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1、31 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 32 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图33 纯剪切纯剪切34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力35 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形36 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念第三章第三章 扭扭 转转 目录33-1 -1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例一、工程实例目录工工 程程 实实 例例汽车传动轴汽车传动轴目录工工 程程 实实 例例汽车方向盘汽车方向盘目录3-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例1受受力力特特征征：在在杆杆件件两两端端垂垂直直于于杆杆轴轴线线的的平平面面内内作作用用一一对对大大 小相等，方向相反的外力偶。小相等
2、，方向相反的外力偶。 2变变形形特特征征：横横截截面面形形状状大大小小未未变变，只只是是绕绕轴轴线线发发生生相相对对转转动。动。 轴轴：以扭转为主要变形的构件称为轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。直接计算直接计算33-2-2、外力偶矩外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图1.1.外力偶矩外力偶矩3-23-2目录按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：已知已知轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me
3、 e33-2-2、外力偶矩外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图目录T = Me扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTx目录扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+),(+),反之为反之为 负负(-)(-)4-24-2、外力偶矩外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3-2
4、3-2目录 扭扭 矩矩 的的 符符 号号 规规 定定4 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT目录例例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩目录nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）目录绘制扭矩图绘制扭矩图B
5、C段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37目录3-23-2目录 圆圆 筒筒 变变 形形33 纯剪切纯剪切 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。目录2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜
6、了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。目录3-23-2目录 圆圆 筒筒 单单 元元 体体 acddxbdy 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4. 与与 的关系：的关系：微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：目录二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小： A0：平均半径所作圆的面积。目录三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理： 上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应在单元体相互垂直的两个平
7、面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz目录四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。目录 T=m 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。剪应力与剪应变成正比关系。目录 式中：G是材料的
8、一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。目录五、剪切变形能一、一、 应变能与能密度应变能与能密度acddxb dy dzzxy单元体微功：单元体微功：应变比能：应变比能：34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 1. 横截面变形后横截面变形后仍为平面仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵
9、向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：目录目录二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：变形几何关系：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。 扭转角沿长度方向变化率。目录2. 物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得：3. 静力学关系：静力学关系：OdA令代入物理关系式 得：横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：
10、T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。目录单位：单位：mm4，m4。 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。对于实心圆截面：目录do对于空心圆截面：目录Ddo 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。目录 确定最大剪应力：确定最大剪应力：由知：当Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量
11、）， 几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：目录低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：( 称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：目录 例例2 2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴图， 许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmx目录例例
12、3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。倍？（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一，面积增大一倍后内外径分别变为倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为最大许可扭矩为1例例3-4-3：某某汽汽车车主主传传动动轴轴钢钢管管外外径径D=76mm，壁壁厚厚t=
13、2.5mm，传递扭矩传递扭矩T=1.98kNm，t t=100MPa，试校核轴的强度。试校核轴的强度。 解：计算截面参数：解：计算截面参数： 由强度条件：由强度条件：故轴的强度满足要求。故轴的强度满足要求。 同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故故空心轴较实心轴合理空心轴较实心轴合理。 空心轴与实心轴的截面面积比空心轴与实心轴的截面面积比(重量比重量比)为：为： 由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。若将空心轴改成实心轴，仍使若将空心轴改成实心轴，仍使，则，则35 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形一、扭转时的变形由
14、公式知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为目录二、单位扭转角二、单位扭转角 ：或三、刚度条件三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。 称为许用单位扭转角。目录刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。目录 例例33长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径目录40NmxT代入数
15、值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度目录40NmxT右端面转角为：目录 例例44 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)目录由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)
16、目录 综上：全轴选同一直径时目录 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814目录二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1. 1. 应力的计算应力的计算=+ Q TQ QT T近似值：PQT2. . 弹簧丝的强度条件弹簧丝的强度条件: :精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）其中：称为弹簧指数。称为曲度系数。3. .位移的计算位移的计算( (能量法）能量法）外力功：变形能： 例例66 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18
17、mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？解：最大剪应力的近似值：最大剪应力的精确值：弹簧圈数：（圈）36 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。目录一一、自由扭转、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。二二、约束扭转：、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面
18、 的翘曲程度不同。三三、矩形杆横截面上的剪应力、矩形杆横截面上的剪应力: : hbh 1T max 注意！b1. 剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）目录2. 最大剪应力及单位扭转角hbh 1T max 注意！b其中：其中：It相当极惯性矩。目录注意！注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。hbh 1T max 注意！b目录 例例8 8 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的 作用 ，钢的G =80GPa ，=100M Pa，=1/m ，试校核 此杆的强度和刚度。解：查表求 、校核强度目录校核刚度综上,此杆满足强度和刚度要求。目录
