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1、向量矩阵及二次型之习题课向量矩阵及二次型之习题课5 5设设n阶方阵阶方阵A=(aij)的特征值为的特征值为 1, 2, , n, 则有则有: (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann;(2) 1 2 n = | A |.六、有关特征值六、有关特征值, 特征向量的一些结论特征向量的一些结论若若 是矩阵是矩阵A的特征值的特征值, 则则(1) 是矩阵是矩阵AT的特征值的特征值, (2) m是矩阵是矩阵Am的特征值的特征值(m为正整数为正整数);(3) 当当A可逆时可逆时, 则则 -1是逆阵是逆阵A-1的特征值的特征值. 还可以类推还可以类推: 若若 是矩阵是矩阵A的特征
2、值的特征值, 则则 ( )是是矩阵矩阵多项式多项式 (A)的特征值的特征值, 其中其中 ( )=a0+a1 +am m, (A)=a0E+a1A+amAm. 定理定理: 设设p1, p2, , pm是方阵是方阵A的分别对应于的分别对应于m个互个互不相等的特征值不相等的特征值 1, 2, , m的的m个特征向量个特征向量, 则则p1, p2, , pm线性无关线性无关. 注意注意2: 属于同一特征值的特征向量的非零线性组属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量合仍是属于这个特征值的特征向量; 注意注意3: 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值矩阵的特征向量总是相对于矩阵
3、的特征值而言的而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一一个特征值具有的特征向量不唯一, 但一个特但一个特征向量不能属于两个不同的特征值征向量不能属于两个不同的特征值.注意注意1: 属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的;七、相似矩阵七、相似矩阵 定义定义: 设设A, B都是都是n阶矩阵阶矩阵, 若有可逆矩阵若有可逆矩阵P, 使使P-1AP = B ,则称则称B是是A的相似矩阵的相似矩阵, 或说或说矩阵矩阵A与与B相似相似, 对对A进行进行运算运算P-1AP, 称为称为对对A进行相似变换进行相似变换, 可逆矩阵可逆矩阵P称为把称为把A变成变成B的的相似变换矩阵相
4、似变换矩阵. 定理定理1: 若若n阶阶矩阵矩阵A与与B相似相似, 则则A与与B的特征多项的特征多项式相同式相同, 从而从而A与与B的特征值亦相同的特征值亦相同. 推论推论: 若若n阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵 =diag( 1, 2, n )相似相似, 则则 1, 2, n 既是既是A的的n个个特征值特征值.相似矩阵的性质相似矩阵的性质:1. 相似矩阵是等价的相似矩阵是等价的:(1) 自反性自反性; (2) 对称性对称性; (3) 传递性传递性.3. P-1(A1A2)P = (P-1A1P)(P-1A2P).4. 若若A与与B相似相似, 则则Am与与Bm相似相似(m为正整数为正整数) ).
5、2. P-1(k1A1+k2A2)P = k1P-1A1P+k2P-1A2P.其中其中k1, k2是任意常数是任意常数 (A)=a0PP-1+a1PBP-1+amPBmP-1 =P(a0E+a1B+amBm)P-1=P (B)P-1.即即相似矩阵的多项式相似矩阵的多项式, 有相同相似变换矩阵有相同相似变换矩阵.Am = P mP-1; (A)= P ( )P-1.特别当矩阵特别当矩阵A与对角阵与对角阵 =diag( 1, 2, n )相似时相似时,则则而对于对角阵而对于对角阵 , 有有 k = ( )= 结论结论: 若若f( )为矩阵为矩阵A的特征多项式的特征多项式, 则矩阵则矩阵A的多的多项
6、式项式f(A)=O. 定理定理2: n阶矩阵阶矩阵A与对角矩阵与对角矩阵 相似相似(即即A能对角化能对角化)的充分必要条件是的充分必要条件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.八、实对称矩阵的性质八、实对称矩阵的性质定理定理1: 对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. 定理定理2: 设设 1, 2是对称矩阵是对称矩阵A的两个特征值的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量是对应的特征向量, 若若 1 2, 则则p1与与p2正交正交. 定理定理3: 设设A为为n阶对称矩阵阶对称矩阵, 是是A的特征方程的的特征方程的r 重根重根, 则矩阵则矩阵(A E )的秩的秩R(A E
7、 ) = nr, 从而对应特从而对应特征值征值 恰有恰有r 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. 定理定理4: 设设A为为n阶对称矩阵阶对称矩阵, 则必有则必有正交矩阵正交矩阵P , 使使P-1AP = , 其中其中 是以是以A的的n个特征值为对角元素的对个特征值为对角元素的对角矩阵角矩阵.九、二次型及其标准形的概念九、二次型及其标准形的概念定义定义: 含有含有n个变量个变量x1, x2, , xn的的二次齐次函数二次齐次函数f(x1, x2, , xn)=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn称为称为二次型二次型.只含有
8、平方项的二次型只含有平方项的二次型 f(x1, x2, , xn)=k1y12+k2y22+knyn2称为称为二次型的标准形二次型的标准形(或或法式法式).则二次型可记作则二次型可记作 f =xTAx, 其中其中A为对称矩阵为对称矩阵(矩阵表示矩阵表示).若记若记 对称矩阵对称矩阵A叫做叫做二次型二次型 f 的矩阵的矩阵, f 叫做叫做对称矩阵对称矩阵A的二次型的二次型, 对称矩阵对称矩阵A的秩叫做二次型的秩叫做二次型 f 的秩的秩.十、化二次型为标准形十、化二次型为标准形 定理定理1: 任给可逆矩阵任给可逆矩阵C, 令令B=CTAC, 如果如果A为对称为对称矩阵矩阵, 则则B也为对称矩阵也为
9、对称矩阵, 且且R(A)=R(B). 说明说明1: 二次型二次型 f 经可逆变换经可逆变换 x=Cy 后后, 其秩不变其秩不变, 但但 f 的矩阵由的矩阵由A变为变为B=CTAC; 说明说明2: 要使二次型要使二次型 f 经可逆变换经可逆变换 x=Cy 变成标准变成标准形形, 就是要使就是要使,yT(CTAC)y =k1y12+k2y22+knyn2也就是要使也就是要使CTAC成为对角矩阵成为对角矩阵.定理定理2: 任给二次型任给二次型总有正交变换总有正交变换 y=Px, 使使 f 化为标准形化为标准形: f = 1y12+ 2y22+ nyn2,其中其中 1, 2, , n,是是 f 的矩阵
10、的矩阵A=(aij)的特征值的特征值.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出求出A; 2. 求出求出A的所有特征值的所有特征值 1, 2, , n ; 3. 求出求出对应特征值对应特征值 i 的正交单位化的特征向量组的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组从而有正交规范向量组 1, 2, , n ;十一、拉格朗日配方法的具体步骤十一、拉格朗日配方法的具体步骤1. 若二次型含有若二次型含有xi 的平方项的平方项, 则先把含有则先把含有xi的乘积的乘积项集中项集中, 然后配方然
11、后配方, 再对其余的变量同样进行再对其余的变量同样进行, 直到都直到都配成平方项为止配成平方项为止, 经过非退化线性变换经过非退化线性变换, 就得到标准形就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项若二次型中不含有平方项, 但是但是aij 0 ( i j ), 则则先作可逆线性变换先作可逆线性变换: 化二次型为含有平方项的二次型化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按然后再按1中方中方法配方法配方.( k i, j ). 4. 记记P=( 1, 2, , n ), 作正交变换作正交变换x=Py, 则得则得 f 的标准形的标准形:f = 1y12+ 2y22+ nyn2 .十二、正定二次型十二、
12、正定二次型 定义定义: 设有实二次型设有实二次型 f(x)=xTAx,显然显然 f (0)=0. 如果对任意的如果对任意的 x 0, 都有都有 f(x)0, 则称则称 f 为为正定二正定二次型次型, 并称对称矩阵并称对称矩阵A为正定矩阵为正定矩阵; 如果对任意的如果对任意的 x 0, 都有都有 f(x) j ), 证明证明A不可对角化不可对角化. 解解(1):方阵方阵A可对角化的一个可对角化的一个充分条件充分条件是是A有有n个个互异的特征值互异的特征值. 下面求出下面求出A的所有特征值的所有特征值.因为因为所以所以 fA( )=| A E |=(a11 ) (a22 )(ann ),得得A的所
13、有特征值的所有特征值 i = aii ( i =1, 2, , n ). 所以所以, 当当 i j ( i j, i, j =1, 2, , n )时时, 即当即当aii ajj 时时A可对角化可对角化.解解(2): 用反证法用反证法.若若A可对角化可对角化, 则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P, 使使P-1AP=diag( 1, 2, , n),其中其中 i ( i =1, 2, , n )是是A的的特征值特征值.由条件和由条件和(1)的证明过程知的证明过程知: i=aii=a11(i=1, 2, , n).故故A = Pa11EP-1 = a11PP-1 = a11E ,从而从而这与至少有一个
14、这与至少有一个aij 0(ij)矛盾矛盾, 故故A不可对角化不可对角化. 利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵, , 化二次型化二次型化二次型化二次型为标准形等计算问题不再举例为标准形等计算问题不再举例为标准形等计算问题不再举例为标准形等计算问题不再举例. .填空题填空题 1. 设设A是是n阶方阵阶方阵, A*是是A的伴随矩阵的伴随矩阵, | A | = 2, 则则方阵方阵B=AA*的特征值是的特征值是 , 特征向量是特征向量是 . 2. 三阶方阵三阶方阵A的特征值为的特征值为1, 1, 2, 则则B=2A33A2的的特征值为特征值为 .3. 设设A的特征值为的特征值为2和和1(二重二重), 那么那么B的特征值为的特征值为 .相似相似, 则则 x= , y= .4. 已知矩阵已知矩阵与与5(n重重)任意任意n维非零向量维非零向量-1, -5, 42和和1(二重二重)01结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！36
