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1、多多 变变 量量 最最 优优 化化例：竞争性产品生产中的利润最大化例：竞争性产品生产中的利润最大化一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种1919英寸液晶平板英寸液晶平板电视机，制造商建议零售价为电视机，制造商建议零售价为339339美元；另一种美元；另一种2121英寸液晶平英寸液晶平板电视机，零售价为板电视机，零售价为399399美元。公司付出的成本为美元。公司付出的成本为1919英寸彩电英寸彩电每台每台195195美元，美元，2121英寸彩电每台英寸彩电每台225225美元，还要加上美元，还要加上400000400000美美元的固定成本。元的固定成本。在
2、竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降销售价格会下降1 1美分。而且美分。而且1919英寸彩电的销售会影响英寸彩电的销售会影响2121英寸英寸彩电的销售，反之亦然。据估计，每售出一台彩电的销售，反之亦然。据估计，每售出一台2121英寸彩电，英寸彩电，1919英寸彩电的平均售价会下降英寸彩电的平均售价会下降0.30.3美分，而每售出一台美分，而每售出一台1919英寸英寸彩电，彩电，2121英寸彩电的平均售价会下降英寸
3、彩电的平均售价会下降0.40.4美分。美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？问题是：每种彩电应该各生产多少台？变量：变量：x=19x=19英寸彩电的售出数量（每年）英寸彩电的售出数量（每年）y=21y=21英寸彩电的售出数量（每年）英寸彩电的售出数量（每年）p=19p=19英寸彩电的销售价格（美元）英寸彩电的销售价格（美元）q=21q=21英寸彩电的销售价格（美元）英寸彩电的销售价格（美元）R=R=彩电销售的收入（美元彩电销售的收入（美元/ /年）年）C=C=生产彩电的成本（美元）生产彩电的成本（美元）P=P=彩电销售的利润（美元彩电销售的利润（美元/ /年）年）提出问题：提出问题：假设：假
4、设：目标：最大化利润函数目标：最大化利润函数P P解得全局极大值点解得全局极大值点建立模型：建立模型：求解模型：求解模型：选择建模方法选择建模方法无约束多变量最优化问题无约束多变量最优化问题回答问题：回答问题：这家公司可以通过生成这家公司可以通过生成47354735台台1919英寸彩电和英寸彩电和70437043台台2121英寸彩电来获得最大利润，每年获得英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润为的净利润为553641553641美元，每台美元，每台1919英寸彩电的平英寸彩电的平均售价为均售价为270.52270.52美元，每台美元，每台2121英寸彩电的平均英寸彩电的平均售价为售价为309
5、.63309.63美元。生产的总支出为美元。生产的总支出为29080002908000美元，相应的利润率为美元，相应的利润率为19%19%。因此建议这家公。因此建议这家公司应该实行推出新产品的计划。司应该实行推出新产品的计划。计算机代数系统-matlab x, y = meshgrid(0:400:10000, 0:400:10000); z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y - (400000 + 195*x + 225*y); mesh(x, y, z) syms x y z = (339 - 0.01*
6、x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y - (400000 + 195*x + 225*y); dzdx = diff(z, x) dzdy = diff(z, y) s = solve(-1/50*x + 144 - 7/1000*y = 0,-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0, x, y) subs(z, x, y, s.x, s.y)灵敏性分析在向公司报告结论之前，应对我们关于彩电市场在向公司报告结论之前，应对我们关于彩电市场和生产过程所做的假设进行灵敏性分析，以保证和生产过程所做的假设进行灵敏性分析，以保证结果具
7、有稳健性。结果具有稳健性。对对1919英寸彩电的价格弹性系数英寸彩电的价格弹性系数a a的灵敏性进行分析的灵敏性进行分析. .我们主要关心的是决策变量我们主要关心的是决策变量x x和和y y的值，因为公司的值，因为公司要据此来确定生产量。要据此来确定生产量。求偏导数并令其为零，可解得求偏导数并令其为零，可解得可画出可画出x x和和y y关于关于a a的曲线图的曲线图. .1919英寸彩电的价格弹性系数英寸彩电的价格弹性系数a a的提高，会导致的提高，会导致1919英寸彩电的最优生产量英寸彩电的最优生产量x x的下降，及的下降，及2121英寸英寸彩电的最优生产量彩电的最优生产量y y的提高。而且
8、，图中显示的提高。而且，图中显示x x比比y y对于对于a a更敏感。更敏感。计算可得，在计算可得，在a=0.01a=0.01时，有时，有如果将如果将1919英寸彩电的价格弹性系数提高英寸彩电的价格弹性系数提高10%10%，则，则我们应将我们应将1919英寸彩电的生产量缩小英寸彩电的生产量缩小11%11%，2121英寸英寸彩电的生产量扩大彩电的生产量扩大2.7%.2.7%.计算可得，在计算可得，在a=0.01a=0.01时，有时，有考虑考虑y y对于对于a a的灵敏性。的灵敏性。因此，因此，1919英寸彩电的价格弹性系数提高英寸彩电的价格弹性系数提高10%10%，会使利润下降会使利润下降4%.
9、4%. syms a z = (339 - a*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y- (400000 + 195*x + 225*y) dzdx = diff(z, x) dzdy = diff(z, y) s = solve(-2*a*x + 144 - 7/1000*y = 0,-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0, x, y) dxda = diff(s.x, a) sxa = dxda * a / s.x a = 0.01 eval(sxa)Matlab优化函数function y = tvsell(x)y =
10、 -(339 - 0.01*x(1) - 0.003*x(2) * x(1) - (399 - 0.004*x(1) - 0.01*x(2) * x(2) + (400000 + 195*x(1) + 225*x(2);1） 建立目标函数的m-文件2）求解 x0 = 0, 0; x, yval = fminunc(tvsell, x0)无约束多变量函数极小fminunc如果在求极值时使用函数的梯度，则在目标函数的m-文件中应有两个输出，第二个输出为目标函数的梯度向量. x0 = 0, 0; options = optimset(gradobj, on); x, yval = fminunc(t
11、vsell, x0, options)function y, g = tvsell_b(x)y = -(339 - 0.01*x(1) - 0.003*x(2) * x(1) - (399 - 0.004*x(1) - 0.01*x(2) * x(2) + (400000 + 195*x(1) + 225*x(2);g = 144 - 0.02*x(1) - 0.007*x(2),174 0.007*x(1) 0.02*x(2);例：单变量最优化 options = optimset(tolx, 1e-004); x, yval = fminbnd(myfun, -2, 1, options,
12、 1)function y = myfun(x, a)y = x/(a+x2);求求a=1时时 f 在区间在区间-2,1上的极小值点及极小值上的极小值点及极小值.连续约束优化连续约束优化拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法例：考虑航天飞机上固定在飞机例：考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。水箱墙上供宇航员使用的水箱。水箱的形状类似于谷仓，即在圆柱体的形状类似于谷仓，即在圆柱体顶部接一个圆锥体。如果其半径顶部接一个圆锥体。如果其半径为为6m6m，而总的表面积限定为，而总的表面积限定为450m2450m2，请确定圆柱体和圆锥体，请确定圆柱体和圆锥体的高度，使谷仓的容积最大。的高度，使谷仓的容积
13、最大。假设：影响水箱设计的因素很多。在我们的模型中，假设：影响水箱设计的因素很多。在我们的模型中，考虑水箱的形状和尺寸、体积、表面积，以及圆柱体考虑水箱的形状和尺寸、体积、表面积，以及圆柱体和圆锥体的半径。和圆锥体的半径。在满足设计限制的前提下，为宇航员最大化在满足设计限制的前提下，为宇航员最大化水箱容积。水箱容积。提出问题：提出问题：模型建立：模型建立：圆柱体的体积圆柱体的体积圆锥体的体积圆锥体的体积水箱的容积水箱的容积我们希望最大化水箱的容积我们希望最大化水箱的容积V V，而总表面积，而总表面积S S限制限制了水箱的容积，所以问题是了水箱的容积，所以问题是圆柱体的表面积圆柱体的表面积圆锥体
14、的表面积圆锥体的表面积总表面积总表面积模型求解：模型求解：定义函数定义函数将将 代入，化简得代入，化简得将将L L对变量对变量 分别求偏导，并令其为分别求偏导，并令其为0 0，即，即模型的敏感性：模型的敏感性：利用计算机代数系统，求得三位小数的解：利用计算机代数系统，求得三位小数的解：拉格朗日乘子的值拉格朗日乘子的值意思是如果总表面积增加意思是如果总表面积增加1 1个单位，水箱的个单位，水箱的容积大约增加容积大约增加3m2.3m2.Matlab 的优化函数约束极小x, fval, exitflag, ouput, lambda, grad, hessian= fmincon(objfun, x
15、0, A, b, A1, b1, LB, UB, nonlcon, options, p1, p2,)例：求解极值问题 x0 = 1, 1; A = 1, -1; b = 1; LB = 0, 0; UB = inf, inf; x,f = fmincon(funobj, x0, A, b, , , LB, UB, nonlcon)function c1, c2 = nonlcon(x)c1 = 1.5 + x(1)*x(2) - x(1) - x(2); -x(1)*x(2) - 10;c2 = 0;function y = funobj(x)y = exp(x(1) * (4*x(1)2
16、+ 2*x(2)2 + 4*x(1)*x(2) + 2*x(2) + 1);一般，首先用全局方法（随机搜索、格点搜索、一般，首先用全局方法（随机搜索、格点搜索、或其他类型方法）估计最优解的近似值，然后用或其他类型方法）估计最优解的近似值，然后用数值最优化工具（如牛顿法）求解，最后对参数数值最优化工具（如牛顿法）求解，最后对参数的允许值进行灵敏性分析，以保证结果的正确性的允许值进行灵敏性分析，以保证结果的正确性.阅读材料：阅读材料：参考文献参考文献1，第十三章第，第十三章第2、3节；节；参考文献参考文献2，第二章，第三章第，第二章，第三章第1、2节；节；参考文献参考文献3，第三章第，第三章第47节节.作业：作业：阅读阅读UMAP270、UMAP468、UMAP517、UMAP522中中的一篇，并提交一份简短的报告供班上讨论。的一篇，并提交一份简短的报告供班上讨论。
