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1、-特殊行列式及行列式计算方法总结特殊行列式及行列式计算方法总结一、一、几类特殊行列式几类特殊行列式1.上下三角行列式、对角行列式教材 P7 例 5、例 62.以副对角线为标准的行列式3.分块行列式教材 P14 例 10一般化结果：4.范德蒙行列式教材 P18 例 12注：4 种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！ ！ ！二、二、低阶行列式计算低阶行列式计算二阶、三阶行列式对角线法则教材 P2、P3三、三、高阶行列式的计算高阶行列式的计算【五种解题方法】1)利用行列式定义直接计算特殊行列式；2)利用行列式的性质将高阶行列式化成结果的特殊行列式；3)利用行列式的行列扩展定
2、理以及行列式的性质，将行列式降阶进展计算适用于行列式的*一行或*一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算；4)递推法或数学归纳法；5)升阶法又称加边法【常见的化简行列式的方法】1. 1.利用行列式定义直接计算特殊行列式利用行列式定义直接计算特殊行列式.z.-例例 1 12001 年考研题分析： 该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进展计算。解法一：定义法解法一：定义法解法二：行列式性质法解法二：行列式性质法利用行列式性质 2 把最后一行依次与第n-1,n-2,2,1 行交换这里n=2001 ，即进展 2000 次换行以后，变成副对角行列式。解法
3、三：分块法解法三：分块法利用分块行列式的结果可以得到解法四：降阶定理展开解法四：降阶定理展开按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。2. 2.利用行列式的性质将高阶行列式化成结果的特殊行列式利用行列式的性质将高阶行列式化成结果的特殊行列式例例 2 2分析：该行列式的特点是 1 很多，可以通过r1r2和r3r4来将行列式中的很多 1化成 0.解：例例 3 3a133a2D 3a33a4a12b12a2b22a3b32a4b4a1b122a2b2a3b322a4b4b133b2，(ai 0)3b33b4分析：该类行列式特点是每行a的次数递减，b的次数增加。特点与范德蒙行列式相似，因此可以利用行列
4、式的性质将D化成范德蒙行列式。解：.z.-练习： 11-12 年 IT 专业期末考试题 1x x假设实数x x, y y, z z各不相等，则矩阵MM x x21y yy y21 z z的行列式MM _z z23. 3.利用行列式的行列扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进展计算利用行列式的行列扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进展计算例例 4 4分析：该行列式特点是a处于主对角线，b在a后的一个位置，最后一行中b是第一个元素，a是最后一个元素。解：按第一列展开：练习： 11-12 年期中考试题4. 4.行列和相等的行列式行列和相等的行列式例例 5 5分析： 该行列式的特点是主对角线上元
5、素为a， 其余位置上都是b。 可将第2,3， ，n列加到第 1 列上。 类似题型：教材 P12 例 8，P27 8(2)解：5. 5.箭头形爪行行列式箭头形爪行行列式例例 6 6分析：该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0，其余位置都为0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。解：分别从第 2,3,n列提出因子 2,3，n，然后将第 2,3,n列分别乘以-1，再加到第 1 列上。注： 爪形行列式非常重要， 很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成爪形行列式进展计算！.z.-练习：1)教材习题 P28: 8(6)2)11-12 年期末考试题3)11-12 年 IT 期末
6、考试题例例 7 7分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同。解：6. 6.递推法或数学归纳法递推法或数学归纳法该方法用于行列式构造具有一定的对称性，教材 P15 例 11 就是递推法的经典例题。利用同样的方法可以计算教材 P27 8(4)。7. 7.升阶法升阶法通常计算行列式都采用降阶的方法，是行列式从高阶降到低阶，但是对于 *些行列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进展计算。例例 8 8教材 P28 8(6)Dn=1+a1111+a211111+an,(ai0)分析：该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。因为行列式中有很多1，因此可以增加一行 1，使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。注意：行列式是方形的，因此在增加一行以后还要增加一列，以保持行列式的形状。为了使行列式的值不改变，因此增加的列为 1,0,0,0.例例 9 9教材 P276(4)分析： 此行列式可以应用性质 6 将行列式化为上三角行列式， 也可以比照范德蒙.z.-行列式的形式，通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进展计算。解法一：解法一：解法二：解法二：x3的系数是D，因此D等于x3的系数的相反数，由此可计算得到结果。.z.
