个方面。 第2章测量误差理论与数据处理1. 仪器误差仪器误差仪器误差是由于测量仪器及其附件的设计、 制造、 装配、 检定等环节不完善， 以及仪器使用过程中元器件老化、 机械部件磨损、 疲劳等因素而使仪器设备带有的误差。 例如， 仪器内部噪声引起的内部噪声误差；仪器相应的滞后现象造成的动态误差；仪器仪表的零点漂移、 刻度的不准确和非线性， 读数分辨率有限而造成的读数误差以及数字仪器的量化误差等都属仪器误差。 为了减小仪器误差的影响， 应根据测量任务， 正确地选择测量方法和仪器， 并在额定的工作条件下按使用要求进行操作等。 第2章测量误差理论与数据处理2

25、. 使用误差使用误差使用误差也称操作误差， 是由于对测量设备操作使用不当而造成的。 比如有些仪器设备要求测量前进行预热而未预热；有些测量设备要求实际测量前必须进行校准(例如普通万用表测量电阻时应进行校零， 用示波器观测信号的幅度前应进行幅度校准等)而未校准等。 减小使用误差的方法就是要严格按照测量仪器使用说明书中规定的方法步骤进行操作。第2章测量误差理论与数据处理3. 影响误差影响误差影响误差是指由于各种环境因素(温度、 湿度， 振动、 电源电压、 电磁场等)与测量要求的条件不一致而引起的误差。 影响误差常用影响量来表征。 所谓影响量， 是指除了被测量以外， 凡是对测量结果有影响的量， 即测量

26、系统输入信号中的非被测量值信息的参量。 影响误差可以是来自系统外部环境(如环境温度、 湿度、 电源电压等)的外界影响， 也可以是来自仪器系统内部(如噪声、 漂移等)的内部影响。第2章测量误差理论与数据处理通常影响误差是指来自外部环境困素的影响， 当环境条件符合要求时， 影响误差可不予考虑。 但在精密测量中， 须根据测量现场的温度、 湿度、 电源电压等影响数值求出各项影响误差， 以便根据需要做进一步的处理。第2章测量误差理论与数据处理4. 理论误差和方法误差理论误差和方法误差理论误差是指由于测量所依据的理论不严密， 或者对测量计算公式的近似等原因， 致使测量结果出现的误差。 例如， 当用平均值检

27、波器测量交流电压时， 平均值检波器的输出正比于被测正弦电压的平均值， 而交流电压表通常以有效值U来定度， 两者理论间关系为U=KF (2-17)式中KF =，称为定度系数。 由于和均为无理数， 因此当用有效值定度时， 只好取近似公式U1.11 (2-18)第2章测量误差理论与数据处理从而就产生了误差， 这种由于计算公式的简化或近似造成的误差就是一种理论误差。 由于测量方法不合理(如用低输入阻抗的电压表去测量高阻抗电路上的电压)而造成的误差称为方法误差。 理论误差和方法误差通常以系统误差的形式表现出来。 在掌握了具体原因及有关量值后， 通过理论分析与计算或者改变测量方法， 这类误差是可以消除或修

28、正的。 对于内部带有微处理器的智能仪表， 做到这一点是很方便的。 第2章测量误差理论与数据处理5.人身误差人身误差人身误差是由于测量人员感官的分辨能力、 反应速度、 视觉疲劳、 固有习惯、 缺乏责任心等原因， 而在测量中操作不当、 现象判断出错或数据读取疏失等引起的误差。 比如指针式仪表刻度的读取， 谐振法测量时谐振点的判断等， 都容易产生误差。 减小或消除人身误差的措施有： 提高测量人员操作技能、 增强工作责任心、 加强测量素质和能力的培养、 采用自动测试技术等。 第2章测量误差理论与数据处理2.2.2 测量误差的分类测量误差的分类 虽然产生误差的原因多种多样， 但按误差的基本性质和特点，

29、误差可分为三类， 即系统误差、 随机误差和粗大误差。 1. 系统误差系统误差在同一测量条件下， 多次重复对同一量值进行测量时， 测量误差的绝对值和符号保持不变， 或在测量条件改变时按一定规律变化的误差， 称为系统误差， 简称系差。 前者为恒值系差， 后者为变值系差。 第2章测量误差理论与数据处理 图 2-1 系统误差的特征 第2章测量误差理论与数据处理变值系差又可分为累进性系差、 周期性系差和按复杂规律变化的系差。 图2-1描述了几种不同系差的变化规律： 直线a表示恒值系差；直线b属变值系差中的累进性系差， 这里表示递增情况， 也有递减系差； 曲线c表示周期性系差； 曲线d属于按复杂规律变化的

30、系差。 第2章测量误差理论与数据处理在我国新制定的国家计量技术规范(JF10011998通用计量术语及定义)中， 系统误差的定量定义是： 在重复性条件下， 对同一被测量进行无限多次测量所得结果x1， x2，, xn(n)的平均值 (数学期望)与被测量的真值A0之差。 即=-A0 (2-19)其中 = (n) (2-20) 第2章测量误差理论与数据处理式(2-19)表明， 在不考虑随机误差影响的情况下， 测量值的数学期望偏离真值的大小就是系统误差， 即系统误差表明了一个测量结果的平均值偏离真值或实际值的程度。 系统误差越小， 平均值越靠近真值， 测量越准确。 所以， 系统误差常用来表征测量结果准

31、确度的高低。 需要说明的是， 由于上述技术规范定义中的测量是在重复性条件下进行的， 即测量条件不改变， 故这里的是定值系统误差。 此外， 因为重复测量实际上只能进行有限次， 测量的真值也只能用实际值代替， 所以实际中的系统误差也只是一个近似的估计值。 第2章测量误差理论与数据处理系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成的， 这些因素主要有： (1) 测量仪器方面的因素： 仪器机构设计原理的缺陷； 仪器零件制造偏差和安装不当； 元器件性能不稳定等。 如把运算放大器当作理想运放， 由被忽略的输入阻抗、 输出阻抗引起的误差； 刻度偏差及使用过程中的零点漂移等引起的误差。 第2章测量误差理论与

32、数据处理 (2) 环境方面的因素： 测量时的实际环境条件(温度、 湿度、 大气压、 电磁场等)相对于标准环境条件的偏差， 测量过程中温度、 湿度等按一定规律变化引起的误差。 (3) 测量方法的因素： 采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。 (4) 测量人员方面的因素： 由于测量人员的个人特点， 在刻度上估计读数时， 习惯偏于某一方向； 动态测量时， 记录快速变化信号有滞后的倾向。 第2章测量误差理论与数据处理系统误差的主要特点是： 只要测量条件不变， 误差即为确切的数值， 用多次测量取平均值的办法不能改变和消除系差， 而当条件改变时， 误差也随着遵循某种确定的规律而变化， 具有可重复

33、性， 较易修正和消除。 第2章测量误差理论与数据处理2. 随机误差随机误差 在同一测量条件下(指在测量环境、 测量人员、 测量技术和测量仪器等相同的条件下)， 多次重复对同一量值进行等精度测量时， 每次测量误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化的误差， 称为随机误差或偶然误差， 简称随差。 在我国新制定的国家计量技术规范(JG 10011998通用计量术语及定义)中， 参照并采用了1993年几个国际权威组织提出的随机误差定义： 随机误差i是测量结果xi与在重复条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值 (数学期望)之差。 即 i=xi- (2-21) 第2章测量误差理论与数据处理式中，

34、 按式(2-20)计算。随机误差是测量值与数学期望之差， 它表明了测量结果的分散性， 经常用来表征测量精密度的高低。 随机误差愈小， 精密度愈高。 同样， 在实际中， 由于测量次数有限， 不可能进行无限多次测量， 因此， 实际中的随机误差只是一个近似的估计值。 随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成， 这些因素主要包括以下几个方面。第2章测量误差理论与数据处理(1) 测量装置方面的因素： 仪器元器件产生的噪声， 零部件配合的不稳定、 摩擦、 接触不良等。 (2) 环境方面的因素： 温度的微小波动、 湿度与气压的微量变化、 光照强度变化、 电源电压的无规则波动、 电磁干扰、

35、 振动等。 (3) 测量人员感觉器官的无规则变化而造成的读数不稳定等。 第2章测量误差理论与数据处理随机误差的特点是： 虽然某一次测量结果的大小和方向不可预知， 但多次测量时， 其总体服从统计学规律。 在多次测量中， 误差绝对值的波动有一定的界限， 即具有有界性； 当测量次数足够多时， 正负误差出现的机会几乎相同， 即具有对称性； 同时随机误差的算术平均值趋于零， 即具有抵偿性。 由于随机误差的这些特点， 可以通过对多次测量取平均值的办法来减小随机误差对测量结果的影响， 或者用数理统计的办法对随机误差加以处理。 第2章测量误差理论与数据处理3. 粗大误差粗大误差在一定测量条件下， 测量结果明显

36、偏离实际值所形成的误差称为粗大误差， 简称粗差， 也称疏失误差。 产生粗差的主要原因有： (1) 测量操作疏忽和失误， 如测错、 读错、 记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。 第2章测量误差理论与数据处理 (2) 测量方法不当或错误， 如用普通万用表电压挡直接测量高内阻电源的开路电压， 用普通万用表交流电压挡测量高频交流信号的幅值等。 (3) 测量环境条件的突然变化， 如电源电压突然增高或降低， 雷电干扰、 机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。 这类变化虽然也带有随机性， 但由于它造成的示值明显偏离实际值， 因此将其列入粗差范畴。 第2章测量误差理论与数据处理含有粗差的测量值称为

37、坏值或异常值， 由于坏值不能反映被测量的真实性， 所以在数据处理时， 应予以剔除。 4. 测量误差对测量结果的影响测量误差对测量结果的影响测量中若发现粗大误差， 数据处理时应予以剔除， 这样要考虑的误差就只有系统误差和随机误差两类。 第2章测量误差理论与数据处理 将式(2-19)和式(2-21)等号两边分别相加, 得： +i=-A0+xi-=xi-A0=xi(i=1，2，n) (2-22)式中， xi为各次测得值的绝对误差。 式(2-22)表明， 各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差i的代数和。 第2章测量误差理论与数据处理由式(2-22)可得： xi=A0+i (2-23) 或 A0=

38、xi-i (2-24) 式(2-23)说明了测得值xi为测量值的真值、 系统误差和随机误差的代数和， 可用图2-2 表示。 其中E(x)为多次测量的数学期望。 第2章测量误差理论与数据处理图2-2 测量误差对测量结果的影响第2章测量误差理论与数据处理从式(2-19)、 式(2-21)及式(2-23)可以总结出以下几点结论： (1) 从系统误差大小看： E(x)A0说明测量越正确， 即系统误差反映了测量的正确度， 或测量的正确度是系统误差大小的反映。 第2章测量误差理论与数据处理(2) 从随机误差i大小看： ixiE(x) 说明测量越精密， 即随机误差反映了测量的精密度，或测量的精密度是随机误差

39、大小的反映。 (3) 从随机误差i大小和系统误差大小共同看： 第2章测量误差理论与数据处理说明测量越准确(或越精确)， 即系统误差和随机误差共同反映了测量的准确度(或精确度)， 或准确度是系统误差和随机误差的综合反映。 正确度、 精密度与准确度的概念也可用图2-3所示的打靶结果来描述测量误差的影响。 第2章测量误差理论与数据处理子弹着靶点有三种情况： 在(a)中， 着靶点围绕靶心均匀分散， 但分散程度大， 这种情况对应于测量中的系统误差小， 随机误差大， 即正确度高， 精密度低；在(b)中， 子弹着靶点很集中， 但着靶点的中心位置偏离靶心较远， 这种情况相当于测量中测量值虽然很集中但由于系统误

40、差的影响偏离真值(或实际值)较远， 说明了系统误差大， 随机误差小， 即正确度低， 精密度高； 在(c)中，着靶点既集中又距离靶心较近， 这种情况对应于测量中的系统误差和随机误差都小， 即准确度高。 第2章测量误差理论与数据处理图 2-3 射击误差示意图第2章测量误差理论与数据处理值得注意的是， 正确度、精密度与准确度都是定性概念， 如要定量给出， 则应用实验标准偏差和测量不准确度等概念。 定量分析将在下面几节中进行。 在任何一次测量中， 系统误差和随机误差一般都是同时存在的， 而且两者之间并不存在严格的界限。 由于认识不足或受测试条件所限， 常把系统误差当作随机误差， 并在数据上进行统计分析

41、处理。 随着人们对误差来源及其变化规律认识的提高， 就有可能把以往因认识不到而归为随机误差的某项误差明确为系统误差进行分析和处理。 第2章测量误差理论与数据处理此外， 系统误差和随机误差之间在一定条件下是可以相互转化的， 对某一具体误差， 在一种场合下为系统误差， 在另外一种场合下有可能为随机误差， 反之亦然。 掌握了误差转换的特点， 在有些情况下就可以将系统误差转化为随机误差， 用增加测量次数并进行数据处理的方法减小误差的影响， 或者将随机误差转化为系统误差， 用修正的方法减小其影响。 第2章测量误差理论与数据处理2.3 测量误差的分析与处理测量误差的分析与处理测量误差分为随机误差、 系统误

42、差和粗大误差三类。 由于每类误差的性质、 特点各不相同， 因此处理方法也不一样。 下面分别讨论这三类误差的特性和判别方法， 以及怎样减少或消除它们， 并给出测量结果的处理步骤。 第2章测量误差理论与数据处理2.3.1 随机误差的分析与处理随机误差的分析与处理随机误差是在相同条件下对同一量进行多次测量时， 误差的绝对值和符号均发生变化， 而且这种变化没有确定的规律也不能事先预知。 随机误差使测量数据产生分散， 即偏离它的数学期望。 虽然对单次测量而言， 随机误差的大小和符号都是不确定的， 没有规律性的， 但是， 在进行多次测量后， 随机误差服从概率统计规律。第2章测量误差理论与数据处理我们的任务

43、就是要研究随机误差使测量数据按什么规律分布， 多次测量的平均值有什么性质， 以及在实际测量中对于有限次的测量， 如何根据测量数据的分布情况， 估计出被测量的数学期望、 方差和被测量的真值出现在某一区间的概率等。 总之， 我们是用概率论和数理统计的方法来研究随机误差对测量数据的影响， 并用数理统计的方法对测量数据进行统计处理， 从而克服或减少随机误差的影响。 第2章测量误差理论与数据处理 1. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征由于随机误差的存在， 测量值也是随机变量。 在测量中， 测量值的取值可能是连续的， 也可能是离散的。 从理论上讲， 大多数测量值的可能取值范围是连续的， 而实际上由于测

44、量仪器的分辨力不可能无限小， 因而得到的测量值往往是离散的。 此外， 一些测量值本身就是离散的。 例如测量单位时间内脉冲的个数， 其测量值本身就是离散的。 实际中要根据离散型随机变量和连续型随机变量的特征来分析测量值的统计特性。 第2章测量误差理论与数据处理在概率论中， 不管是离散型随机变量还是连续型随机变量都可以用分布函数来描述它的统计规律。 但实际中较难确定概率分布， 并且不少情况下也不需求出概率分布规律， 只需知道某些数字特征就够了。 数字特征是反映随机变量的某些特性的数值， 常用的有数学期望和方差等。 第2章测量误差理论与数据处理1) 数学期望 随机变量(或测量值)的数学期望能反映其平

45、均特性， 其定义为： 设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，xi，相应的概率为p1，p2， ，pi，则X数学期望定义为(条件是绝对收敛)E(X)= (2-25) 第2章测量误差理论与数据处理若X为连续型随机变量， 其分布函数为F(x)， 概率密度函数为p(x)， 则数学期望定义为(条件是积分收敛)E(X)= (2-26) 数学期望反映了测量值的平均特性， 在统计学中， 数学期望与均值是同一个概念， 无穷多次的重复条件下重复测量单次结果的平均值即为数学期望值。 第2章测量误差理论与数据处理2) 方差和标准偏差 方差是用来描述随机变量的可能值与其数学期望的分散程度， 设随机变量X的数学期望为E

46、(X)， 则X的方差定义为2=D(X)=EX-E(X)2 (2-27) 对于离散型的随机变量，2=D(X)=xi-E(X)2pi (2-28) 第2章测量误差理论与数据处理或 2=D(X)=pi (2-29) 当测量次数n时， 用测量值出现的频率1/n代替概率pi， 则测量值的方差为2=D(X)= xi-E(X)2 (2-30) 第2章测量误差理论与数据处理 对于连续型的随机变量，2=D(X)=x-E(X)2p(x) dx (2-31) 或 2=D(X)=2p(x) dx (2-32)第2章测量误差理论与数据处理式中， 2称为测量值的样本方差， 简称方差，取平方的目的是， 不论是正是负， 其平

47、方总是正的， 这样取平方后再进行平均才不会使正负方向的误差相互抵消， 且求和取平均后， 个别较大的误差在式中所占的比例也较大， 使得方差对较大的随机误差反映较灵敏。 由于实际测量中都是带有单位的(mV，V等), 因而方差是相应单位的平方，使用不甚方便， 为了与随机误差的单位一致， 引入了标准偏差的概念， 标准偏差定义为 = (2-33) 第2章测量误差理论与数据处理测量中常常用标准偏差来描述随机变量X与其数学期望E(X)的分散程度， 即随机误差的大小， 因为它与随机变量X具有相同量纲。 反映了测量的精密度， 小表示精密度高， 测得值集中， 大表示精密度低， 测得值分散。 第2章测量误差理论与数

48、据处理2. 随机误差的分布随机误差的分布1) 正态分布在很多情况下， 测量中的随机误差正是由对测量值影响较微小的、 相互独立的多种因素的综合影响造成的， 也就是说， 测量中的随机误差通常是多种因素造成的许多微小误差的总和。 在概率论中， 中心极限定理指出： 假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和， 其中每一个随机变量对于总和只起微小作用， 则可认为这个随机变量服从正态分布， 又叫做高斯分布。 测量中随机误差的分布及在随机误差影响下测量数据的分布大多接近于服从正态分布。 第2章测量误差理论与数据处理正态分布随机误差的概率密度函数为p()=exp- (2-34) 测量数据X的概率密度

49、函数为p(x)=exp (2-35)第2章测量误差理论与数据处理根据式(2-26)和式(2-31)可分别求出服从正态分布的随机误差的数学期望E()和方差D()为E()=exp(-)d=0 D()=E(-0) 2=2p() d=2exp(-)d=2第2章测量误差理论与数据处理 同样可求出服从正态分布的测量数据的数学期望E(X)和方差D(X)为第2章测量误差理论与数据处理上面两式说明： 测量数据X的概率密度函数中的参数即为随即变量的期望值， 为其标准偏差。 随机误差和测量数据对应的概率密度分布曲线分别如图2-4中的 (a)、(b)所示，可以看出，随机误差和测量数据的分布形状相同， 因为它们的标准偏

50、差相同(都为)， 只是横坐标相差E(X)这一常数值。 对于随机误差， 其数学期望为零。 第2章测量误差理论与数据处理图2-4 随机误差和测量数据的概率密度分布曲线 第2章测量误差理论与数据处理图2-5 对概率分布的影响 第2章测量误差理论与数据处理由图可见， 随机误差具有以下规律： 对称性： 绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相同。 单峰性： 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。 有界性： 绝对值很大的误差出现的概率接近于零， 即随机误差的绝对值不会超过一定界限。 抵偿性： 当测量次数n时， 全部误差的代数和趋于零。 第2章测量误差理论与数据处理标准偏差是表示测量数据和测量误差分布离

51、散程度的特征值。 不同， 分布曲线形状不同， 图2-5 中表示了不同(123)的三条曲线。 由图可见， 值越小， 则曲线形状越尖锐，说明测量数据越集中， 随机误差越小； 越大， 则曲线形状越平坦， 说明测量数据越分散， 随机误差越大。 第2章测量误差理论与数据处理2) 测量误差的非正态分布测量中的随机误差除了大量满足正态分布外， 还有一些不满足正态分布， 统称为非正态分布。 常见的非正态分布有均匀分布、 三角分布、 反正弦分布等。 其中均匀分布的应用仅次于正态分布。 表2-2列出了三种分布的概率密度函数、 数学期望、 标准偏差和适用条件。 可以看出， 这三种分布都服从对称性、 有界性和抵偿性。

52、 第2章测量误差理论与数据处理表表2-2 几种常见的非正态分布几种常见的非正态分布 第2章测量误差理论与数据处理3. 有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值前面所讨论的被测量的数字特征都是在无穷多次测量的条件下求得的， 但是在实际测量中只能进行有限次测量， 就不能按式(2-25)式(2-33)准确地求出被测量的数学期望和标准偏差。 下面讨论如何根据有限次测量结果来估计被测量的数学期望和标准偏差。 第2章测量误差理论与数据处理1) 有限次测量的数学期望的估计值算术平均值若对一个被测量x进行n次等精度测量， 其中取得xi的次数为ni，由概率论的贝努里定理可知：

53、 事件发生的频度nin依概率收敛于事件发生的概率pi，即当测量次数n时，可以用事件发生的频度代替事件发生的概率。这时，被测量x的数学期望为E(X)=(当n时) (2-36)第2章测量误差理论与数据处理若不考虑测量值相同的情况， 即当对一个被测量x进行n次等精度测量， 而获得n个测量数据xi(i=1，2，n，xi可相同)时， 取得xi的次数都计为1， 代入式(2-36)， 则可得被测量x的数学期望为E(X)= (当n时) (2-37) 第2章测量误差理论与数据处理可见， 被测量x的数学期望就是当测量次数n时， 各次测量值的算术平均值。 在实际等精度测量中， 当测量次数n为有限次时， 常用算术平均

54、值作为被测量的数学期望或被测量的估计值， 用 表示， 即 (2-38) 第2章测量误差理论与数据处理可以证明， 算术平均值是被测量数学期望的无偏估计值和一致估计值。 用算术平均值作为测量结果是否可以减小随机误差的影响呢？我们可以通过计算算术平均值的标准偏差来回答这个问题。 当测量次数n有限时， 统计特征本质上是随机的， 所以， 所有算术平均值本身也是一个随机变量。 根据正态分布随机变量之和的分布仍然是正态分布的理论， 也属于正态分布。 第2章测量误差理论与数据处理因为是等精度测量， 假定测量是独立的， 那么一系列测量就具有相同的数学期望和方差， 又根据概率论中“几个相互独立的随机变量之和的方差

55、等于各个随机变量方差之和”的定理可推导出的方差为或 (2-39) 第2章测量误差理论与数据处理式(2-39)说明， n次测量值的算术平均值的方差是总体或单次测量值的方差的1n， 或者说算术平均值的标准偏差是总体或单次测量值的标准偏差的1/ 倍。 这是由于随机误差的抵偿性， 在计算的求和过程中， 正负误差相互抵消； 测量次数越多， 抵消程度越大， 平均值离散程度越小， 这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。 所以， 用算术平均值作为测量结果， 减少了随机误差的影响。 第2章测量误差理论与数据处理2) 用有限次测量数据估计测量值的标准偏差贝塞尔公式实际测量中通常以算术平均值代替真值， 以测

56、量值与算术平均值之差， 即剩余误差(简称残差)来代替真误差， 即i=xi- (2-40)第2章测量误差理论与数据处理当n时， 。对i求和， 则得到第2章测量误差理论与数据处理由式(2-40)又可得到第2章测量误差理论与数据处理根据E(i)=0及式(2-40)得到 (2-41) 或第2章测量误差理论与数据处理式(2-41)称为贝塞尔公式， 要注意的是, 在推导贝塞尔公式的过程中仍然是根据方差的定义得出的， 严格来说仍是在n的条件下推导得出的。 在n为有限值时， 用贝塞尔公式计算的结果仍然是标准偏差的一个估计值， 用符号 (x)或s(x)表示， 即 (2-42)第2章测量误差理论与数据处理由于，

57、贝塞尔公式还可表示为 (2-43) 第2章测量误差理论与数据处理可以证明， 是(x)的无偏估计值。 根据式(2-39)， 也可以把=作为平均标准偏差的估计值。 下面列出前面所定义的各种标准偏差的符号公式及所表示的不同意义， 以便在使用时不致于混淆。 总体测量值标准偏差: (测量值离散程度表征) 第2章测量误差理论与数据处理总体测量值标准偏差估计值:s(x)=测量平均值标准偏差: (平均值离散程度表征) 测量平均值标准偏差估计值:第2章测量误差理论与数据处理4. 测量结果的置信度测量结果的置信度1) 置信概率与置信区间由于随机误差的影响， 测量值均会偏离被测量真值。 测量值分散程度用标准偏差(x

58、)表示。 一个完整的测量结果， 不仅要知道其量值的大小， 还希望知道该测量结果的可信赖的程度。 第2章测量误差理论与数据处理下面从两方面来分析测量的可信度问题。 (1) 虽然不能预先确定即将进行的某次测量的结果， 但希望知道该测量结果落在数学期望附近某一确定区间内的可能性有多大。 由于均方差表示测量值的分散程度， 常用标准偏差(x)的若干倍来表示这个确定区间，=c(x)， c称为置信系数。 也就是说， 希望知道测量结果落在E(x)-c(x), E(x)+c(x)这个区间内的概率有多大。 置信区间如图2-6 所示， 对应的概率为 PE(x)-c(x)xE(x)+c(x) (2-44) 第2章测量

59、误差理论与数据处理图2-6 置信区间第2章测量误差理论与数据处理 (2) 在大多数实际测量中， 我们真正关心的不是某次测量值出现的可能性， 而是关心测量真值处在某测量值x附近某确定区间x-c(x), x+c(x)内的概率， 如图2-7所示， 即想要知道概率：Px-c(x)E(x)x+c(x) (2-45) 第2章测量误差理论与数据处理图2-7 置信区间的意义第2章测量误差理论与数据处理在测量结果的可信问题中， 称为置信区间， P称为相应的置信概率， 置信区间和置信概率是紧密相连的， 只有明确了一方才能讨论另一方。 置信区间刻画了测量结果的精确性， 置信概率刻画了这个结果的可靠性。 在实际计算中

60、往往是根据给定的置信概率求出相应的置信区间或根据给定的置信区间求出置信概率。 第2章测量误差理论与数据处理从数学意义上来讲， 概率Px-c(x)E(x)x+c(x)与概率PE(x)-c(x)xE(x)+c(x)是相等的, 所以在实际计算中， 不必区分这两种情况。 讨论置信问题必须要知道测量值的分布。 下面分别讨论正态分布和t分布下的置信问题。 第2章测量误差理论与数据处理2) 正态分布下的置信问题正态分布下的测量值x的概率密度函数为第2章测量误差理论与数据处理要求出x处在关于E(x)为对称区间c(x)内的概率， 就是要求图2-8中阴影部分的面积。 即对分布密度所代表的曲线进行积分， 积分上、

61、下限分别为E(x)+c(x)和E(x)-c(x), 设z=x-E(x)/(x)， 则 (2-46) 第2章测量误差理论与数据处理查本章附录就可以根据设定的区间c大小求出置信概率， 或者根据置信概率求出对应的置信区间。 第2章测量误差理论与数据处理图2-8 置信概率的意义第2章测量误差理论与数据处理【例例2-6】 已知某被测量x服从正态分布， (x)=0.2， E(x)=50, 求在Pc=99%情况下的置信区间。 解解： 已知P|x-E(x)|c(x)=P|z|c=99%第2章测量误差理论与数据处理查表得c=2.60， 置信区间则为50-2.600.2， 50+2.600.2=49.48， 50

62、.52 【例例2-7】 已知测量值x服从正态分布， 分别求出测量值在真值附近E(x)(x), E(x)2(x),E(x)3(x)区间中的置信概率。 第2章测量误差理论与数据处理解解: 对应于置信区间的系数c分别为E(x)(x) (c=1)E(x)2(x) (c=2)E(x)3(x) (c=3)查表得：c=1时，Pc=0.683; c=2时，Pc=0.954; c=3时, Pc=0.997。 第2章测量误差理论与数据处理即 P|x-E(x)|(x)=68.3% P|x-E(x)|2(x)=95.4%P|x-E(x)|20以后， t分布与正态分布就很接近了。 可以用数学方式证明当n时， t分布与正

63、态分布完全相同， 即正态分布是n时t分布的一个特例。t分布一般用来解决小子样置信问题。 第2章测量误差理论与数据处理根据t分布的概率密度函数p(t)， 可用积分的方法求出E(x)在附近对称区间内的置信概率为第2章测量误差理论与数据处理为区别起见， 这里标准偏差的系数用kt表示， 称为t分布因子或置信因子。 由于t分布的积分计算很复杂， 也有现成的表格利用。 给定置信概率和测量次数n， 从表2-3中可查得对应置信因子。 第2章测量误差理论与数据处理表表2-3 t分布的分布的kt值表值表 第2章测量误差理论与数据处理【例例2-8】 当测量次数n=10， 求置信区间在3s()时的置信概率。 解解：

64、n=10即v=n-1=9，又kt=3， 则查表得P|-E(x)|3s， 则该误差为粗大误差， 所对应的测量值xi为异常数据或坏值， 应剔除不用。 莱特检验法简单， 使用方便。 它以随机误差符合正态分布和测量次数充分为前提， 因此当测量次数小于10时， 容易产生误判， 原则上不能采用。 第2章测量误差理论与数据处理2) 格拉布斯检验法 假设在一列等精度测量结果xi(i=1,2,n)中， xmin、 xmax分别为最小测量值和最大测量值， s为标准偏差的估计值， 最大残差|max|=max(-xmin, xmax-)，若|max|Gs， 则判断对应测量值为粗大误差， 应予以剔除。 其中， G值按重

65、复测量次数n及置信概率Pc确定(一般Pc=95%或Pc=99%)， 如表2-5所示。 第2章测量误差理论与数据处理 表表2-5 格拉布斯准则中格拉布斯准则中G数值数值 第2章测量误差理论与数据处理除上述两种检验法外， 还有肖维纳准则、 狄克逊准则、 罗曼诺夫斯基准则等， 有兴趣的读者可参阅有关资料。 进行误差判断时应注意如下几个问题： (1) 所有的检验法都是人为主观拟订的， 至今尚未有统一的规定。 这些检验法又都是以正态分布为前提的， 当偏离正态分布时， 检验可靠性将受到影响， 特别是测量次数比较少时更不可靠。 第2章测量误差理论与数据处理(2) 若有多个可疑数据同时超过检验所定的置信区间，

66、 应逐个剔除， 重新计算和s， 再进行判别。 若有两个相同数据超出范围时， 也应逐个剔除。 (3) 一组测量数据中， 可疑数据应很少, 反之， 说明系统工作不正常。 因此剔除异常数据需慎重。 注意对测量过程和测量数据的分析， 尽量找出产生异常数据的原因， 不要盲目剔除。 在自然界中， 有时一个异常数据的出现， 可能意味着一个重大的发现。 第2章测量误差理论与数据处理(4) 一个可疑数据是否被剔除， 与我们给定的置信概率的大小或者说对应的置信系数的大小有关。 当置信概率给定得过小时， 有可能把正常测量值当成异常数据来剔除； 当置信概率给定得过大时， 又可能判别不出来异常数据。 所以在测量中， 应

67、设法提高测量的精密度， 即设法减小测量值的标准差， 将有利于对测量数据的判别。 第2章测量误差理论与数据处理【例例2-10】 对某电压进行多次重复测量， 所得结果列于表2-6， 试检查测量数据中有无粗大误差(异常数据)。 第2章测量误差理论与数据处理 表表2-6 例例2-10所用数据所用数据 第2章测量误差理论与数据处理解解： (1) 计算得=20.404， s=0.033。 各测量值的残差i=xi-填入表2-6， 从表中看出8=-0.104最大， 则x8是一个可疑数据。 (2) 用莱特检验法计算：|8|=0.104, 3s=30.033=0.099, |8|3s故可判断x8是粗大误差， 应予

68、以剔除。 再对剔除后的数据计算得： =20.411, s=0.016, 3s=0.048第2章测量误差理论与数据处理各测量值的残差填入表2-6， 从表中可以看出， 14个数据的|i|均小于3s， 故14个数据都为正常数据。 第2章测量误差理论与数据处理(3) 用格拉布斯检验法计算： 取置信概率Pc=0.99， 以n=15查表2-5, 得G=2.70。 由于Gs=2.70.033=0.093s或格拉布斯准则|max|Gs, 检查和剔除粗大误差。 若有粗大误差， 应逐一剔除后， 重新计算和s， 再判断直到无粗大误差。 第2章测量误差理论与数据处理(5) 判断有无系统误差， 如有系统误差， 应查明原

69、因， 修正或消除系统误差后重新测量。(6) 计算算术平均值的标准偏差。 (7) 写出最后结果的表达式， 即 (单位)。 第2章测量误差理论与数据处理【例例2-15】 对某温度进行了16次等精度测量， 测量数据列于表2-8中。 要求给出包括误差在内的测量结果表达式。 第2章测量误差理论与数据处理表表2-8 例例2-15所用测量数据所用测量数据 第2章测量误差理论与数据处理解解： (1) 求出算术平均值。 (2) 计算i=xi-列于表中， 并验证。 (3) 计算标准偏差： 第2章测量误差理论与数据处理(4) 按莱特准则判断是否|i|3s=1.3302， 查表中第5个数据5=1.353s， 应将所对

70、应的x5=206.65视为粗大误差， 加以剔除。 现剩下15个数据。 (5) 重新计算剩余15个数据的平均值： =205.21。 重新计算列于表中， 并验证。 第2章测量误差理论与数据处理(6) 重新计算标准偏差： (7) 按莱特准则再判断是否|3s=0.81， 现各|均小于3s， 则认为剩余15个数据中不再含有粗大误差。 第2章测量误差理论与数据处理(8) 作图， 判断有无变值系统误差， 如图2-11 所示。 从图中可见无明显累进性或周期性系统误差。 (9) 计算算术平均值的标准偏差： 第2章测量误差理论与数据处理(10) 写出测量结果表达式： x=3s=(205.20.2)(取置信系数k=

71、3)。第2章测量误差理论与数据处理 图2-11 残差图 第2章测量误差理论与数据处理2. 不等精度测量不等精度测量前面所讨论的测量结果的计算都是基于等精度测量条件的， 即在相同地点、 相同的测量方法和相同测量设备、 相同测量人员、 相同环境条件(温度、 湿度、 干扰等)， 并在短时间内进行的重复测量。 若在测量条件不相同的情况下进行测量， 则测量结果的精密度将不相同， 这样的测量称为不等精度测量。 例如， 用不同精度的仪器进行对比， 显然所得到的测量结果不会相同， 怎样处理不等精度测量的结果呢？第2章测量误差理论与数据处理1) 不等精度测量中权的概念在等精度测量中， 各个测量数据的标准偏差是相

72、同的， 可以认为是同样可靠的， 并取所有测量数据的算术平均值作为最后测量结果。 在不等精度测量中， 测量数据的标准偏差不相同， 即各个测量结果的可靠程度不一样， 因而不能简单地取各测量结果的算术平均值作为最后测量结果， 应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些， 可靠程度小的占比重小一些。第2章测量误差理论与数据处理从而引入了权的概念， 即各测量结果的可靠程度可用一数值来表示， 此数值就称为该测量结果的“权”， 记为W。 测量结果的权可理解为， 当它与另一些测量结果比较时， 对该测量结果所给予的信赖程度。 第2章测量误差理论与数据处理由于测量数值xj的可靠度越高， 标准偏差j越小，

73、所以定义权Wj为 (2-76) 第2章测量误差理论与数据处理即权值与标准偏差的平方成反比。 式中， 为任意常数， 由=Wj可知， 当Wj=1, 即为单位权时， 的数值恰为， 因此， 可以看成是单位权的方差。 在讨论一列非等精度测量时，若增大或减小某固定倍数， 各测量值的权将同时增大或减小若干倍， 但各测量值之间权的比值不变， 因而不影响问题的讨论。 第2章测量误差理论与数据处理2) 加权平均值 在不同测量条件下， 对某一量X进行m次测量， 测得的数据分别为x1、x2、xm， 对应的权分别为W1、W2、Wm， 那么如何根据这些数据估计X的数值呢？ 显然这时仍用来估计肯定是不合适了。 因为各数据不

74、是等精度的， 不应受到相同的对待。 第2章测量误差理论与数据处理 可以用不同的方法求出非等精度测量估计值的公式。 这里我们介绍一种将非等精度测量等效为等精度测量的方法， 它的基本思想是将每个权为Wj的测量值xj都看成是Wj次等精度测量的平均值(若权Wj不为整数也不影响问题的讨论， 因为可以想象把各个权同乘一个系数， 就能设法近似地把各权都变成整数)。第2章测量误差理论与数据处理例如，x1、x2、x3的权分别为3、 5、 2， 它们的权不相同可能是由于仪器精密度不同、 测量方法不同等很多因素造成的，但我们可以把它等效为共有(3+5+2)=10次等精度的测量，x1、x2、x3分别是其中3、 5、

75、2次测量的平均值。 若每次等精度测量的方差为2， 则三组平均值权的比第2章测量误差理论与数据处理这样就把非等精度的测量等效为等精度的测量了。 对等精度的测量前面已作过较详细的讨论， 因而容易得出所需的结论。 同时， 由于这种等效关系是可逆的， 即不同次数等精度测量的平均值也可以等效于不同权的非等精度测量， 因而用这种方法导出的结论不失一般性。 下面就用这种方法讨论上述X的估计值。 第2章测量误差理论与数据处理 首先把m次非等精度测量等效为次等精度测量， 各测量值xj等效为Wj次等精度测量的平均值， 非等精度测量值与其权乘积的和等效于n次等精度测量值之和， 这样X的m次非等精度测量的平均值就等效

76、为n次等精度测量值的平均值， 即由得到m次非等精度测量结果的加权平均值为 (2-77)第2章测量误差理论与数据处理式中， 为等效于全部等精度测量的次数， 为等效于全部等精度测量值的和。 在等精度测量中， j相等， Wj也相等， 就是加权平均值的特例。 一般用式(2-77)来计算非等精度或者说不等权测量的估计值， 即(2-78) 第2章测量误差理论与数据处理【例例2-16】 已知X的三个非等精度测量值分别为x1=10.2， x2=10.0，x3=10.4， 它们的权分别为3、 5、 2， 求X的估计值。 解解： 由式(2-78)可得第2章测量误差理论与数据处理3) 加权平均值的标准偏差 加权平均

77、值的标准偏差()可由标准偏差合成公式推导得 (2-79)在知道了各不等精度测量值的标准偏差后， 可以直接求出加权平均值及其标准偏差。 最后测量结果可表示为A=k()(单位)。 在有限次测量时， 可用标准偏差的估计值sj代替j进行计算。 第2章测量误差理论与数据处理【例例2-17】 用两种方法测量某电压。 第一种方法测量6次， 其算术平均值V1=10.3 V，标准偏差1=0.2 V； 第二种方法测量8次， 其算术平均值V2=10.1 V，标准偏差2=0.1V。求电压的估计值、 标准偏差及测量结果的表达式。 第2章测量误差理论与数据处理解解： 取=1， 则两种测量值的权为则电压的估计值为第2章测量

78、误差理论与数据处理电压估计值的标准偏差为故测量结果为(10.1430.089) V=(10.140.27) V(取置信系数k=3)。 第2章测量误差理论与数据处理2.5.3 最小二乘法与回归分析最小二乘法与回归分析1. 最小二乘法原理最小二乘法原理 在自然科学中， 大量存在变量y与变量x是函数关系的情况， 同时在函数关系中常常还包含有若干个常数参量、 等。 即y=f(x; , )第2章测量误差理论与数据处理式中, 常数参量、 等有时并不知道， 而需要根据测量值来确定。 若上式中有n个未知参数， 同时假设测量中不包含误差， 则只要对应n个不同的xi值， 测量出n个不同的yi值， 就可以用联立方程

79、解出这n个未知参数、 。 例如已知y=+x， 式中、为两个未知参数， 则对应两个不同的x值测出两个y值， 就可以用联立方程解出和的值来。第2章测量误差理论与数据处理在实际测量中， 总是存在着一定的误差。 即使在没有系统误差的情况下， 同时也不考虑自变量x本身的误差， 但是测量中不可避免地要存在随机误差， 这就使y的实测值与由函数关系式求出的数值之间存在一定的随机误差j=yj-f(xj; , , )第2章测量误差理论与数据处理在这种情况下就不再能用n个联立方程准确地解出、等n个未知参数了， 但是可以根据最大似然估计的方法对未知参数进行估计。 在对y的各独立测量中， 设第j次测量的随机误差为j，且

80、j服从正态分布。 则m次测量值的随机误差恰好等于(1,2, , m)， 这一事件的概率密度为第2章测量误差理论与数据处理上式两端取对数 根据最大似然估计原理， 当、 等为、 等的估计值时， 上式中的各j值应能使L或lnL达到最大。 第2章测量误差理论与数据处理 这时就要求 (2-80) 上式中各项乘2后,和式仍为最小,即第2章测量误差理论与数据处理在实际测量中由于y的真值f(x; , , )不易求得， 因此常用残差来代替随机误差j， 其中， j的物理意义可见图2-12。 这样式(2-80)变为 (2-81) 第2章测量误差理论与数据处理图2-12 最大似然估计中所用的残差第2章测量误差理论与数

81、据处理 上式说明在残差服从正态分布的情况下， 残差平方的加权和为最小时， 满足最大似然估计条件。 同时应把满足这个条件的各参数值作为该参数的估计值。 若上述m次测量为等精度测量， 可设W1=W2=Wm=1第2章测量误差理论与数据处理则最大似然估计的条件变为(2-82) 用式(2-81)确定估计值的方法称为最小二乘法， 因为式中残差的二次方的加权和最小。 严格来说， 最小二乘法只适用于残差或者说随机误差服从正态分布的情况， 但对于误差接近于正态分布的情况也适用。 第2章测量误差理论与数据处理【例例2-18】 对某量X分别进行了m次测量， 其测量值及相应的权分别为x1、x2、 、 xm及W1、W2

82、、 、Wm， 用最小二乘法求X的估计值。 解解： 本例为y=x的特殊情况。 这时j=xj-X，若为X的估计值， 则从最小二乘原理出发， 应满足式(2-81)， 即第2章测量误差理论与数据处理这时必有即解得第2章测量误差理论与数据处理上式与式(2-78)一致， 这说明根据最小二乘原理求得的X估计值与前面把非等精度测量等效为等精度测量所得的估计值相同。 第2章测量误差理论与数据处理2. 曲线拟合与回归分析曲线拟合与回归分析 在自然科学中， 实际上很多量之间并没有严格的函数关系， 而只是存在一种不完全确定的相关关系。 例如电池电压随时间的改变、 晶体三极管的电流放大系数随温度的变化等等， 这种相关关

83、系并不能完全从理论上用一个严格的函数关系式限定， 但又确实存在一定的关联， 而不是毫不相干。 针对具体情况， 这种相关关系也可以用一个表达式来近似地描述。第2章测量误差理论与数据处理为了寻找表达式中变量y和x之间的关系， 人们常常通过实测的方法用不同的x值测出相应的y值， 然后根据测得数据画出y与x之间的关系曲线。 在测试过程中， 虽然经常令x为可以控制或可以精确观察的量， 但是由于随机误差的影响， 通常会使y 值变成一个随机变量。 这样测量数据点x1、y1，x2、y2，xn、yn就往往不在一条光滑的曲线上， 如图2-13所示。 若把各测量值直接连成一条折线或波动甚多的曲线显然是不恰当的， 因

84、为它不符合y与x之间关系的客观规律。 第2章测量误差理论与数据处理图2-13 根据测量结果拟和曲线第2章测量误差理论与数据处理那么应该用一条什么样的曲线或者说用一个什么样的表达式来描述y与x之间的关系才合适呢？ 这就是曲线的拟合或修匀问题。 在要求不太高的情况下， 人们常根据实测数据画一条平滑曲线， 使测量数据大体上在这条平滑曲线两侧均匀分布。 但是即使对同一组数据， 不同人画出的曲线也是不同的。 例如对图2-13中的测量数据， 就可能画出a、 b、 c等多种曲线， 在一些要求严格的场合， 这当然是不希望的。 同时这种画法也常常不容易给出所画曲线的数学表达式， 而后者对用计算机处理数据往往是非

85、常必要的。 第2章测量误差理论与数据处理如果能对应每个xj测量出足够多(理论上为无穷多)个yj， 并求出当x=xj时它的数学期望E(yj)， 则消除了随机误差的影响。 选取不同的xj，求出对应的E(yj)，用xj与E(yj)的关系画出的曲线或找出的关系式将是比较理想的。 这样作出的曲线称为y对x的回归曲线。 描述该曲线的方程叫回归方程。 当对应每个xj只测一次或有限次yj的情况下， 随机误差就不可避免了。第2章测量误差理论与数据处理这时应该运用最小二乘法原理来估计回归方程中的参数， 即代入所估计的参数后， 回归方程应使残差的平方加权和最小， 在等精度测量中应使残差的平方和最小。 根据一组测量数

86、据， 用最小二乘法找到的回归方程的参数， 只是依赖于样本的一种估计值， 分析结果受抽样误差或者说测量误差的影响。 这样的回归方程应叫样本回归方程。 在下面的讨论中为简单起见， 仍叫它回归方程。 第2章测量误差理论与数据处理根据一组测量数据求回归方程的具体做法主要包括下面两个方面。(1) 确定数学表达式即回归方程的类型。(2) 确定回归方程中常参数及常数项、 等的数值。 回归方程的类型通常要根据专业知识来选择， 当从理论上不能确定函数曲线应属于哪种形式时， 可参阅表2-9几种常见曲线的函数形式， 选择与实测结果相近的形式。 第2章测量误差理论与数据处理 在能同时用几种曲线来近似的情况下， 可比较

87、各种方法近似后的残差， 取其残差平方和最小者， 并力求函数关系式不要过于复杂， 以节省计算工作量。 当找不到相近的函数关系式时， 还可以用幂级数的前n项y=a0+a1x+an-1xn-1去逼近， 只要在所讨论的范围内幂级数是收敛的， 这种逼近就是允许的。 第2章测量误差理论与数据处理根据最小二乘法原理， 在选定了回归方程的形式以后， 式中各常系数及常数的估计值应这样确定： 根据实测得各x值代入回归方程， 求出y 值(这时y值中包含了待估计参数、 等)， 然后求它与实测y值之差的加权平方和， 并令加权平方和最小， 即可求出待估计的参数。 第2章测量误差理论与数据处理表表2-9 几种常见曲线的函数

88、形式及对应直线方程的转换几种常见曲线的函数形式及对应直线方程的转换 第2章测量误差理论与数据处理第2章测量误差理论与数据处理对等精度测量， 应满足取最小值因此， 解下面的联立方程就可以求出、等的估计值 (2-83) 第2章测量误差理论与数据处理式(2-83)称为正规方程。 由于在实践中大量存在线性关系， 在小范围内非线性关系又可以近似为线性关系， 所以用正规方程求待定参数的一个常见的特例就是回归方程为线性， 即求关系式y=+x中、的情况。 解正规方程式(2-83)第2章测量误差理论与数据处理得 (2-84)上式求线性回归方程中参数、的方法是很有用的， 有些高等级的计算器还配有用上式求、的程序。

89、 第2章测量误差理论与数据处理【例例2-19】 根据下列表中实验数据， 用回归分析法求x与y间的近似关系式。 第2章测量误差理论与数据处理表表2-10 例例2-19实验数据实验数据 第2章测量误差理论与数据处理解解： 将实测数据标于图2-14上， 由图可见y与x的关系近似于一条直线。 选取回归方程的类型为y=+x， 式中包括两个待估计的常数及。 将题中数据代入式(2-84)， 求得=2.66， =0.422， 则可得到y与x的关系式为y=2.66+0.422x将这个关系式画于图2-14中， 可以看出它很好地逼近了实测数据。 第2章测量误差理论与数据处理图2-14 例2-19中的实测数据与回归分

90、析的结果第2章测量误差理论与数据处理对某些非线性关系， 也常常可以通过一些变换， 转化为线性关系来计算。 这样就可以直接利用式(2-84)求线性关系中参数、 的公式， 然后经过反变换， 找出非线性关系的表达式。 几种常见曲线的函数形式所对应直线方程的转换见表2-9。 第2章测量误差理论与数据处理思思 考考 与与 练练 习习2-1 解释下列名词的含义： 真值、 示值、 实际值、 标称值、 修正值、 测量误差。 2-2 什么是等精度测量？什么是非等精度测量？2-3 试述系统误差、 随机误差、 粗大误差的特点。 2-4 简述系统误差、 随机误差的含义， 以及在测量系统(仪器)中与正确度、 精密度、

91、准确度的关系。 第2章测量误差理论与数据处理2-5 用图2-15中(a)、 (b)两种电路测电阻Rx0， 若电压表的内阻为RV，电流表的内阻为RI， 求测量值Rx=V/I受电表影响产生的绝对误差和相对误差， 并讨论所得结果。 第2章测量误差理论与数据处理图2-15 题2-5图第2章测量误差理论与数据处理2-6 在图2-16中， 用内阻为RV的电压表测量A、B两点间的电压， 若忽略电源E、电阻R1、R2的误差，求： (1) 不接电压表时，A、B间的实际电压UAB。(2) 若RV=20 k，由它引入的示值相对误差和实际值相对误差各为多少？(3) 若RV=1 M, 由它引入的示值相对误差和实际值相对

92、误差各为多少？ 第2章测量误差理论与数据处理图2-16 题2-6图第2章测量误差理论与数据处理2-7 已知CD-4B型超高频导纳电桥在频率高于1.5 MHz时， 测量电容的误差为5%(读数值)1.5 pF。 求用该电桥分别测200 pF、30 pF、2 pF时，测量的绝对误差和相对误差， 并以所得绝对误差为例， 讨论仪器误差的相对部分和绝对部分对总测量误差的影响。 第2章测量误差理论与数据处理2-8 检定2.5级、 量程为100 V的电压表， 在50 V刻度上标准电压表读数为48 V，试问在这一点上此表是否合格？2-9 被测电压为8 V左右， 现有两块电压表， 一块量程为10 V， 准确度为s

93、1=1.5 级；另一块量程为50 V， 准确度为s2=1.0级， 问采用哪一块电压表测量结果较为准确？第2章测量误差理论与数据处理图2-17 题2-10图第2章测量误差理论与数据处理2-10 用等臂电桥(R1R2)测电阻Rx， 电路如图2-17 所示。电桥中Rs为标准可调电阻，利用交换Rx与Rs位置的方法对Rx进行两次测量， 试证明Rx的测量值与R1及R2的误差R1及R2无关。 2-11 对某信号源的输出频率fx进行了10次等精度测量， 结果(单位： kHz)为 110.105, 110.090, 110.090, 110.070, 110.060 110.050, 110.040, 110.

94、030, 110.035, 110.030 第2章测量误差理论与数据处理试用马利科夫及阿卑-赫梅特判据判别是否存在变值系差。 2-12 采用微差法测量未知电压Ux， 设标准电压的相对误差不大于5/10000， 电压表的相对误差不大于1%， 相对微差为1/50， 求测量的相对误差。 第2章测量误差理论与数据处理2-13 对某信号源的输出频率fx进行了8次测量， 数据(单位： kHz)如下1000.82 1000.79 1000.85 1000.84 1000.73 1000.91 1000.76 1000.82求 (fx)及s(fx)。 第2章测量误差理论与数据处理2-14 设题2-13中不存在

95、系统误差， 在要求置信概率为99%的情况下， 估计输出频率的真值应在什么范围内？2-15 具有均匀分布的测量数据。(1) 当置信概率为100%时， 若它的置信区间为E(X)-c(X), E(X)+c(X)， 问这里c应取多大？(2) 若取置信区间为， 问置信概率为多大？第2章测量误差理论与数据处理2-16 设有大电阻RM=RM0RM，小电阻Rm=Rm0Rm，已知RMRm，它们的相对误差具有相同的数量级。 在把这两个电阻分别串、 并联时， 哪个电阻的误差对总电阻的相对误差影响大？ 第2章测量误差理论与数据处理图2-18 题2-17图第2章测量误差理论与数据处理2-17 R-C相移网络如图2-18

96、所示， u2导前u1的角度为已知、R、C及/、R/R、C/C，求角的绝对误差及相对误差。 2-18 用示波器观察两个同频率的正弦信号(如图2-19)，图中x1=1.2cm， x2=8.0 cm。第2章测量误差理论与数据处理图2-19 题2-18图第2章测量误差理论与数据处理(1) 计算u2导前u1的角度。 (2) 若由于示波器分辨力的限制，x1的读数应为1.20.1cm，x2的读数应为8.00.1cm，问用这种方法测量造成的误差及/各为多少？第2章测量误差理论与数据处理2-19 用两种不同的方法测电阻， 若测量中均无系统误差， 所得阻值(单位：)为第一种方法(测8次)： 100.36, 100

97、.41, 100.28, 100.30, 100.32, 100.31, 100.37, 100.29第二种方法(测6次)： 100.33, 100.35, 100.29, 100.31, 100.30, 100.28第2章测量误差理论与数据处理(1) 若分别用以上两组数据的平均值作为电阻的两个估计值， 问哪个估计值更可靠？(2) 用两次测量的全部数据求被测电阻的估计值(加权平均)。 2-20 电能的计算公式为， 若已知V=1%，R=0.5%，t=1.5%，求电能的相对误差。 2-21 某电压放大器, 测得输入电压Ui=1.0mV，输出电压Uo=1200 mV，两者的相对误差均为2%，求放大器

98、增益的分贝误差。 第2章测量误差理论与数据处理2-22 电阻R上的电流I产生的热量Q=0.24I2Rt, 式中t为通过电流的持续时间。 已知测量I与R的相对误差为1%，测定t的相对误差为5%，求Q的相对误差。 2-23 设某类电流表通过的电流I与指针偏转角之间关系是I=ktan，式中k为常数， 电流测量误差最小的条件是什么？ 第2章测量误差理论与数据处理图2-20 题2-24图第2章测量误差理论与数据处理2-24 用一块量程为5 V，准确度s=1.5 级电压表测量图2-20中a、b点的电压分别为Ua=4.26V和Ub=4.19V， 若忽略电压表的负载效应， 求： (1) Ua、Ub的绝对误差、

99、 相对误差各为多少？(2) 利用公式Uab=Ua-Ub计算， 则电压Uab的绝对误差、 相对误差各为多少？ 第2章测量误差理论与数据处理2-25 两个电阻的测量值分别是R1=20 2%， R2=(1000.4) ，试求两个电阻在串联与并联时总电阻及其相对误差。 2-26 在图2-21中，U1=U2=40V，若用50 V交流电压表进行测量， 允许总电压U的最大误差为2%，问应选择什么等级的电压表？ 第2章测量误差理论与数据处理图2-21 题2-26图第2章测量误差理论与数据处理2-27 设某测量结果有关A类不确定度和B类不确定度如表2-11所示， 求该测量结果的合成不确定度， 自由度及总不确定度

100、(取置信概率P=0.95)。 第2章测量误差理论与数据处理表表2-11 题题2-27所用的数据所用的数据 第2章测量误差理论与数据处理2-28 对某电阻进行了10次测量，数值(单位：k)99.2， 99.4， 99.5， 99.3， 99.1， 99.3， 99.3， 99.4， 99.2， 99.5， 若测量的系统误差为1%，并为均匀分布， 测量的随机误差为正态分布。 对测量数据进行处理，给出电阻的测量值和测量值所包含的不确定度。 2-29 按照舍入规则，对下列数据处理， 使其各保留三位有效数字， 并指出各数字的最大误差。 86.3724， 7.9145， 3.1750， 0.003125， 59250 第2章测量误差理论与数据处理2-30 设电压U的三个非等精度测量值分别为U1=1.0 V，U2=1.2 V， U3=1.4V，它们的权分别为6、 7、 5， 求U的最佳估计值。 2-31 用数字电压表测得一组电压数值如表2-12所示。 试判断有无坏值， 并写出测量报告值。 第2章测量误差理论与数据处理表表2-12 题题2-31所用的数据所用的数据 第2章测量误差理论与数据处理2-32 测量x和y的关系， 得到的数据如表2-13所示。 试用最小二乘法拟合， 求表中实验数据的最佳曲线。 第2章测量误差理论与数据处理 表表2-13